【數(shù)學(xué)都知道】 精選

作者：蔣迅

蔣迅 王淑紅著《數(shù)學(xué)都知道》目錄，前言，北師大出版社的介紹

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店主子曰一直在他的微信公共號里為大家提供有趣的作品。希望大家支持他一下。

紀(jì)念吳文俊院士文集

極其深度的麻煩

深入學(xué)習(xí)對圖像處理，數(shù)學(xué)和人性的影響。 “你的孫子可能有一個機器人配偶。”

通訊用信號處理

免費閱讀圖書，作者是瑞典的兩位學(xué)者。

洞中的火焰

受“托里拆利小號”的啟發(fā)，作者做了這個動圖。

完美投擲背后的科學(xué)

籃球比賽的投球和壘球里的投球，都讓好奇，他們怎么投得那么準(zhǔn)呢？這里面有沒有數(shù)學(xué)的貢獻呢？

給數(shù)學(xué)極才的12本有趣的數(shù)學(xué)閱讀

• Simple Proof of the Prime Number Theorem
  Fascinating Facts and Conjectures about Primes and Other Special Nu...
  Factoring Massive Numbers: Machine Learning Approach
  How and Why: Decorrelate Time Series
  Distribution of Arrival Times of Extreme Events
  The Fundamental Statistics Theorem Revisited
  88 percent of all integers have a factor under 100
  Math Challenge: Computing the Average Rotational Speed of Earth
  Representation of Numbers as Infinite Products
  A Beautiful Probability Theorem
  Mars Craters: An Interesting Stochastic Geometry Problem
  The art and (data) science of leveraging economic bubbles
  Seasons in Binary Star Planetary Systems
  

扭節(jié)與素數(shù)

二者看似毫不相關(guān)，但它們有驚奇的類比。李超老師告訴你。

3D分形藝術(shù)品展

超復(fù)合分形，體素分形，光柵圖形，復(fù)值魏爾斯特拉斯函數(shù)，多維縮放

證明PI是無理數(shù)

約翰·海因里希·朗伯（1728－1777）于1761年證明了PI是無理數(shù)，那年他33歲。

杜阿迪兔分形

Douady兔是一個為法國人Adrien Douady（1935-2006）命名的分形。看翻譯：http://datamarket.atman360.com

指數(shù)序列的55個部分和的乘積

逼近論中的一個問題。如果你有一個序列逼近一個函數(shù)，你想知道逼近的零點和極點在哪里。

自動微分

在數(shù)學(xué)和計算機代數(shù)中，自動微分 (Automatic differentiation) 有時稱作演算式微分, 是一種可以借由計算機程序計算一個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。兩種傳統(tǒng)做微分的方法為：一，對一個函數(shù)的表示式做符號上的微分，并且計算其在某一點上的值。二，使用差分。

數(shù)論與物理間令人驚奇的聯(lián)系

別告訴我你都知道。相關(guān)連接：物理中數(shù)論

全息原理

全息原理（Holographic principle），是弦論與預(yù)期中的量子引力的性質(zhì)之一，描述了一個空間的性質(zhì)可編碼在其邊界上，例如事件視界的類光邊界。相關(guān)連接：NASA圖片

美麗遇見數(shù)學(xué)

介紹過這個。十個數(shù)學(xué)方程，十個展框，代表了美麗、和諧。

13個關(guān)于相關(guān)的文章和教程

• Tutorial: How to detect spurious correlations - and how to find the real ones
  

• How to find out if it's correlation or causation
  

• Correlation does not imply causation
  

• Correlation and R-Squared for Big Data
  

• Spurious correlations: 15 examples
  

• How to Lie with Visualizations - Statistics, Causation vs Correlation
  

• Associations and Correlations: The Essential Elements - Book
  

• Examining correlation
  

• The best kept secret about linear and logistic regression
  

• Excluding variables from a logistic regression model - based on correlation
  

• Another book about correlation vs. causation
  

• High crime rates explained by gasoline lead. Really?
  

• Comparing Copulas and Rank Order Correlation
  

比較pi^e 和 e^pi

比較pi^e 和 e^pi有不同的辦法。現(xiàn)在要求不用計算。作圖很直接，看圖。

《數(shù)學(xué)與藝術(shù)》雜志

第一次聽說這個雜志，為它叫個好。

勒讓德三平方數(shù)定理

任意一個自然數(shù)n都可以寫成三個平方數(shù)的和的充分必要條件是：n 不能寫成 4^a(8b + 7) 的形式，這里a和b 是整數(shù)。

德國數(shù)學(xué)家是如何擔(dān)當(dāng)起對古代秘魯線條文化的責(zé)任的

為了研究秘魯納斯卡巨畫，Maria Reiche在秘魯沙漠里生活了40年。

如何構(gòu)造幻方

想不想自己創(chuàng)作出幻方來？到這里學(xué)一學(xué)吧。相關(guān)閱讀：幻方

當(dāng)長度等於面積的時候

雙曲余弦的圖形稱為懸鏈線。它具有這樣的性質(zhì)。

軌形

軌形，也稱“軌道流形”，是流形的一個推廣，允許某種"奇異點"在其拓?fù)渲写嬖凇４笾聛碇v，它是局部看起來像一些簡單空間（例如，歐幾里得空間）通過各種有限群的群作用的商。奇點對應(yīng)于群作用的不動點，而作用必須在某種意義下相容。

最佳數(shù)學(xué)動畫GIF

這里收集了一些挺不錯的數(shù)學(xué)動圖。

你是哪個數(shù)學(xué)對象？

希望你能找到你的歸屬，否則你就out了。

哪些數(shù)學(xué)家對你最有影響力？

他們說是：Alexander Grothendieck，Thurston，Gromov，Terence TaoSir Michael Atiyah，Serge Lang，John Baez，John Willard Milnor，…Martin Gardner算嗎？中國人大概會說陶哲軒吧？

井字棋，跳棋，像棋，圍棋，下面是數(shù)學(xué)！

計算機正在贏得各種游戲，但下一個是數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)也是一個游戲，數(shù)學(xué)家正在玩“嚴(yán)格證明”的游戲。計算機能贏的了嗎？

不用微積分找到二次曲線的切線

分析方法足以找到圓錐曲線的切線方程。

描述常見證明技巧的信息圖

有沒有缺什么？一定有的。

講解馬爾科夫蒙特卡洛

馬爾科夫蒙特卡洛（MCMC）方法（含隨機游走蒙特卡洛方法）是一組用馬氏鏈從隨機分布取樣的算法，之前步驟的作為底本。步數(shù)越多，結(jié)果越好。

莫雷角三分線定理

在歐幾里得幾何中，莫雷角三分線定理（Morley's theorem）說明對所有的三角形，其三個內(nèi)角作角三分線，靠近公共邊三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克·莫雷在1899年發(fā)現(xiàn)。對外角作外角三分線，也會有類似的性質(zhì)，可以再出4個等邊三角形。此定理有趣的地方是我們沒辦法用尺規(guī)作圖作出其等邊三角形，因為已經(jīng)證明出尺規(guī)作圖無法作出三等分角。相關(guān)閱讀：Morley's Miracle J. Arioni's Proof

黎曼ζ函數(shù)與解析延拓的可視化

通過直觀的動畫演示，教你從變換的視角來看黎曼ζ函數(shù)，揭曉解析延拓背后優(yōu)美的幾何直覺，最后簡要介紹與黎曼ζ函數(shù)相關(guān)的千禧年大獎難題“黎曼猜想”。

斐波那契數(shù)的推廣

斐波那契可以有很多種推廣，比如負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)、向量等等。還有類似于斐波那契數(shù)列的整數(shù)數(shù)列，…

這個數(shù)學(xué)神童在高中畢業(yè)前將獲得碩士學(xué)位

17歲的斯蒂芬妮□梅在高中畢業(yè)之前就從喬治梅森大學(xué)獲得了數(shù)學(xué)碩士學(xué)位。一切都始于教學(xué)卡片。梅還記得和爸爸一起用卡片做練習(xí)。“他教我做加法、乘法和減法，”她說道。那是在幼兒園的時候。到一年級的時候，她就開始學(xué)習(xí)代數(shù)。二年級的時候，學(xué)習(xí)幾何。星期六，這位弗吉尼亞少女將獲得喬治梅森大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的理學(xué)碩士學(xué)位。她的下一站是紐約大學(xué)，她將在那里攻讀博士學(xué)位。相關(guān)連接：PPT，中文翻譯

哆嗒作品

女神艾米的美妙數(shù)學(xué)
英國專家：中國數(shù)學(xué)教學(xué)體系能促進社會階層流動
三本數(shù)學(xué)史哲書，幫你理解數(shù)學(xué)思想的進化
數(shù)學(xué)獎?wù)律系臄?shù)學(xué)故事──講講國際數(shù)學(xué)家大會四大獎項
驚！歌德巴赫、孿生素數(shù)猜想還可以這樣玩！

520：向你心中的數(shù)學(xué)家表白吧！

征文活動頒獎公告
在數(shù)學(xué)里是不會上當(dāng)受騙的
數(shù)學(xué)實現(xiàn)正義的經(jīng)典案例：Peoples v. Collins案
六一兒童節(jié)：看看這10個數(shù)學(xué)家的逆天童年

人物與歷史

川大數(shù)學(xué)系師生傳奇
用概率判生死：法庭上的數(shù)學(xué)證據(jù)
牛頓為什么會相信上帝的存在，原來是三體惹的禍。。。
數(shù)學(xué)家告訴你林書豪如何影響尼克斯
納什打造博弈論江山
『約翰·福布斯·納什』數(shù)學(xué)大師的如戲人生
陳木法：邁好科學(xué)研究的第一步
中國數(shù)學(xué)競賽史上最玩命的“賭徒”張筑生，用一個字換來五屆IMO總分第

頂級數(shù)學(xué)家如何做數(shù)學(xué)？當(dāng)代大師阿蘭·孔涅的探秘之旅
世界科學(xué)史上的一段傳奇，阿基米德羊皮書在同步輻射實驗室中顯出真容。。。

氫原子背后隱藏的代數(shù) | 當(dāng)阿熱遇見賽先生
于飛：以哲思演繹數(shù)學(xué)的精妙

HPM人物談：懷念沈康身先生

別把我吹捧成伽羅瓦

數(shù)學(xué)凌駕于一切人類文化之上，向各個知識領(lǐng)域滲透
數(shù)學(xué)思維比數(shù)學(xué)運算更重要
王世強先生自述

數(shù)學(xué)與愛情
大逆不道的誕生，先天不足的缺陷，卻成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) (無窮)
陳景潤誕辰 | 陳景潤與“哥德巴赫猜想”
37年后妻子重新解讀陳景潤：他不是不諳世事的科學(xué)怪人
液體動力學(xué)發(fā)展
二十年前，世界最強圍棋AI在中國，出自中山大學(xué)一位退休教授之手
回歸基本原理的數(shù)字探索：減法與0的發(fā)現(xiàn)
93歲數(shù)學(xué)教授講律詩、對聯(lián)火了，他的一句話擲地有聲
康托與老師撕逼十年，還做了34年瘋子的數(shù)學(xué)天才，死前終於得到了認(rèn)同
柯潔1/4子惜敗，機器之心獨家對話AlphaGo開發(fā)者導(dǎo)師 Martin Muller
COS訪談第28期：陳松蹊教授

從高斯算1+2+3+...+100 談起
這位華人數(shù)學(xué)大牛（張壽武）太有趣了，時而虐老師，時而又被老師虐！
【公元前1000 - 元年】- 數(shù)學(xué)進化史
這位過勞死的天才數(shù)學(xué)家，一生只發(fā)表了10篇論文，鉆研了15年數(shù)學(xué)，卻名震天下（黎曼）
端午送書！（《中國數(shù)學(xué)教育人名辭典》）
用一生完成的證明──記齊民友教授 (齊民友：數(shù)學(xué)教育的改革要遵循數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展)

沃爾夫勒姆和他的“新科學(xué)”（上）

卡西尼號完美收場背后的航天動力學(xué)

卡西尼號會涉及到二十二個軌道，其中軌道的近拱點或者最近點，實際上就在土星大氣和環(huán)的最內(nèi)層之間的縫隙里。我們要做的是利用泰坦星最后的引力助推來設(shè)計軌跡，重力助推(Gravity assist)就是通常所說的引力彈弓效應(yīng)，利用行星的引力場來給飛行器加速或減速。

麥當(dāng)勞還是漢堡王：同樣的等待不一樣的排隊

不同地方排隊方式不總是一樣。很多地方采用的是“蛇形排隊法”，在幾個柜臺同時工作的時候，所有的顧客只排一隊，隊伍像一條長長的蛇一樣在間隔的柵欄之間穿行，排在隊伍最前面的顧客就可以得到服務(wù)。而有的地方采用的則是傳統(tǒng)的，每個柜臺后面各自排一隊的方式。美國賣漢堡的兩家快餐店──Wendy漢堡和麥當(dāng)勞，就分別使用了蛇形排隊法和多列排隊法。如果要較個真的話，這兩種排隊方法孰優(yōu)孰劣呢？

數(shù)學(xué)理論：在意想不到的地方與實際相遇

1，四元數(shù)：150年后在計算機時代盛開；2，最密堆積：3個世紀(jì)后在信道中相遇；概率論：從賭桌上的硬道理到保險業(yè)的發(fā)展。英文原文：The unplanned impact of maths

助力CFD躍升飛行器研制領(lǐng)域新高度──網(wǎng)格生成技術(shù)

計算流體力學(xué)是以計算機為工具，利用離散化的網(wǎng)格技術(shù)和數(shù)值計算方法求解流體運動方程，從而揭示流動機理和流動規(guī)律的新興交叉學(xué)科。張涵信院士將計算流體力學(xué)的研究內(nèi)容概括為5 個“M”和一個“A”。五個“M”分別是Machine,Mesh, Method, Mechanism 和Mapping。Machine，即計算機，它是CFD 研究的硬件基礎(chǔ)，而并行計算技術(shù)，尤其是針對大型異構(gòu)并行計算機的高效并行算法是CFD 與計算機硬件系統(tǒng)密切相關(guān)的研究內(nèi)容；Mesh，即計算網(wǎng)格(或者稱Grid)，網(wǎng)格劃分是整個數(shù)值計算的基礎(chǔ)和前提，已成為CFD 的重要研究領(lǐng)域，并逐步形成為一個重要的學(xué)科分支；Method，即計算方法，流體力學(xué)控制方程的求解方法是CFD 中最為活躍的領(lǐng)域，目前已經(jīng)發(fā)展了各種各樣的求解方法，如有限差分法(finite difference method, FDM)、有限體積法(finite volume method, FVM)、有限元法(finite element method, FEM) 等；Mechanism，即流動機理，CFD 的最終目的是獲得飛行器的氣動特性和與之相應(yīng)的流動機理，如何從數(shù)值計算的“數(shù)據(jù)海洋”中分析流動機理至關(guān)重要；Mapping，即流動顯示，計算結(jié)果以靜、動態(tài)的圖形展示出來，更加方便分析流動機理，揭示流動規(guī)律。一個“A”指Application，即應(yīng)用，CFD 研究的目的是在以航空航天為代表的眾多工業(yè)領(lǐng)域得到良好的應(yīng)用，解決航空航天飛行器研制中的關(guān)鍵氣動問題。自CFD 誕生以來，始終圍繞這五個“M”向前發(fā)展，并在實際工程中得到越來越廣泛的應(yīng)用（“A”）。

應(yīng)行仁：概率的理解和應(yīng)用

概率是不確定之事，發(fā)生可能性估算的學(xué)問。信與不信也是各人的認(rèn)知。只不過世事無常，哪能盡判黑白，估算之技“知之者勝，不知之者不勝。 ... 多算勝，少算不勝，而況無算乎！”

白圖格吉扎布：關(guān)于“向量代數(shù)”的對話(1)

改革者：為了表示多元系統(tǒng)，引入向量，以便把我們的研究對象從變量擴展到系統(tǒng)。保守者：向量是沒有除法的。向量的乘積，內(nèi)積、外積（點乘，叉乘）不再是向量。改革者：那么，我們來定義向量除法。既然，加法的定義是：“份量的和做和的份量”，我們道法自然，定義除法的定義：“份量的商做商的份量”保守者：定義當(dāng)然可以定義，但有什么意義呢？改革者：有了向量商，我們可以同時描述系統(tǒng)，以及系統(tǒng)各份量的變化率（是“同時”），并定義變化率為系統(tǒng)的“演替即時趨勢”。

白圖格吉扎布：關(guān)于向量代數(shù)的對話（2）

股市數(shù)據(jù)，一個國家、地區(qū)的國民經(jīng)濟數(shù)據(jù)都是這樣的多元系統(tǒng)時間鏈。變量獨立，資源共享，時間慣性，指數(shù)增長。

張學(xué)文：對白圖格吉扎布的向量積的初步理解

在白圖格吉扎布的博客中介紹了他提出的關(guān)于向量的一種新乘法。向量各個份量的積對應(yīng)“乘積運算”而獲得的新向量的各個份量。顯然這樣獲得的新份量們構(gòu)成了一個新的向量。在我這個數(shù)學(xué)外行的人看，這是一種新的提法。至少對我有新意（它與過去的向量點乘，□乘不同）。作為學(xué)生，我在考慮這種做法是否具有應(yīng)用實例。我想如果這樣做不僅沒有錯誤而且又是我們經(jīng)常可以遇到的運算，那么這個新定義就有很大的實用價值。1. ? ?超市的購物菜單。2. ? ?降水的這個雨量深度與其對應(yīng)籠罩面積的積。

曹廣福：誰說沒有答辯通不過的博士學(xué)位論文？

很多人都認(rèn)為，現(xiàn)在沒有答辯通不過的論文，這是一種誤解，這些年，我參與過的研究生論文答辯最終未能通過的很多，幾乎每年都有幾個。今天有幸參加了一位數(shù)學(xué)教育博士學(xué)位論文的答辯會，這里我要為其導(dǎo)師，一位德高望重的老先生點個大大的贊，他沒有因為專家們不認(rèn)同學(xué)生的論文袒護學(xué)生，而是要求學(xué)生認(rèn)真修改，過關(guān)了再答辯。

程京德：哥德爾不完全性定理的內(nèi)容和有效范圍 (3) 各種典型誤解實例

本文將以漸進（未必是以對象文章發(fā)表時間為序）方式列舉一些對哥德爾不完全性定理的典型誤解實例，以正式公開發(fā)表的文章為對象。

岳愛國：華羅庚大師談讀書

華羅庚大師是這樣講的，當(dāng)剛拿到一冊書時會感覺很厚，我這里所說的很厚不是物質(zhì)概念的，而是精神層面的，因為書中的內(nèi)容或全部、或大多都是陌生的，當(dāng)然會覺得厚。可讀著讀著，將書中的陌生變成了熟識，待一冊書全部讀完了，書就變薄了，因為書中知識的難點都被你給攻克了嗎。相關(guān)閱讀：陳景潤生活中二三事

王永暉：速算+巧算：適合小學(xué)高年級學(xué)生的代數(shù)學(xué)訓(xùn)練

這里所說的小學(xué)高年級學(xué)生，包括初中低年級學(xué)生，打基礎(chǔ)，基礎(chǔ)特別好的自然到了中學(xué)可以練的少一些，實際上，美國直到高中生都有相應(yīng)的訓(xùn)練和比賽。我們把數(shù)學(xué)，分為概念引入和日常訓(xùn)練，概念引入部分在前，請參考張亞杰的論文，鏈接見于我們開創(chuàng)的小學(xué)數(shù)學(xué)新教法。日常訓(xùn)練部分，則用奧數(shù)教材上的“速算+巧算”就挺好，不過，在美國現(xiàn)在稱為"Number Sense", 這是我收錄的一些網(wǎng)站鏈接，上面有免費的測試題，歡迎同好告訴我增錄。

王永暉：“刷題”是什么意思？

當(dāng)我這幾年接觸到數(shù)學(xué)教育，聽到這個名詞的時候，想問它是什么意思，不過，沒有聽到太清晰的回答，而且不同層次的數(shù)學(xué)教育工作者，答法甚至有很大不同。

科學(xué)出版社：數(shù)學(xué)向理性的回歸

在柯西的努力下，微積分中一些重要的概念如連續(xù)、可導(dǎo)性、微分、積分、無窮級數(shù)的和等概念也都有了較為堅實的理論基礎(chǔ)。這種分析數(shù)學(xué)方法，實際上就是在向古希蠟數(shù)學(xué)精神回歸。但是在柯西之后，魏爾斯特拉斯等人發(fā)現(xiàn)為極限提出明確定義并沒有完全解決第二次數(shù)學(xué)危機，因為極限的定義會牽涉到實數(shù)，而實數(shù)仍然是一個未定義概念。

《古今數(shù)學(xué)思想》讀書筆記（13）

第4章：歐幾里得和阿波羅尼斯。本篇記錄此章的第12節(jié)“阿波羅尼斯的數(shù)學(xué)著作”。

趙松：人工智能與大學(xué)數(shù)學(xué)是“近親”

今天的這篇文章主要跟大家講述人工智能與大學(xué)數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計）間密不可分的關(guān)系。

林群：微積分小卡片

有三種產(chǎn)品:小學(xué)版、初中版、高中版. 經(jīng)過講解。

程京德：哥德爾不完全性定理的內(nèi)容和有效范圍 (4) 隨感

哥德爾不完全性定理所嚴(yán)格限定的有效范圍是很窄的，遠(yuǎn)不像許多誤解隨意解釋的那么寬。

馬耀基：貝爾不等式和量子真隨機性──物理筆記7

量子糾纏是一種奇妙的現(xiàn)象，物體可以瞬間對遠(yuǎn)方的另一物體產(chǎn)生影響，但我們它無法利用它來實現(xiàn)超光速通訊。

胡鋒：來吧，一起見一見這位數(shù)學(xué)老師

記得幾年前，在紐約時報上討論如何提高美國的科學(xué)教育水平的問題。紐約時報的一位數(shù)學(xué)專欄的撰稿人，康奈爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，Steven Strogatze 對這個復(fù)雜問題的回答是一句話“找到一位好老師”。這本書就記敘了Strogatze教授和他的高中數(shù)學(xué)老師Don Joffray先生間長達(dá)30年的友誼的故事。相關(guān)閱讀：微積分與人生

天下誰人不識君-地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)大師Krige的故事

地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)脫胎于采礦業(yè)，當(dāng)采礦工程師預(yù)測將要開采的結(jié)果時，特別是當(dāng)開始獲取并能夠分析樣品，用相應(yīng)的厚度和影響范圍加權(quán)計算平均品位時，我們就可以說地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)誕生了。地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)能有今天的成就，Danie Krige起了至關(guān)重要的作用。

張?zhí)烊?#xff1a;別相信直覺-概率論幫助偵破“財務(wù)造假”

說來令人奇怪，科學(xué)定律的發(fā)現(xiàn)有時來自于一些毫不起眼，小得不能再小的現(xiàn)象，本福特的發(fā)現(xiàn)便是如此：以1開頭的數(shù)字比較多，這也算是一個定律嗎……

彭雷：數(shù)學(xué)建模可以幫助人獲得愛情嗎？

在美國，第一次婚姻中有一半以離婚告終。而我國2015年，共有384.14萬對夫妻選擇離婚。2016年上半年全國依法辦理離婚手續(xù)的共有168.3萬對。目前，我國僅2017年第1季度就已經(jīng)有95.82萬對夫妻離婚。考慮到計劃生育導(dǎo)致的適婚人口減少，以及老齡化問題，我國離婚率雖然比不上西方國家，但結(jié)果仍讓人咋舌。那么，隨著現(xiàn)在數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是人工智能、大數(shù)據(jù)技術(shù)的應(yīng)用，能否提高愛情婚姻的成功率呢？

劉超：用數(shù)形結(jié)合的方法研究應(yīng)用邏輯學(xué)

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中非常重要的思想方法之一，遺憾的是，這種思想在邏輯學(xué)中使用的還是不多──準(zhǔn)確的說，是數(shù)用的不多。或者說，主流的認(rèn)識還是期望為數(shù)學(xué)尋找邏輯學(xué)的基礎(chǔ)而不是相反。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学都知道的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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