淺談線段樹

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——線段樹

O、引例

A.給出n個數(shù)，n<=100，和m個詢問，每次詢問區(qū)間[l，r]的和，并輸出。

一種回答：這也太簡單了，O（n）枚舉搜索就行了。

另一種回答：還用得著o(n）枚舉，前綴和o(1)就搞定。

那好，我再修改一下題目。

B.給出n個數(shù)，n<=100，和m個操作，每個操作可能有兩種：1、在某個位置加上一個數(shù)；2、詢問區(qū)間[l，r]的和，并輸出。

回答：o（n）枚舉。

動態(tài)修改最起碼不能用靜態(tài)的前綴和做了。

好，我再修改題目：

C.給出n個數(shù)，n<=1000000，和m個操作，每個操作可能有兩種：1、在某個位置加上一個數(shù)；2、詢問區(qū)間[l，r]的和，并輸出。

回答：o（n）枚舉絕對超時。

再改：

D，給出n個數(shù)，n<=1000000，和m個操作，每個操作修改一段連續(xù)區(qū)間[a,b]的值

回答：從a枚舉到b，一個一個改。。。。。。有點兒常識的人都知道超時

那怎么辦？這就需要一種強大的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：線段樹。

一、基本概念

1、線段樹是一棵二叉搜索樹，它儲存的是一個區(qū)間的信息。

2、每個節(jié)點以結(jié)構(gòu)體的方式存儲，結(jié)構(gòu)體包含以下幾個信息：

? ? ?區(qū)間左端點、右端點；（這兩者必有）

? ? ?這個區(qū)間要維護的信息（事實際情況而定，數(shù)目不等）。

3、線段樹的基本思想：二分。

4、線段樹一般結(jié)構(gòu)如圖所示：

5、特殊性質(zhì)：

由上圖可得，

1、每個節(jié)點的左孩子區(qū)間范圍為[l，mid]，右孩子為[mid+1,r]

2、對于結(jié)點k，左孩子結(jié)點為2*k，右孩子為2*k+1，這符合完全二叉樹的性質(zhì)

二、線段樹的基礎(chǔ)操作

注：以下基礎(chǔ)操作均以引例中的求和為例，結(jié)構(gòu)體以此為例：

struct node
{
? ? ? ?int l,r,w;//l，r分別表示區(qū)間左右端點，w表示區(qū)間和
}tree[4*n+1];

線段樹的基礎(chǔ)操作主要有5個：

建樹、單點查詢、單點修改、區(qū)間查詢、區(qū)間修改。

1、建樹，即建立一棵線段樹

? ?① 主體思路：a、對于二分到的每一個結(jié)點，給它的左右端點確定范圍。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b、如果是葉子節(jié)點，存儲要維護的信息。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c、狀態(tài)合并。

? ②代碼

void build(int l,int r,int k) {tree[k].l=l;tree[k].r=r;if(l==r)//葉子節(jié)點 {scanf("%d",&tree[k].w);return ; }int m=(l+r)/2;build(l,m,k*2);//左孩子 build(m+1,r,k*2+1);//右孩子 tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//狀態(tài)合并，此結(jié)點的w=兩個孩子的w之和 }

③注意

?a.結(jié)構(gòu)體要開4倍空間，為啥自己畫一個[1,10]的線段樹就懂了

?b.千萬不要漏了return語句，因為到了葉子節(jié)點不需要再繼續(xù)遞歸了。

2、單點查詢，即查詢一個點的狀態(tài)，設(shè)待查詢點為x

? ?①主體思路：與二分查詢法基本一致，如果當前枚舉的點左右端點相等，即葉子節(jié)點，就是目標節(jié)點。如果不是，因為這是二分法,所以設(shè)查詢位置為x，當前結(jié)點區(qū)間范圍為了l，r，中點為 ? ? ? ? mid，則如果x<=mid，則遞歸它的左孩子，否則遞歸它的右孩子

? ?②代碼

void ask(int k) {if(tree[k].l==tree[k].r) //當前結(jié)點的左右端點相等，是葉子節(jié)點，是最終答案 {ans=tree[k].w;return ;}int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;if(x<=m) ask(k*2);//目標位置比中點靠左，就遞歸左孩子 else ask(k*2+1);//反之，遞歸右孩子 }

? ③正確性分析：

? ? ?因為如果不是目標位置，由if—else語句對目標位置定位，逐步縮小目標范圍，最后一定能只到達目標葉子節(jié)點。

3、單點修改，即更改某一個點的狀態(tài)。用引例中的例子，對第x個數(shù)加上y

①主體思路

?結(jié)合單點查詢的原理，找到x的位置；根據(jù)建樹狀態(tài)合并的原理，修改每個結(jié)點的狀態(tài)。

?②代碼

void add(int k) {if(tree[k].l==tree[k].r)//找到目標位置 {tree[k].w+=y;return;}int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;if(x<=m) add(k*2);else add(k*2+1);tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//所有包含結(jié)點k的結(jié)點狀態(tài)更新 }

4、區(qū)間查詢，即查詢一段區(qū)間的狀態(tài)，在引例中為查詢區(qū)間[x,y]的和

①主體思路

?

?

mid=(l+r)/2

y<=mid ,即 查詢區(qū)間全在，當前區(qū)間的左子區(qū)間，往左孩子走

x>mid?即 查詢區(qū)間全在，當前區(qū)間的右子區(qū)間，往右孩子走

否則，兩個子區(qū)間都走

②代碼

void sum(int k) {if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) {ans+=tree[k].w;return;}int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;if(x<=m) sum(k*2);if(y>m) sum(k*2+1); }

③正確性分析

情況1，3不用說，對于情況2，最差情況是搜到葉子節(jié)點，此時一定滿足情況1

5、區(qū)間修改，即修改一段連續(xù)區(qū)間的值，我們已給區(qū)間[a,b]的每個數(shù)都加x為例講解

? ? Ⅰ.引子

?

? ? ? ?有人可能就想到了：

? ? ? ?修改的時候只修改對查詢有用的點。

? ? ? ?對，這就是區(qū)間修改的關(guān)鍵思路。

? ? ? 為了實現(xiàn)這個，我們引入一個新的狀態(tài)——懶標記。

? Ⅱ 懶標記

? ? ?（懶標記比較難理解，我盡力講明白。。。。。。）

??? ? ?1、直觀理解：“懶”標記，懶嘛！用到它才動，不用它就睡覺。

? ? ? ?2、作用：存儲到這個節(jié)點的修改信息，暫時不把修改信息傳到子節(jié)點。就像家長扣零花錢，你用的時候才給你，不用不給你。

? ? ? ?3、實現(xiàn)思路（重點）：

? ? ? ? ???a.原結(jié)構(gòu)體中增加新的變量，存儲這個懶標記。

? ? ? ? ???b.遞歸到這個節(jié)點時，只更新這個節(jié)點的狀態(tài)，并把當前的更改值累積到標記中。注意是累積，可以這樣理解：過年，很多個親戚都給你壓歲錢，但你暫時不用，所以都被你父母扣下了。

? ? ? ? ? ?c.什么時候才用到這個懶標記？當需要遞歸這個節(jié)點的子節(jié)點時，標記下傳給子節(jié)點。這里不必管用哪個子節(jié)點，兩個都傳下去。就像你如果還有妹妹，父母給你們零花錢時總不能偏心吧

? ? ? ? ? ?d.下傳操作：

? ? ? ? ? ? ? ?3部分：①當前節(jié)點的懶標記累積到子節(jié)點的懶標記中。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②修改子節(jié)點狀態(tài)。在引例中，就是原狀態(tài)+子節(jié)點區(qū)間點的個數(shù)*父節(jié)點傳下來的懶標記。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 這就有疑問了，既然父節(jié)點都把標記傳下來了，為什么還要乘父節(jié)點的懶標記，乘自己的不行嗎？

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因為自己的標記可能是父節(jié)點多次傳下來的累積，每次都乘自己的懶標記造成重復(fù)累積

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?③父節(jié)點懶標記清0。這個懶標記已經(jīng)傳下去了，不清0后面再用這個懶標記時會重復(fù)下傳。就像你父母給了你5元錢，你不能說因為前幾次給了你10元錢, 所以這次給了你15元，那你不就虧大了。?

? ? ?懶標記下穿代碼：f為懶標記，其余變量與前面含義一致。

void down(int k) {tree[k*2].f+=tree[k].f;tree[k*2+1].f+=tree[k].f;tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1);tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1);tree[k].f=0; }

?Ⅲ?完整的區(qū)間修改代碼：

void add(int k) {if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b)//當前區(qū)間全部對要修改的區(qū)間有用 {tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*x;//(r-1)+1區(qū)間點的總數(shù)tree[k].f+=x;return;}if(tree[k].f) down(k);//懶標記下傳。只有不滿足上面的if條件才執(zhí)行，所以一定會用到當前節(jié)點的子節(jié)點 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;if(a<=m) add(k*2);if(b>m) add(k*2+1);tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//更改區(qū)間狀態(tài) }

?Ⅳ.懶標記的引入對其他基本操作的影響

? ???因為引入了懶標記，很多用不著的更改狀態(tài)存了起來，這就會對區(qū)間查詢、單點查詢造成一定的影響。

? ? ?所以在使用了懶標記的程序中，單點查詢、區(qū)間查詢也要像區(qū)間修改那樣，對用得到的懶標記下傳。其實就是加上一句if(tree[k].f) ?down（k），其余不變。

? ? ?2017.5.16 之前寫的單點修改不需要下傳懶標記，在此訂正：單點修改也需要下傳懶標記

? ? ?引入了懶標記的單點查詢代碼：

void ask(int k)//單點查詢 {if(tree[k].l==tree[k].r){ans=tree[k].w;return ;}if(tree[k].f) down(k);//懶標記下傳，唯一需要更改的地方int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;if(x<=m) ask(k*2);else ask(k*2+1); }

? ? 引入了懶標記的區(qū)間查詢代碼：

void sum(int k)//區(qū)間查詢 {if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) {ans+=tree[k].w;return;}if(tree[k].f) down(k)//懶標記下傳，唯一需要更改的地方int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;if(x<=m) sum(k*2);if(y>m) sum(k*2+1); }

三、總結(jié)

線段樹5種基本操作代碼：

#include<cstdio> using namespace std; int n,p,a,b,m,x,y,ans; struct node {int l,r,w,f; }tree[400001]; inline void build(int k,int ll,int rr)//建樹 {tree[k].l=ll,tree[k].r=rr;if(tree[k].l==tree[k].r){scanf("%d",&tree[k].w);return;}int m=(ll+rr)/2;build(k*2,ll,m);build(k*2+1,m+1,rr);tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void down(int k)//標記下傳 {tree[k*2].f+=tree[k].f;tree[k*2+1].f+=tree[k].f;tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1);tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1);tree[k].f=0; } inline void ask_point(int k)//單點查詢 {if(tree[k].l==tree[k].r){ans=tree[k].w;return ;}if(tree[k].f) down(k);int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;if(x<=m) ask_point(k*2);else ask_point(k*2+1); } inline void change_point(int k)//單點修改 {if(tree[k].l==tree[k].r){tree[k].w+=y;return;}if(tree[k].f) down(k);int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;if(x<=m) change_point(k*2);else change_point(k*2+1);tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void ask_interval(int k)//區(qū)間查詢 {if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) {ans+=tree[k].w;return;}if(tree[k].f) down(k);int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;if(a<=m) ask_interval(k*2);if(b>m) ask_interval(k*2+1); } inline void change_interval(int k)//區(qū)間修改 {if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b){tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*y;tree[k].f+=y;return;}if(tree[k].f) down(k);int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;if(a<=m) change_interval(k*2);if(b>m) change_interval(k*2+1);tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } int main() {scanf("%d",&n);//n個節(jié)點 build(1,1,n);//建樹 scanf("%d",&m);//m種操作 for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d",&p);ans=0;if(p==1){scanf("%d",&x);ask_point(1);//單點查詢,輸出第x個數(shù) printf("%d",ans);} else if(p==2){scanf("%d%d",&x,&y);change_point(1);//單點修改 }else if(p==3){scanf("%d%d",&a,&b);//區(qū)間查詢 ask_interval(1);printf("%d\n",ans);}else{scanf("%d%d%d",&a,&b,&y);//區(qū)間修改 change_interval(1);}} }

?

?四、空間優(yōu)化

父節(jié)點k，左二子2*k，右兒子2*k+1，需要4*n的空間

但并不是所有的葉子節(jié)點占用到2n+1——4n

這就造成大量空間浪費

2*n空間表示法：推薦博客：http://www.cppblog.com/MatoNo1/archive/2015/05/05/195857.html

用dfs序表示做節(jié)點下標

父節(jié)點k，左兒子k+1，右兒子：k+左兒子區(qū)間長度*2，不是父節(jié)點下標+父節(jié)點區(qū)間長度。因為當樹不滿時，兩者不相等

具體實現(xiàn)這里就不再寫模板了，就是改改左右兒子的下標

可參考代碼：?題目：樓房重建http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6361242.html?

?

里面的建樹用的2*n空間

五、模板題

1、codevs 1080 線段樹練習(xí) （單點修改+區(qū)間查詢）? http://codevs.cn/problem/1080/??

?View Code

2、codevs 1081 線段樹練習(xí)2 （單點查詢+區(qū)間修改）?http://codevs.cn/problem/1081/

?View Code

3、codevs 1082 線段樹練習(xí)3 ?（區(qū)間修改+區(qū)間查詢）

?View Code

六、經(jīng)典例題

> codevs 3981/SPOJ GSS1/GSS3 ——區(qū)間最大子段和
> Bzoj3813 奇數(shù)國——區(qū)間內(nèi)某個值是否出現(xiàn)過
>洛谷 P2894 酒店 Hotel ——區(qū)間連續(xù)一段空的長度
> codevs 2421 /Bzoj1858 序列操作——多種操作
> codevs 2000 / BZOJ 2957: 樓房重建——區(qū)間的最長上升子序列
?Codevs3044 矩形面積求并——掃描線

?

作者：xxy 出處：http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/ 本文版權(quán)歸作者和博客園共有，歡迎轉(zhuǎn)載，但未經(jīng)作者同意必須保留此段聲明，且在文章頁面明顯位置給出原文連接，否則保留追究法律責(zé)任的權(quán)利。

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總結(jié)

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