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文章目錄

• • 一、時間復(fù)雜度
  • 二、空間復(fù)雜度
  • 三、相關(guān)題目

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一、時間復(fù)雜度

一個語句的頻度是指該語句在算法中被重復(fù)執(zhí)行的次數(shù)。算法中所有語句的頻度之和記為T(n)，它是該算法問題規(guī)模n的函數(shù)，時間復(fù)雜度主要分析T(n)的數(shù)量級。算法中基本運算（最深層循環(huán)內(nèi)的語句）的頻度與T(n)同數(shù)量級，因此通常采用算法中基本運算的頻度f(n)來分析算法的時間復(fù)雜度。因此，算法的時間復(fù)雜度記為T(n)=O(f(n))。

式中，O的含義是T(n)的數(shù)量級，其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義是：若T(n)和f(n)是定義在正整數(shù)集合上的兩個函數(shù)，則存在正常數(shù)C和n0，使得當(dāng)n>=n0時，都滿足0<=T(n)<=Cf(n)。

算法的時間復(fù)雜度不僅依賴于問題的規(guī)模n，也取決于待輸入數(shù)據(jù)的性質(zhì)。例如，在數(shù)組A[0…n-1]中，查找給定值k的算法大致如下：

int i=n-1; while(i>=0&&(A[i]!=k))i--; return i;

該算法中語句i--;（基本運算）的頻度不僅與問題規(guī)模n有關(guān)，還與輸入實例中A的各元素的取值以及k的取值有關(guān)：
①若A中沒有與k相等的元素，則語句3的頻度f(n)=n。
①若A中最后一個元素為k，則語句3的頻度f(n)=0。

最壞時間復(fù)雜度是指在最壞情況下，算法的時間復(fù)雜度。平均時間復(fù)雜度是指所有可能輸入實例在等概率出現(xiàn)的情況下，算法的期望運行時間。最好時間復(fù)雜度是指在最好情況下，算法的時間復(fù)雜度。一般總是考慮在最壞情況下的時間復(fù)雜度，以保證算法的運行時間不會比它更長。

在分析一個程序的時間復(fù)雜性時，有以下兩條規(guī)則：
①加法規(guī)則

T(n)=T1(n)+T2(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))

②乘法規(guī)則

T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n))

常見的漸近時間復(fù)雜度為：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n*n)<O(n*n*n)<O(2的n方)<O(n!)<O(n的n方)

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二、空間復(fù)雜度

算法的空間復(fù)雜度S(n)定義為該算法所耗費的存儲空間，它是問題規(guī)模n的函數(shù)。記為S(n)=O(g(n))。

一個程序在執(zhí)行時除需要存儲空間來存放本身所用的指令、常數(shù)、變量和輸入數(shù)據(jù)外，還需要一些對數(shù)據(jù)進行操作的工作單元和存儲一些為實現(xiàn)計算所需信息的輔助空間。若輸入數(shù)據(jù)所占空間只取決于問題本身，和算法無關(guān)，則只需分析除輸入和程序之外的額外空間。

算法原地工作是指算法所需的輔助空間為常量，即O(1)。

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三、相關(guān)題目

1 以下算法的時間復(fù)雜度為（O(log2n)）

void fun(int n){int i=1;while (i<=n)i=i*2; }

解析：找到基本運算i=i*2，設(shè)執(zhí)行次數(shù)為t，則2的t次方<=n，即t<=log2n，因此時間復(fù)雜度T(n)=O(log2n)。

2 有以下算法，其時間復(fù)雜度為（O(n的根號3方)）

void fun(int n){int i=0;while (i*i*i<=n)i++; }

解析：基本運算為i++，設(shè)執(zhí)行次數(shù)為t，有ttt<=n，即t的3次方<=n，則t<=n的根號3次方。

3 程序段如下：

for(int i= n-1; i > 1; i--)for (int j = 1; j < i; j++) if(A[j]>A[j+1])A[j]與A[j+1]對換;

其中n為正整數(shù)，則最后一行語句的頻度在最壞情況下是（O(n*n)）
解析：

4 【2011統(tǒng)考真題】設(shè)n是描述問題規(guī)模的非負(fù)整數(shù)，下面的程序片段的時間復(fù)雜度是（O(log2n)）

x=2; while(x<n/2)x=2*x;

解析：基本運算為x=2*x，每執(zhí)行一次乘以2，設(shè)執(zhí)行次數(shù)為t，則有2的（t+1）次方<n/2，所以t<log2(n/2)-1=log2n-2，則T(n)=O(log2n)。

5 【2012統(tǒng)考真題】求整數(shù)n的階乘的算法如下，其時間復(fù)雜度是（O(n)）

int fact(int n){if(n<=1) return 1;return n* fact(n-1); }

解析：該遞歸相當(dāng)于返回O(n)次。

6 【2013統(tǒng)考真題】已知兩個長度分別為m和n的升序鏈表，若將它們合并為長度為m+n的一個降序鏈表，則最壞情況下的時間復(fù)雜度是（O(max(m,n))）
解析：兩個升序鏈表合并，兩兩比較表中元素，每比較一次，確定一個元素的鏈接位置（取較小元素）。當(dāng)一個鏈表比較結(jié)束后，將另一個鏈表的剩余元素插入即可。最壞的情況是兩個鏈表中的元素依次進行比較，因為2max(m,n)>=m+n，所以時間復(fù)雜度為O(max(m,n))。

7 【2014統(tǒng)考真題】下列程序段的時間復(fù)雜度是（nlong2n）

count=0; for(k=1;k<=n;k*=2)for(j=1;j<=n;j++)count++;

解析：內(nèi)層循環(huán)條件j<=n與外層循環(huán)的變量無關(guān)，各自獨立，每執(zhí)行一次j自增1，每次內(nèi)層循環(huán)都執(zhí)行n次。外層循環(huán)條件k<=n，增量定義為k*=2，可知循環(huán)次數(shù)t滿足k=2的t次方<=n，即t<=log2n。內(nèi)層循環(huán)的時間復(fù)雜度為O(n)，外層為O(log2n)。對于嵌套循環(huán)，根據(jù)乘法法則可知，T(n)=O(n)*O(log2n)=O(nlog2n)。

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總結(jié)

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