卷積：
?沖擊信號會對線性系統(tǒng)產(chǎn)生沖擊響應(yīng)。
?沖擊信號可分解為平移度和幅度。其對線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)可以分解為點(diǎn)點(diǎn)間的經(jīng)平移和縮放的各個沖擊響應(yīng)的累加，通過卷積的表達(dá)式表示。
?所謂的沖擊響應(yīng)，就是線性系統(tǒng)對任何輸入信號的響應(yīng)，描述這種輸入輸出關(guān)系的算數(shù)方法就是卷積。

?以上是從輸入信號的角度看卷積，每個輸入信號上的點(diǎn)都產(chǎn)生一個縮放和平移之后的沖擊信號，然后對這些沖擊信號進(jìn)行累加，即卷積。
?也可以從輸出信號的角度去看，即每一個輸出信號上的點(diǎn)都是由一系列輸入信號和沖擊信號相互作用產(chǎn)生的。

?一個N點(diǎn)的信號和一個M點(diǎn)的信號相卷積，其輸出有N+M-1個點(diǎn)。
?相關(guān)是利用卷積來運(yùn)算的，它能在一個信號中找到目標(biāo)信號的位置（根據(jù)相關(guān)值來判斷）。

FFT：
?FFT是分為復(fù)數(shù)DFT變換和實(shí)數(shù)DFT變換(改進(jìn)算法)。
??復(fù)數(shù)DFT：拿一維信號來說N點(diǎn)的時域信號產(chǎn)生N個點(diǎn)的頻域信號，都含有實(shí)部和虛部。
??實(shí)數(shù)DFT：拿一維信號來說N點(diǎn)的時域信號產(chǎn)生N/2+1個點(diǎn)的頻域信號，都含有實(shí)部和虛部。

?FFT只所以快是因?yàn)?#xff1a;
??第一步，它將1個N點(diǎn)的信號先分解成N個1點(diǎn)的信號；
??第二步，計(jì)算這N個1點(diǎn)信號的頻譜，這很好計(jì)算，因?yàn)閺?fù)數(shù)就是它自己，但現(xiàn)在這N個信號是頻譜信號了；
??第三步，再將這N個頻譜信號按一定的規(guī)律加起來就得到了所需要的頻譜。第三步是最復(fù)雜的，是按第一步分解的反過程，那些很復(fù)雜的蝶形運(yùn)算就是用于這個反過程的，它們改變信號的位置，
???再通過相加將2個N/2點(diǎn)的信號變成1個N點(diǎn)的信號。

實(shí)數(shù)DFT(離散傅里葉變換):
?一個離散信號在時域離散但在頻域可能周期。
?DFT處理的信號的時域是離散的但又周期，頻域是周期性的但又離散。
?實(shí)數(shù)DFT信號的時域有N點(diǎn)（其實(shí)是周期延拓，一個周期N點(diǎn)），可以由N/2+1個正弦信號和N/2+1個余弦信號表示，每個正余弦信號也是N點(diǎn)（也是周期延拓，一個周期N點(diǎn)）。
?上面就是DFT的物理意義，
??N點(diǎn)的實(shí)數(shù)經(jīng)DFT之后變成 N/2+1個復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)，復(fù)數(shù)的實(shí)部是正弦信號的幅度，虛部是余弦信號的幅度。復(fù)數(shù)只是一種數(shù)學(xué)上的表示方法。
???直角坐標(biāo)表示法： 將正余弦幅度畫出來來表示頻譜。每個正余弦信號的幅度可以通過相關(guān)的方法求出。
???極坐標(biāo)表示法：?? 將上述 N/2+1個復(fù)數(shù)表示成模（幅度）和相位，并畫出來來表示頻譜。

?頻譜的橫坐標(biāo)：
???用點(diǎn)數(shù)來表示的，范圍是 0到N/2（N/2+1個數(shù)）；
???分?jǐn)?shù)表示法，范圍是0到0.5；
???自然頻率表示法，范圍是0到π。

?對DFT信號時域離散，頻域周期的物理解釋：
??因?yàn)殡x散信號是不連續(xù)的采樣點(diǎn)，這些采樣點(diǎn)可能是一個頻率的連續(xù)信號上的某些點(diǎn)，可能是比這個頻率高的連續(xù)信號上的某些點(diǎn)，也可能是比這個頻率低的信號上的某些點(diǎn)，這個就呈現(xiàn)出了周期性。

?DFT性質(zhì)
??如果時域信號是左右對稱的，則其DFT變換的相位是線性的，稱作線性相位。特別的，如果時域信號關(guān)于原點(diǎn)左右對稱，則其頻域相位為0，稱作0相位。
??DFT時域取的點(diǎn)越多（采樣頻率不變），其頻譜分辨率越高。這是因?yàn)镹增加，則N/2+1越大，而頻譜的最高頻率不超過1/2的采樣頻率，所以頻譜上的間隔減小，即分辨率提高。
??DFT的時域是周期性的，N個點(diǎn)為周期；頻域上通常是看0到N/2-1個點(diǎn)，但它是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，實(shí)部和幅度偶對稱，虛部和相位寄對稱，它的周期也是N個點(diǎn)。
??時域上的平移會造成相位的斜率發(fā)生改變。

?時域卷積等于頻域相乘。
??一個N點(diǎn)的信號和一個M點(diǎn)的信號（N>M）卷積得到N+M-1個點(diǎn)。
??從頻域上看N點(diǎn)信號的頻譜N/2+1個點(diǎn)，M點(diǎn)信號的頻譜做N點(diǎn)DFT之后也是N/2+1個點(diǎn)，兩者相乘在IDFT之后得到輸出信號時N個點(diǎn)，這樣就比普通卷積少了M-1個點(diǎn)，不要忘記DFT是周期性信號，
??少了M-1點(diǎn)可能會造成前后輸出信號的疊加，但也可能不會只要N比有效的信號范圍來的大就行了，這種用DFT求的卷積叫圓周卷積。

?

圖像FFT：
?圖像的DFT變化也是把圖像看成是周期延拓的信號，就像磚瓦一樣一塊塊鋪起來，其DFT變換之后的信號也是周期信號，也想磚瓦一樣一塊塊鋪起來。假設(shè)圖像為N*N點(diǎn)陣，其DFT變換也是N*N點(diǎn)陣，
?取行編號為0、列編號為0的點(diǎn)為中心，這就是說圖像的DFT變換的編號有正有負(fù)。

?在1維信號中，DFT變換把信號分解成多個正弦信號，表示信號包含有多個頻率。對圖像來說，其像素的灰度變化也是一種頻率的反映，一般來說邊沿的時候灰度的變化較為明顯，或者說灰度變化頻率較快；
?而一幅圖像的灰度如果比較平均，則表示灰度無明顯變換，其變化頻率較慢。
?或者說圖像頻譜的低頻部分決定了大體上的灰度變化（比較模糊），而圖像頻譜的高頻部分決定了細(xì)節(jié)變化（邊沿）。
?將圖像DFT之后，變化頻率較慢的成分就越靠近中心，而頻率變化較快的成分就越遠(yuǎn)離中心。

?圖像的頻譜也具有對稱性，實(shí)部和幅度以中心鏡像對稱；虛部和相位以中心反鏡像對稱。

?圖像頻譜的相位決定了圖像的樣子，如果將另一幅圖像的幅度和本幅圖像的相位結(jié)合，還是能看出本幅的圖像，只不過灰度變化不正常。這是因?yàn)橄辔粵Q定了幅度變化的方向。
?拿1維信號來說，如果有一個上升沿，那么在這個上升沿發(fā)生的時候，很多正弦信號的相位都是一樣的，這樣就能堆起一個上升沿，應(yīng)用在圖像里面，也是同樣的道理。所以相位是決定信號的樣子的。

?如果圖像中有一根很細(xì)的長條橫臥，則其頻譜的垂直方向上有更多的分量，而頻譜的水平方向上的分量較少。這是因?yàn)轭l譜上的點(diǎn)具有方向性，圖像上水平的直線需要更多垂直的分量來組成，
?而圖像垂直方向上相對不變，所以也不需要很多水平的分量。

?圖像的卷積一般用的PSF較小，比方3*3點(diǎn)陣的算子，常用的算子有平滑濾波和邊沿增強(qiáng)算子。圖像的卷積和1維信號一樣也可以從輸入信號看和輸出信號看。如果卷積比較復(fù)雜，可以用FFT卷積來做。

?

FIR：有限脈沖響應(yīng)
?通過卷積來求輸出，隨著脈沖點(diǎn)數(shù)的增多，其頻譜特性可以做的很好，并且可以做到使線性相位的，但是速度慢，借助FFT卷積可以提高速度。
?常用的有平滑濾波器、sinc窗函數(shù)。平滑濾波器主要用于時域平滑，可以用遞歸來實(shí)現(xiàn)；sinc窗函數(shù)主要用于頻域?yàn)V波。

?無反饋，頻域上相位線性,在時域上體現(xiàn)為信號固定延時了一個時間t, 波形沒有失真,只是時間上滯后了,語音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸要求頻域線性相位，任意幅度。在語音編碼的采樣之前會用一個FIR
?做低通濾波，
?由于無反饋，要實(shí)現(xiàn)相同的指標(biāo)，比iir所需的階數(shù)要高很多。
?物理量“相位延遲”Tp(f)=－φ(f)/(2pif); “群延遲”Tg(f)=－dφ/dw.? 當(dāng)Tg(f)為常數(shù)時，認(rèn)為這系統(tǒng)是無畸變的。FIR線性相位正滿足了這個要求。

?

?

IIR：無限脈沖響應(yīng)，
?通過遞歸方程來求輸出，不同的遞歸系數(shù)決定了濾波器的特性，濾波特性沒有FIR好，但速度快，參數(shù)級數(shù)少。由于是根據(jù)遞歸系數(shù)來確定，而不像FIR那樣是根據(jù)頻域來確定，
?所以設(shè)計(jì)時很難確定頻域形狀，很難確保是線性相位。
?常用的有 單極點(diǎn)濾波器、切比雪夫?yàn)V波器。前者用于時域平滑，后者用于頻域?yàn)V波，切比雪夫的滾降較快，但是有ripple。
?IIR極點(diǎn)一般的理解是：極點(diǎn)越多濾波器的性能越好。
?通過IIR的遞歸方程進(jìn)行Z變換，可以求出其頻域特性。

?當(dāng)M>0時，M就是IIR濾波器的階數(shù)，表示系統(tǒng)中反饋環(huán)的個數(shù)。由于反饋的存在，IIR濾波器的脈沖響應(yīng)為無限長，因此得名。若M=0，則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)的長度為N+1，故而被稱作FIR濾波器。
?可以直接利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器，因?yàn)槟M濾波器本身就是無限長沖激響應(yīng)的。
?通常IIR濾波器設(shè)計(jì)的過程如下：
??首先根據(jù)濾波器參數(shù)要求設(shè)計(jì)對應(yīng)的模擬濾波器（如巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器等等），
??然后通過映射（如脈沖響應(yīng)不變法、雙線性映射等等）將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器，從而決定IIR濾波器的參數(shù)。
??IIR濾波器的重大缺點(diǎn)在于，由于存在反饋其穩(wěn)定性不能得到保證，而FIR濾波器由于不存在系統(tǒng)極點(diǎn)，FIR 濾波器是絕對穩(wěn)定的系統(tǒng)。

?IIR無限長脈沖響應(yīng)濾波器，結(jié)構(gòu)中有反饋，所以理論上脈沖響應(yīng)永遠(yuǎn)不為零。實(shí)現(xiàn)相同的指標(biāo)比fir濾波器需要的階數(shù)較少。非線性相位，用于對相位不太敏感的場合，如語音。
?設(shè)計(jì)時先設(shè)計(jì)模擬濾波器原型，再由一定的原則轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。可參看程乾生編著 “信號數(shù)字處理的數(shù)學(xué)原理” 石油工業(yè)出版社
??1．IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成封閉函數(shù)的形式。?
??2．IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。IIR濾波器運(yùn)算結(jié)構(gòu)通常由延時、乘以系數(shù)和相加等基本運(yùn)算組成，可以組合成直接型、正準(zhǔn)型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，
???? 都具有反饋回路。由于運(yùn)算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。?
??3．IIR數(shù)字濾波器在設(shè)計(jì)上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)或圖表可查，其設(shè)計(jì)工作量比較小，對計(jì)算工具的要求不高。
???? 在設(shè)計(jì)一個IIR數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標(biāo)先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。?
??4．IIR數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)。

?在MATLAB下設(shè)計(jì)IIR濾波器可:
??使用Butterworth函數(shù)設(shè)計(jì)出巴特沃斯濾波器，
??使用Cheby1函數(shù)設(shè)計(jì)出契比雪夫I型濾波器，
??使用Cheby2設(shè)計(jì)出契比雪夫II型濾波器，
??使用ellipord函數(shù)設(shè)計(jì)出橢圓濾波器。?
???與FIR濾波器的設(shè)計(jì)不同，IIR濾波器設(shè)計(jì)時的階數(shù)不是由設(shè)計(jì)者指定，而是根據(jù)設(shè)計(jì)者輸入的各個濾波器參數(shù)（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），
???由軟件設(shè)計(jì)出滿足這些參數(shù)的最低濾波器階數(shù)。在MATLAB下設(shè)計(jì)不同類型IIR濾波器均有與之對應(yīng)的函數(shù)用于階數(shù)的選擇。

?iir幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應(yīng)用于對相位信息不敏感的音頻信號上；?
?fir幅頻特性精度較之于iir低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號經(jīng)過fir濾波器后他們的時間差不變。這是很好的性質(zhì)。?
?另外有限的單位響應(yīng)也有利于對數(shù)字信號的處理，便于編程，用于計(jì)算的時延也小，這對實(shí)時的信號處理很重要。

?在多帶濾波的時候，如果采用IIR將會導(dǎo)致各頻帶輸出不同步的問題，在諸如特征提取這樣的應(yīng)用中將會很麻煩
?IIR比FIR具有更好的模型匹配與信號處理能力。但是，如果極點(diǎn)不能控制在單位圓內(nèi)，將會使系統(tǒng)不穩(wěn)定。
?IIR濾波器最重要的優(yōu)點(diǎn)在于與相同系數(shù)個數(shù)的FIR濾波器相比有更好的性能，要達(dá)到相同性能，IIR濾波器所需系數(shù)個數(shù)一般比FIR濾波器少得多。
?而FIR很容易保證穩(wěn)定和線性相位，這在有特殊要求的信號處理中是非常重要的，比如實(shí)現(xiàn)完全線性相位重構(gòu)濾波器。

轉(zhuǎn)載于http://blog.csdn.net/tomlingyu/article/details/6858549；

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/jian1573/archive/2011/12/09/2282674.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的卷积，DFT,FFT,图像FFT，FIR 和 IIR 的物理意义的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。