有兩種算法復(fù)雜度為O(n*logn)和O(n^2)

O(n^2)算法分析如下： （a[1]...a[n] 存的都是輸入的數(shù)）
1、對(duì)于a[n]來說，由于它是最后一個(gè)數(shù)，所以當(dāng)從a[n]開始查找時(shí)，只存在長(zhǎng)度為1的不下降子序列；
2、若從a[n-1]開始查找，則存在下面的兩種可能性：
（1）若a[n-1] < a[n] 則存在長(zhǎng)度為2的不下降子序列 a[n-1],a[n].
（2）若a[n-1] > a[n] 則存在長(zhǎng)度為1的不下降子序列 a[n-1]或者a[n]。
3、一般若從a[t]開始，此時(shí)最長(zhǎng)不下降子序列應(yīng)該是按下列方法求出的：
在a[t+1],a[t+2],...a[n]中，找出一個(gè)比a[t]大的且最長(zhǎng)的不下降子序列，作為它的后繼。
4、為算法上的需要，定義一個(gè)數(shù)組：
d:array [1..n,1..3] of integer;
d[t,1]表示a[t]
d[t,2]表示從i位置到達(dá)n的最長(zhǎng)不下降子序列的長(zhǎng)度
d[t,3]表示從i位置開始最長(zhǎng)不下降子序列的下一個(gè)位置
最長(zhǎng)不下降子序列的O(n*logn)算法分析如下：
先回顧經(jīng)典的O(n^2)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，設(shè)A[t]表示序列中的第t個(gè)數(shù)，F[t]表示從1到t這一段中以t結(jié)尾的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度，初始時(shí)設(shè)F[t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。則有動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。
　　現(xiàn)在，我們仔細(xì)考慮計(jì)算F[t]時(shí)的情況。假設(shè)有兩個(gè)元素A[x]和A[y]，滿足
　　　(1)x < y < t (2)A[x] < A[y] < A[t] (3)F[x] = F[y]
　　此時(shí)，選擇F[x]和選擇F[y]都可以得到同樣的F[t]值，那么，在最長(zhǎng)上升子序列的這個(gè)位置中，應(yīng)該選擇A[x]還是應(yīng)該選擇A[y]呢？
　　很明顯，選擇A[x]比選擇A[y]要好。因?yàn)橛捎跅l件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]這一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，則與選擇A[y]相比，將會(huì)得到更長(zhǎng)的上升子序列。
　　再根據(jù)條件(3)，我們會(huì)得到一個(gè)啟示：根據(jù)F[]的值進(jìn)行分類。對(duì)于F[]的每一個(gè)取值k，我們只需要保留滿足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。設(shè)D[k]記錄這個(gè)值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。
　　注意到D[]的兩個(gè)特點(diǎn)：
　　(1)　D[k]的值是在整個(gè)計(jì)算過程中是單調(diào)不上升的。
　　(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
　　利用D[]，我們可以得到另外一種計(jì)算最長(zhǎng)上升子序列長(zhǎng)度的方法。設(shè)當(dāng)前已經(jīng)求出的最長(zhǎng)上升子序列長(zhǎng)度為len。先判斷A[t]與D[len]。若A[t] > D[len]，則將A[t]接在D[len]后將得到一個(gè)更長(zhǎng)的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[t]；否則，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，滿足D[j] < A[t]。令k = j + 1，則有D[j] < A[t] <= D[k]，將A[t]接在D[j]后將得到一個(gè)更長(zhǎng)的上升子序列，同時(shí)更新D[k] = A[t]。最后，len即為所要求的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度。
　　在上述算法中，若使用樸素的順序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)個(gè)元素需要計(jì)算，每次計(jì)算時(shí)的復(fù)雜度是O(n)，則整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n^2)，與原來的算法相比沒有任何進(jìn)步。但是由于D[]的特點(diǎn)(2)，我們?cè)贒[]中查找時(shí)，可以使用二分查找高效地完成，則整個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度下降為O(nlogn)，有了非常顯著的提高。需要注意的是，D[]在算法結(jié)束后記錄的并不是一個(gè)符合題意的最長(zhǎng)上升子序列！
　　這個(gè)算法還可以擴(kuò)展到整個(gè)最長(zhǎng)子序列系列問題，整個(gè)算法的難點(diǎn)在于二分查找的設(shè)計(jì)，需要非常小心注意。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升(不下降)子序列的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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