很久沒有寫過與自己專業相關的文章了，于是計劃穿插進幾篇有關電磁波的深度科普的文章。計劃分為幾個部分：
1. 真空中的 方程組
2. 材料中的 方程組和電磁場的邊值條件
3. 無激勵下的真空中的 方程組的解---電磁波（本文章）
4. 穩定狀態下的邊值條件及其結論
相信大家看完這個系列的文章之后會對電磁波有一定的認識。zdr0：深度科普---電磁波（一）：真空中的Maxwell方程組?zhuanlan.zhihu.comzdr0：深度科普---電磁波（二）：材料中的 Maxwell方程組和電磁場的邊值條件?zhuanlan.zhihu.com

通過前兩篇文章的介紹，相信大家對

方程組有了比較深刻認識，這篇文章中，我們主要想討論一下在沒有外界激勵的情況的下 方程組具有何種形式的解。

首先，什么叫做無激勵呢？這里的無激勵指的是在真空中的

方程組中，空間電荷密度 和電流密度 等于零。這兩個物理量之所以稱為激勵是應為電磁波由它們產生。那為何在兩者等于零的情況下 方程組還會有解呢？原因是在激勵為零的情況下所解出的解并不是產生的電磁波，而是已經存在的，傳播的電磁波---平面波。

現給出真空的無激勵的

方程組：

這是一個偏微分方程租，直接求解的話估計做不到。所以為了將這四個方程聯系起來我們需要用到旋度算符的一個性質：

對任意矢量場

都有：

我們就利用旋度算符的這個性質將

方程組中的方程聯系起來，最終會得到結果：

, ：
且：
即：

算符是標量算符，但是在上面我們可以看到，它是作用于矢量場的。所以，每個方程都是由三個標量方程組成的，比如對于 ：

方程

和 屬于波動方程類別，一般的一維波動方程為：

其中

是波速。

對于這個形式的波動方程，有一種叫做

行波解的表達方式：

這個解的表達方式并非空穴來風，比如由一下初值確定的解：

：
設：現有一維線性波動方程
以及給定的初值條件：
我們利用 變換法進行求解，首先，現將所給定的初值進行 變換：
其中： 為 方向上的 變換，而 為 方向的 變換。
之后在對整個方程進行 變換：
其中：
于是我們得到了一個二階常系數線性齊次常微分方程，從而特征方程和特征根為：
進而得到該常微分方程的通解：
則：
代入變換之后的初值條件：
從而得到在此初值條件下的該常微分方程的特解：
利用 變換的卷積性質：
得到：
即：
這里只是其中一種初值問題的通解，對于 解應該是其他形式的初值問題或者邊值問題的通解。

那么該如何去理解這個

行波解呢？

為了方便解釋，我們再次將

行波解寫在下面：

• 對于第一式，可以看做是兩個傳送波的疊加，這兩個傳送波分別是向左傳播的 和向右傳播的 ，且在該式中，參數應是時間 ，因為 的量綱與時間 的量綱一致。比如，若現在在兩個確定的時間 和 觀察該傳送波， 相當于在這段距離上傳播了 的距離。
• 對于第二式，可以看做是兩個傳送波的疊加，這兩個傳送波分別是向左傳播的 和向右傳播的 ，且在該式中，參數應是位移 ，因為 的量綱與位移 的量綱一致。比如，若現在在兩個確定的位移 和 觀察該傳送波， 相當于在這段距離上傳播了 的時間。

我們現在比較感興趣的是

和 之間有什么關系？答案是 和 之間是正交的。 ：首先，我們設：
值得一說的是雖然上面的四個偏導數都為零，但這并不意味著 都是常數，比如 可以是： 這樣 必然等于零。
之后由 我們可以知道： ，也就是說 。也就是說 在波的傳播過程中沒有貢獻，只有所謂的“傳播分量” 還存在。
這樣的話 就是波的傳播方向，且 （這是當然，因為 兩個方向本來就是垂直的）。而對于 來講，前面已經假設了 ，這就意味著 ，同理 ,可以得到的是四個波動方程，比如：
其中： 。 是波速，特別的，在真空中：
現在我們拿到 電磁感應定律： ，代入 有：
由之前的假設我們知道，由于 所以其在任意方向上的偏導數都為 ，而且 且對時間的偏導數也為零。這樣，我們就得到了：
即：
這樣就說明了 是相互垂直的，且 三者構成右手系。

當

的傳播面確定之后就不會在隨時間變化了，人們稱這種情況為線性偏振波，且規定：

和 所構成的平面稱為偏振面，一般定義 場的豎直偏振方向是垂直于地面的方向，而其水平偏振方向是平行于地面的方向。對于一個任意的一個波的傳播方向 有：

• 在傳播方向 上傳播的電磁波 的相與傳播方向有關，且與 垂直的平面稱為傳播面，在空間中是不變的。
• 對于行進波： 構成右手系。當然，不是說這三個量隨便排就可以，下一篇文章中會具體討論。

紅色的軸可以看做是x軸（傳播方向）。紫色里的黑色矢量為E，橙色里的黑色矢量為B，圖片來源：自己畫的。

對于一個穩定的，單色光的解是一個正弦或余弦型函數。這樣的穩態解可以利用下面的復函數的形式進行表示：

上式是一維的情況。上式中的

可以是 或 。我們來看看這個穩態解都告訴了我我們什么：

• 振幅
• 角頻率
• 波矢量 和傳播方向

也就是說上面的這個穩態解其實只對應于一維的情況，當然你也許發現了，上面的波矢量

并不是一個矢量，所以，對于三維的情況而言，應當把 變成 ，即：

從上面可以看出： 的方向就是 的方向，也就是傳播方向。這對于一維的情況也是通用的，即： 。

而

。對于 的確定，我們只需要將上式帶入到 的波動方程中便可得到：

其中：

為波矢量的模， 為波速， 為角頻率， 為頻率， 為波長。且對對于波長：

在介質中有：

其中：

為真空中光速， 為真空中的波矢量的模， 稱為折射率。

在材料中，折射率一般是復數，即：

，那這個復數的折射率有何意義呢？結論是復折射率的復數部分會使振幅衰減，即能量會有損矢。 ：
假設平面波沿 方向傳播，則有：
從而定義：
即有：
顯然，虛數部分在衰減因子 中。即振幅 按指數規律衰減。

---

還沒關注專欄《數學及自然科學》的朋友們請趕快關注吧！您的支持是我最大動力！

本專欄既有干貨又有科普，一定會有您想看的文章～

也順便關注一下作者好啦～聽說長得好看的人都點了關注吶！

看完記得點贊哦～

總結

以上是生活随笔為你收集整理的如何从几何角度上理解方程组只有一个解_深度科普---电磁波（三）：无激励下的真空中的Maxwell方程组的解...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。