垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系示意圖

graph LR A((線線垂直))--判定=> <=性質(zhì)-->B{線面垂直} B--判定=><=性質(zhì)-->C((面面垂直)) C--判定=><=性質(zhì)-->A

\[線\perp線 \xlongequal[\Leftarrow 性質(zhì)定理]{判定定理\Rightarrow}線\perp面\xlongequal[\Leftarrow 性質(zhì)定理]{判定定理\Rightarrow}面\perp 面\]

\[線\perp 線\xlongequal[\Leftarrow 性質(zhì)定理]{判定定理\Rightarrow}面\perp 面\]

前言

常識(shí)儲(chǔ)備

識(shí)記如圖所示的是正方體\(ABCD-A'B'C'D'\)，有如下的常用結(jié)論：

(1)體對(duì)角線\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)(如圖1)

證明：令體對(duì)角線\(B'D\)和平面\(ACD'\)的交點(diǎn)是\(N\)，由正四面體\(B'-ACD'\)可知，

\(N\)是三角形底面的中心，連接\(OD'\)，則易知\(AC\perp BD\)，\(AC\perp BB'\)，故\(AC\perp B'D\)，

同理\(AD'\perp B'D\)，故體對(duì)角線\(B'D\perp\)平面\(ACD'\)。

(2)\(DN=\cfrac{1}{3}B'D\)(如圖1，利用等體積法)

(3)平面\(ACD'//A'BC'\)(如圖2)

(4)平面\(ACD'\)與平面\(A'BC'\)的間距是\(\cfrac{1}{3}B'D\)，即體對(duì)角線的\(\cfrac{1}{3}\)(如圖2)

(5)三棱錐\(B'-ACD'\)是正四面體。三棱錐\(D-ACD'\)是正三棱錐。

(6)如果需要將正四面體或者墻角型的正三棱錐恢復(fù)還原為正方體，我們可以先畫出正方體，然后在里面找出需要的正四面體或者墻角型正三棱錐。

(7)圓內(nèi)接正方形的中心就是圓心，正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度就是圓的直徑；球內(nèi)接正方體的中心就是球心，正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度就是球的直徑。

(8)正方形的棱長(zhǎng)設(shè)為\(2a\)，則正方形的內(nèi)切圓半徑為\(a\)，正方形的外接圓半徑為\(\sqrt{2}a\)，三者的關(guān)系之比為\(2:1:\sqrt{2}\)；

正方體的棱長(zhǎng)設(shè)為\(2a\)，則正方體的內(nèi)切球半徑為\(a\)，正方體的外接球半徑為\(\sqrt{3}a\)，三者的關(guān)系之比為\(2:1:\sqrt{3}\)；

(9)正三角形的棱長(zhǎng)設(shè)為\(2a\)，則正三角形的內(nèi)切圓半徑為\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圓半徑為\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的關(guān)系之比為\(2\sqrt{3}:1:2\)；

正四面體的棱長(zhǎng)設(shè)為\(2a\)，則正四面體的內(nèi)切球半徑為\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面體的外接球半徑為\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的關(guān)系之比為\(2\sqrt{6}:1:3\)；

判定難點(diǎn)

• 主從關(guān)系的轉(zhuǎn)換，比如證明\(A_1F\perp DE\)不容易時(shí)，我們轉(zhuǎn)而證明\(DE\perp A_1F\)可能很容易。山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村。

• 區(qū)分清楚判定定理和性質(zhì)定理。

• 垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

典例剖析

• 線線垂直

例10【2019屆高三理科數(shù)學(xué)三輪模擬試題】在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，點(diǎn)\(O\)是四邊形\(ABCD\)的中心，關(guān)于直線\(A_1O\)，下列說法正確的是【】

$A.A_1O//D_1C$ $B.A_1O\perp BC$ $C.A_1O//平面B_1CD_1$ $D.A_1O\perp平面AB_1D_1$

分析：由于題目中給定點(diǎn)\(O\)是下底面的中心，故我們想到也做出上底面的中心\(E\)，如圖所示，

當(dāng)連結(jié)\(CE\)時(shí)，我們就很容易看出\(A_1O//CE\)，以下做以說明；

由于\(OC//A_1E\)，且\(OC=A_1E\)，則可知\(A_1O//CE\)，

又由于\(A_1O\not \subset 面B_1CD_1\)，\(CE \subset 面B_1CD_1\)，故\(A_1O//平面B_1CD_1\) ，故選\(C\)，

此時(shí)，我們也能輕松的排除\(A\)，\(B\)，\(D\)三個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。

• 線面垂直

例3【2017鳳翔中學(xué)第二次月考理科第19題】如圖，\(\Delta ABC\)和\(\Delta BCD\)所在平面互相垂直，且\(AB=\)\(BC=BD\)\(=2\)，\(\angle ABC=\angle DBC=120^{\circ}\)，\(E、F、G\)分別是\(AC、DC、AD\)的中點(diǎn)，

(1)求證：\(EF\perp 平面BCG\)

分析提示：只要證明\(AD\perp 平面BCG\)

(2)求三棱錐\(D-BCG\)的體積。

分析：在平面\(ABC\)內(nèi)，作\(AO\perp BC\)，交\(CB\)延長(zhǎng)線于\(O\)，由平面\(ABC\perp BCD\)，可知\(AO\perp 平面BDC\)，

由\(G\)到平面\(BCD\)距離\(h\)是\(AO\)長(zhǎng)度的一半，在\(\Delta AOB\)中，\(AO=AB\cdot sin60^{\circ}=\sqrt{3}\)，

故\(V_{D-BCG}=V_{G-BCD}=\cfrac{1}{3}S_{\Delta DBC}\cdot h\)\(=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{2}\cdot BD\cdot BC\)\(\cdot sin120^{\circ}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(=\cfrac{1}{2}\)。

• 面面垂直

例1【2016江蘇高考卷】如圖，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)、\(E\)分別是\(AB\)、\(BC\)的中點(diǎn)，點(diǎn)\(F\)在側(cè)棱\(BB_1\)上，且\(B_1D\perp A_1F\)，\(A_1C_1\perp A_1B_1\)。

求證：(1)直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\).

分析：現(xiàn)在需要\(\Leftarrow\)直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)

\(\Leftarrow\)直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)內(nèi)的某直線\(?\)

某條直線可能是三角形的邊界線，三角形中線，高線，中位線，或者需要我們做出的某條輔助直線。

證明：因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="math inline">\(D\)、\(E\)分別是\(AB\)、\(BC\)的中點(diǎn)，則有\(DE//AC//A_1C_1\)，

又因?yàn)橹本€\(A_1C_1\subsetneqq\)平面\(A_1C_1F\)，

\(DE\not\subseteq\)平面\(A_1C_1F\)，則直線\(DE//\)平面\(A_1C_1F\)。

求證(2)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\).

分析：\(\Leftarrow\)平面\(B_1DE\perp\)平面\(A_1C_1F\)

\(\Leftarrow\)一個(gè)面內(nèi)的某條直線\(\perp\)另一個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線。

此時(shí)往往需要結(jié)合圖形及已知條件來確定，比如將一個(gè)面內(nèi)的某條直線暫時(shí)確定為直線\(A_1F\)，

那么此時(shí)就需要在另一個(gè)平面\(B_1DE\)內(nèi)找兩條相交直線，且都要能證明和直線\(A_1F\)，

如果能找到，則這樣的思路就基本固定下來了，

思路一大致為：\(A_1F\perp\begin{cases}B_1D\\ DE\end{cases}\)，

從而轉(zhuǎn)證\(DE\perp A_1F\)，從而轉(zhuǎn)證\(A_1C_1\perp A_1F\)，

從而轉(zhuǎn)證\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，

從而轉(zhuǎn)證\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；

思路二大致為：\(B_1D\perp\begin{cases}A_1F\\ A_1C_1\end{cases}\)，

從而轉(zhuǎn)證\(A_1C_1\perp B_1D\)，

從而轉(zhuǎn)證\(A_1C_1\perp\)包含\(B_1D_1\)的平面\(ABB_1A_1\)，

從而轉(zhuǎn)證\(A_1C_1\perp\begin{cases}A_1B_1\\ A_1A\end{cases}\)；

證明：你能自主寫出證明過程嗎？

【反思提升】上述解答中的思路一中，在分析需要證明\(A_1F\perp DE\)時(shí)，包含了視角上的轉(zhuǎn)換，如證明\(A_1F\perp DE\)不容易時(shí)，我們轉(zhuǎn)而證明\(DE\perp A_1F\)，即轉(zhuǎn)證\(A_1C_1\perp A_1F\)，從而接下來就可以考慮證明線面垂直，從而轉(zhuǎn)證\(A_1C_1\perp\)包含\(A_1F\)的平面\(ABB_1A_1\)，

例2【2016衡水金卷】如圖，在四棱錐\(P-ABCD\)中，\(AB\perp PA\)，\(AB//CD\)，且\(PB=\)\(BC=BD\)\(=\sqrt{6}\)，\(CD=2AB=2\sqrt{2}\)，\(\angle PAD=120^{\circ}\)，\(E\)和\(F\)分別是棱\(CD\)和\(PC\)的中點(diǎn)。

(1).求證：平面\(BEF\perp\)平面\(PCD\).

證明：因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="math inline">\(E\)為\(CD\)的中點(diǎn)，\(CD=2AB\)，則\(AB=DE\)，又因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="math inline">\(AB//CD\)，所以四邊形\(ABED\)為平行四邊形。

又因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="math inline">\(BC=BD\)，\(E\)為\(CD\)的中點(diǎn)，故\(BE\perp CD\)，則四邊形\(ABED\)為矩形，則\(AB\perp AD\)。

又因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="math inline">\(AB\perp PA\)，\(PA\cap AD=A\)，所以\(AB\perp 平面PAD\)。

又因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="math inline">\(AB//CE\)，所以\(CD\perp 平面PAD\)，所以\(CD\perp PD\)。

又因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="math inline">\(EF//PD\)，所以\(CD\perp EF\)。又因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="math inline">\(CD\perp BE\)，所以\(CD\perp 平面BEF\)。所以平面\(PCD\perp 平面BEF\)。

(2).求直線\(PD\)與平面\(PBC\)所成角的正弦值。

待補(bǔ)充。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11187604.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的直线平面垂直的判定和性质的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。