越看越爽，此后统计学习不再是路人！
?【加薪必備】全套零基礎(chǔ)學(xué)AI資料免費(fèi)領(lǐng)！
作者：賈勝杰，碩士，退役軍人，電氣工程專業(yè)，現(xiàn)成功轉(zhuǎn)行K12領(lǐng)域數(shù)據(jù)挖掘工程師，不僅在數(shù)據(jù)清理、分析和預(yù)測(cè)方向，而且在自制力和高效學(xué)習(xí)方面都有豐富經(jīng)驗(yàn)。?
編輯：王老濕
Hi，各位同學(xué)，專欄關(guān)于修煉技法的部分已經(jīng)發(fā)布了 7 篇：
通過(guò)這些文章，我們學(xué)習(xí)了Numpy的基本操作、數(shù)據(jù)分析的基本流程、Pandas在數(shù)據(jù)分析各個(gè)過(guò)程中的應(yīng)用以及Matplotlib&Pandas的可視化基礎(chǔ)，也就是說(shuō)，你們已經(jīng)算是掌握了基礎(chǔ)的數(shù)據(jù)分析技能啦！撒花！但是在統(tǒng)計(jì)學(xué)理論和預(yù)測(cè)方面仍有欠缺，那么在本階段我們就來(lái)補(bǔ)上！
我們分兩篇文章來(lái)介紹數(shù)據(jù)分析相關(guān)的基礎(chǔ)概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)：
上篇：描述統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率與貝葉斯法則、常見(jiàn)概率分布
下篇：推論統(tǒng)計(jì)學(xué)、置信區(qū)間、假設(shè)檢驗(yàn)、線性回歸、邏輯回歸
描述統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)
描述統(tǒng)計(jì)分析就是通過(guò)數(shù)字或可視化的方法，對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行整理、分析，并對(duì)數(shù)據(jù)的分布狀態(tài)、數(shù)字特征和隨機(jī)變量之間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì)和描述。其簡(jiǎn)要可以分為集中趨勢(shì)分析、離散程度分析以及相關(guān)分析三大部分。
數(shù)據(jù)類型
數(shù)據(jù)類型是基礎(chǔ)，尤其是之后在進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)時(shí)，針對(duì)不同的數(shù)據(jù)類型可以選擇不同的算法，所以必須掌握。
數(shù)據(jù)類型可以分為兩大類：數(shù)值和分類；進(jìn)而分為四小類：連續(xù)、離散、定序和定類。
| 數(shù)值: | 連續(xù) | 離散 |
| 身高、年齡、收入 | 書(shū)中的頁(yè)數(shù)、院子里的樹(shù)、咖啡店里的狗 | |
| 分類: | 定序 | 定類 |
| 字母成績(jī)等級(jí)、調(diào)查評(píng)級(jí) | 性別、婚姻狀況、早餐食品 |
描述統(tǒng)計(jì)的量
| 數(shù)值: | 集中趨勢(shì) | 均值 | |
| 中位數(shù) | 偶數(shù)個(gè)時(shí)取中間兩值均數(shù) | ||
| 眾數(shù) | 存在沒(méi)有或多個(gè)的可能 | ||
| 離散程度 | 極差 | max - min | |
| 四分位差（IQR） | 75%數(shù) - 25%數(shù) | ||
| 方差 | 每個(gè)觀察值與均值之差平方和的平均數(shù) | ||
| 標(biāo)準(zhǔn)差 | 方差的平方根 | ||
| 數(shù)據(jù)形狀 | 左偏態(tài) | 均值小于中位數(shù)（普遍但不絕對(duì)，下同） | |
| （需做直方圖） | 右偏態(tài) | 均值大于中位數(shù) | |
| 對(duì)稱分布（通常是正態(tài)分布） | 均值等于中位數(shù) | ||
| 異常值 | 一般為上下超過(guò)1.5倍四分位差 | 處理方式見(jiàn)下面【異常值的處理】 | |
| 分類: | 分類計(jì)量個(gè)數(shù)或比例 |
偏態(tài)分布示意圖
其他相關(guān)概念：
五數(shù)概括描述法：利用最小值、第一四分位數(shù)（25%處）、第二四分位數(shù)（中位數(shù)）、第三四分位數(shù)（75%處）和最大值五個(gè)數(shù)對(duì)數(shù)值型變量的離散程度進(jìn)行描述的方法。
當(dāng)我們的數(shù)據(jù)遵循正態(tài)分布時(shí)，我們可以使用均值和標(biāo)準(zhǔn)差描述我們的數(shù)據(jù)集。
但是，如果我們的數(shù)據(jù)集是偏態(tài)分布，五數(shù)概括法（和關(guān)聯(lián)的集中趨勢(shì)度量）更適用于概括數(shù)據(jù)。
除直方圖外，你還可以使用箱線圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述，箱線圖其實(shí)是五數(shù)概括法的可視化。
異常值的處理：
1. 注意到它們的存在并確定對(duì)統(tǒng)計(jì)的影響，可以通過(guò)繪制直方圖或箱線圖的方法直觀觀察，也可以使用五數(shù)概括法（對(duì)應(yīng)于Pandas中的describe函數(shù)）
2. 如果是輸入錯(cuò)誤 — 刪除或改正
3. 理解它們?yōu)楹未嬖?#xff0c;以及對(duì)我們關(guān)注數(shù)據(jù)問(wèn)題的影響。
4. 當(dāng)有異常值時(shí)，使用五數(shù)概括法的值通常能比均值和標(biāo)準(zhǔn)差等度量更好地體現(xiàn)異常值的存在。
辛普森悖論
我們先舉個(gè)例子?，如下所示是我編的院校錄取數(shù)據(jù)。
| A | 800 | 400 | 50% | 200 | 150 | 75% |
| B | 200 | 20 | 10% | 800 | 160 | 20% |
| 合集 | 1000 | 420 | 42% | 1000 | 310 | 31% |
從上表中我們很明顯能看出，如果只比較A專業(yè)或者B專業(yè)的話，女生的錄取率均高于男生，說(shuō)明女生更受青睞嗎？如果我們看整個(gè)院校兩專業(yè)合計(jì)的話，男生的錄取率又比女生高了，那這又說(shuō)明男生更受青睞嗎？辛普森悖論，辛普森悖論是在某個(gè)條件下的兩組變量，分別討論時(shí)都會(huì)滿足某種性質(zhì)，可是一旦合并考慮，卻可能導(dǎo)致相反的結(jié)論。混雜因素，混雜因素就是一個(gè)與核心研究無(wú)關(guān)的變量，它會(huì)隨著變量的改變而改變，就比如說(shuō)在如上的例子中，不同專業(yè)的總?cè)藬?shù)就有很大差異，它會(huì)隨著專業(yè)的改變而改變，正是由于改變量的變化才導(dǎo)致了悖論的出現(xiàn)。以多種方式去觀察數(shù)據(jù)。在之后處理類似問(wèn)題時(shí)就要進(jìn)行多變量分析，查看是否存在潛在因素，這樣才能幫助我們認(rèn)清事件的本質(zhì)。
概率
概率與統(tǒng)計(jì)的關(guān)系
在介紹概率之前，我們先來(lái)看下概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系：
（圖像來(lái)源：Udacity）
概率是由模型（MODEL）去預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)（DATA），而統(tǒng)計(jì)是由數(shù)據(jù)去建立模型（進(jìn)而再去做預(yù)測(cè)）。
基礎(chǔ)知識(shí)
概率，是一種幾率、可能性，描述是事件發(fā)生的可能性度量量。隨機(jī)事件，指一個(gè)被賦予機(jī)率的事件集合，針對(duì)的是事件在樣本空間的一個(gè)子集。事件A發(fā)生的概率，用符號(hào)P(A)表示 。
任何事件的發(fā)生概率在 0 和 1 之間，其中包括 0 和 1。（0表示不可能發(fā)生，1表示必然發(fā)生）
獨(dú)立事件：事件A與事件B是否發(fā)生/發(fā)生的結(jié)果沒(méi)有任何關(guān)系，就可以說(shuō)事件A與B互為獨(dú)立事件。比如說(shuō)，第一次擲骰子的結(jié)果與第二次的結(jié)果
互斥事件：不可能在同一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的倆事件。比如說(shuō)，擲骰子實(shí)驗(yàn)中的1和6
對(duì)立事件：是一種特殊的互斥事件，即試驗(yàn)中只有倆種可能A和B，那么事情的發(fā)生非A即B。可以表示為
如擲硬幣的正面和反面。
加法原理：若兩種方法均能完成此事，則此事發(fā)生的概率為P(A) + P(B)
乘法原理：若兩個(gè)步驟分別不能完成此事，則此事發(fā)生的概率為P(A)·P(B)
兩種常見(jiàn)的離散型分布
二項(xiàng)分布
也叫伯努利分布，指n個(gè)獨(dú)立的事件A發(fā)生的概率分布。設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則進(jìn)行n次試驗(yàn)，A發(fā)生k次的概率為：
如檢查某產(chǎn)品，有n個(gè)產(chǎn)品合格的概率。
泊松分布
如果某事件以固定強(qiáng)度隨機(jī)且獨(dú)立的出現(xiàn)，該事件在單位時(shí)間/單位面積內(nèi)出現(xiàn)的次數(shù)（個(gè)數(shù)）就可以看作是泊松分布。它的表達(dá)式為：
條件概率
在現(xiàn)實(shí)中，我們處理的事情并不像骰子和硬幣那樣簡(jiǎn)單，有些時(shí)間的結(jié)果往往依賴于其他的事情，比如說(shuō)晨練的概率跟這個(gè)人是不是夜貓子有關(guān)等等。那么，這就引出了條件概率，即在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率為：
其中，表示同時(shí)發(fā)生的概率。
我們可以使用文氏圖來(lái)幫助我們理解事件之間的關(guān)系，如下圖中，AB同時(shí)發(fā)生的概率可以表示為兩個(gè)圓的交集，那么B已經(jīng)發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率就是這個(gè)交集（橙色部分）占整個(gè)B圓的比例。
之前講過(guò)獨(dú)立事件，那么用公式的方式可以表達(dá)為：P(A) = P(A|B)。根據(jù)條件概率公式可以推導(dǎo)出，當(dāng)P(AB) = P(A)P(B)時(shí)，則可說(shuō)明A事件與B事件相互獨(dú)立。
全概率公式
也就是A發(fā)生的概率為在互斥的多個(gè)事件（B1，B2…）已發(fā)生的條件下的條件概率之和。公式可以表示為：
貝葉斯法則
貝葉斯法則是概率推理的黃金法則，是利用先驗(yàn)概率計(jì)算后驗(yàn)概率的方法。
我們還是通過(guò)一個(gè)例子來(lái)闡述，假設(shè)某醫(yī)院新研究了一種檢驗(yàn)患者是否患癌的技術(shù)，臨床測(cè)試數(shù)據(jù)如下：該技術(shù)具有5%的假陽(yáng)性及3%的假陰性，現(xiàn)已知某一群體的患癌率為0.005，問(wèn)該技術(shù)是否可以應(yīng)用于普查。
我們?cè)O(shè)事件Pos={檢查結(jié)果為陽(yáng)性}，事件C={檢查者患癌}，那么如上的臨床數(shù)據(jù)可以寫(xiě)成：
而我們的目的是確認(rèn)該技術(shù)是否可以用于普查，也就是檢查結(jié)果為陽(yáng)性時(shí)的患癌率（真陽(yáng)性），也就是，這個(gè)值越高，該檢查就越適合普查.
由已知條件，可以計(jì)算出：
?那如果群體的患癌率比較高，約為90%，那么檢查結(jié)果為陽(yáng)性的患癌率有多少呢？這又說(shuō)明了什么？
在這個(gè)例子中：
癌癥發(fā)生的概率P(C)為先驗(yàn)概率，即在我們進(jìn)行檢查之前就對(duì)患癌概率的一個(gè)判斷；陽(yáng)性結(jié)果下為癌癥的概率P(C|Pos)為后驗(yàn)概率（陽(yáng)性下非癌癥、陰性癌癥、陰性非癌癥都是），這些是在檢查發(fā)生之后，我們對(duì)患癌概率這件事的重新評(píng)估。
這就是貝葉斯法則的含義。我們先預(yù)估一個(gè)"先驗(yàn)概率"，然后加入實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由此得到更接近事實(shí)的"后驗(yàn)概率"。
如果感覺(jué)理解困難，可以看一下白話版的貝葉斯講解：怎樣用非數(shù)學(xué)語(yǔ)言講解貝葉斯定理（Bayes's theorem）
Python在概率中的應(yīng)用
前面我們了解了概率的基本知識(shí)，本節(jié)就是利用Python去實(shí)施，應(yīng)用的第三方包為NumPy和Pandas。
均勻隨機(jī)取整
使用的函數(shù)為numpy.random.randint(low, high=None, size=None, dtype='l')：
low：當(dāng)沒(méi)有high參數(shù)輸入時(shí)，作為取值范圍的最大值+1；當(dāng)有high參數(shù)輸入時(shí)，則作為取值范圍的最小值；
high：取值范圍的最大值+1，默認(rèn)為無(wú)輸入；
size：輸入數(shù)字則表示取值的數(shù)量，輸入元組則表示取值矩陣的行和列；
dtype：數(shù)據(jù)類型，默認(rèn)為np.int；
函數(shù)的輸出為int或者是由int數(shù)據(jù)類型組成的ndarray。
函數(shù)的具體用法如下：
import?numpy?as?np#?未定義high參數(shù)，取值范圍是是0到1（即low?-?1） >>>?np.random.randint(2,?size=10) array([1,?0,?0,?0,?1,?1,?0,?0,?1,?0]) #?定義了high參數(shù)，取值范圍是2（即low）到4（即high?-?1） >>>?np.random.randint(2,5,size?=?10) array([2,?2,?3,?3,?4,?2,?3,?2,?2,?4]) #?定義一個(gè)2x4的矩陣，取值范圍是0到4 >>>?np.random.randint(5,?size=(2,?4)) array([[4,?0,?2,?1],[3,?2,?2,?0]])不均勻隨機(jī)取數(shù)
使用的函數(shù)為numpy.random.choice(a, size=None, replace=True, p=None):
a：輸入列表時(shí)，取數(shù)就從該列表中取；若輸入為數(shù)字時(shí)，取值范圍為0到該數(shù)字 - 1；
size：輸入數(shù)字則表示取值的數(shù)量，輸入元組則表示取值矩陣的行和列；
replace：布爾值，默認(rèn)為T(mén)rue，若設(shè)置為False表示取數(shù)不會(huì)重復(fù)；（以從袋子中取球?yàn)槔?#xff0c;True是取完放回再取，而False則是取了不放回，繼續(xù)取）
p：表示概率，與a的輸入值一一對(duì)應(yīng)。
函數(shù)的輸出為int或者是由int數(shù)據(jù)類型組成的ndarray。
函數(shù)的具體用法如下：
#輸入數(shù)字時(shí)取數(shù) >>>?np.random.choice(5,?3) array([0,?3,?4]) #輸入列表時(shí)取數(shù) >>>?np.random.choice([0,1],?3) array([0,?1,?1]) #設(shè)置replace參數(shù) >>>?np.random.choice(5,?3,?replace=False) array([3,1,0]) #設(shè)置概率 >>>?np.random.choice(5,?3,?replace=False,?p=[0.1,?0,?0.3,?0.6,?0]) array([2,?3,?0])二項(xiàng)分布
使用的函數(shù)為numpy.random.binomial(n, p, size=None)，參數(shù)也很好解釋。
參數(shù)中的n即為每次試驗(yàn)中取值的次數(shù)，p則為試驗(yàn)中的某一種事件成功的概率，size則是試驗(yàn)的次數(shù)。
條件概率與貝葉斯規(guī)則測(cè)試
這里主要是一些Pandas函數(shù)的應(yīng)用，經(jīng)過(guò)上一階段的學(xué)習(xí)應(yīng)該已經(jīng)很熟練了。
主要涉及的函數(shù)是分組和統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)類的函數(shù)，比如說(shuō)groupby，query，count等，如果忘記的話，自己查官方文檔或者之前的筆記，這里不再贅述。
正態(tài)分布
在相同條件下，我們隨機(jī)地對(duì)某一測(cè)試對(duì)象（拋硬幣20次，其中正面的次數(shù)）進(jìn)行多次測(cè)試（拋很多次20次）時(shí)，測(cè)得的數(shù)值在一定范圍內(nèi)波動(dòng)（從0到20），其中接近平均值的數(shù)據(jù)（10左右）占多數(shù)，遠(yuǎn)離平均值的占少數(shù)。具有這種分布規(guī)律的隨機(jī)變量的分布就稱作正態(tài)分布。
大概長(zhǎng)這樣兒：
它的概率密度函數(shù)可以表示為：
其中為均值，為標(biāo)準(zhǔn)差。
假設(shè)檢驗(yàn)是基于正態(tài)分布的
許多社會(huì)和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量分布，都可以用正態(tài)分布來(lái)描述
中心極限定理
先回顧下推論統(tǒng)計(jì)的幾個(gè)概念：
總體 —— 我們想要研究的整個(gè)群體。
參數(shù) —— 描述總體的數(shù)值摘要
樣本 —— 總體的子集
統(tǒng)計(jì)量 —— 描述樣本的數(shù)值摘要
依然舉個(gè)例子先：我們想了解國(guó)內(nèi)在校大學(xué)生關(guān)注AI派的比例，但因?yàn)榇髮W(xué)生數(shù)量龐大，我們沒(méi)辦法去一個(gè)一個(gè)的做調(diào)查，所以我們隨機(jī)的從大學(xué)生中抽出一部分群體，然后調(diào)查抽出部分的關(guān)注率，以此來(lái)估計(jì)全國(guó)大學(xué)生的關(guān)注率。
那例中的所有在校大學(xué)生就叫做總體，總體的關(guān)注率就是參數(shù)；我們隨機(jī)抽出的那部分就叫做樣本，其中包含的學(xué)生數(shù)量就叫做樣本容量，在抽出的每組樣本中我們還統(tǒng)計(jì)了關(guān)注率，這就是統(tǒng)計(jì)量。
一般的，樣本數(shù)≥30即可稱為大樣本。大樣本條件下，抽樣平均數(shù)的分布接近正態(tài)分布。
但必要抽樣數(shù)目的確定是有相關(guān)公式計(jì)算的，這里就不給出了，感興趣的話可以去搜搜看。
現(xiàn)在我們利用Python去模擬如上的抽樣過(guò)程，看看會(huì)發(fā)生什么。
#假設(shè)總體數(shù)量為十萬(wàn)，關(guān)注率為0.3，用1表示關(guān)注，可以模擬出總體的分布如下 >>>population?=?np.random.choice([0,1],size=100000,p=[0.7,0.3]) >>>print(f'Mean:{population.mean()},?Std:{population.std()}')Mean:0.30114,?Std:0.4587534200417475為了方便后面調(diào)用，這里我們寫(xiě)了一個(gè)隨機(jī)抽樣&可視化的函數(shù)如下所示：
#抽樣&繪圖 def?sample_plot(sample_size):#隨機(jī)抽樣一萬(wàn)次，計(jì)算關(guān)注率rate_list?=?[]for?_?in?range(10000):sample?=?np.random.choice(population,sample_size)rate?=?sample.mean()rate_list.append(rate)#可視化結(jié)果sns.distplot(rate_list)print(f'Mean:{np.mean(rate_list)},?Std:{np.std(rate_list)}')我們先取樣本容量為5，查看其關(guān)注率的分布情況如下：
#樣本容量為5時(shí)的結(jié)果 >>>sample_plot(5)（完全看不出這是個(gè)什么分布）
將樣本容量改為20，我們?cè)賮?lái)看下結(jié)果：
(已經(jīng)有正態(tài)分布的樣子了）
最后我們把樣本容量改為50:
想比上一幅圖，這幅可視化更接近正態(tài)分布。
?除了直方圖外，觀察下三次實(shí)驗(yàn)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差和總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，它們之間有什么關(guān)系呢？
上面我們的這個(gè)模擬過(guò)程就是中心極限定理的含義，隨著樣本容量的逐漸增大，比例的抽樣分布越接近正態(tài)分布（但也不一定必須要很大很大才能近似于正態(tài)分布），同樣這也適用于求和，平均數(shù)等，但不適用于所有的統(tǒng)計(jì)量，比如說(shuō)最大值，方差等等。
上述模擬過(guò)程中的抽樣方法叫做自助法(Bootstrap)，是一種從給定數(shù)據(jù)集中有放回的均勻抽樣。
中心極限定理的妙處就在于，我們可以從任意的亂七八糟的分布取任意數(shù)量的樣本值，然后計(jì)算樣本的均值（或者和），不斷得取值求均，最終做他們頻率的可視化，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)非常完美的正態(tài)分布。
現(xiàn)實(shí)生活中有很多的隨機(jī)過(guò)程，有的分布就是亂七八糟，但是你可以通過(guò)中心極限定理，得到他們均值或者和的正態(tài)分布，這也是為什么正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)中如此常用的原因之一。
如果感覺(jué)理解起來(lái)還是有點(diǎn)兒困難的話，你可以戳在線抽樣分布模擬器(http://1t.click/aAQ9)，自己動(dòng)手試一試。
大數(shù)定理
大數(shù)定理表達(dá)的是隨著樣本容量增加，樣本平均數(shù)越來(lái)越接近總體平均數(shù)，字面上的意思很好理解，但這里有一點(diǎn)要注意，我們舉例來(lái)說(shuō)明一下：
比如說(shuō)，我現(xiàn)在有100枚硬幣，放在一個(gè)盒子里，隨便搖一下盒子，打開(kāi)，對(duì)正面朝上的硬幣進(jìn)行計(jì)數(shù)（當(dāng)然，我們知道期望為100 x 0.5 = 50）：
第一次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是55；第二次是60；第三次是70，三次實(shí)驗(yàn)的均值為（(55+60+70)/3 ≈62），那你覺(jué)得，下次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是更有可能小于50還是大于50呢？
你有可能這樣想，根據(jù)大數(shù)定理，隨著我們?cè)囼?yàn)次數(shù)的不斷增加，均值肯定是不斷趨向于50的，前三次的實(shí)驗(yàn)中每次都超過(guò)50，那么下次的實(shí)驗(yàn)會(huì)有更大的可能小于50，來(lái)糾正前三次實(shí)驗(yàn)的偏差。
如果你真的這樣想，你就陷入了賭徒悖論。大數(shù)定理不關(guān)心前面發(fā)生的有限次實(shí)驗(yàn)，因?yàn)楹竺孢€有無(wú)限次的實(shí)驗(yàn)，而這無(wú)限次實(shí)驗(yàn)的期望值是50。這個(gè)例子可能比較隨意，但這就是大數(shù)定理的含義。
最后
本周主要對(duì)描述統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行了總結(jié)，這部分偏理論一些，如果覺(jué)得理解起來(lái)有點(diǎn)吃力，可以去網(wǎng)上搜集一些資料或者找一些教科書(shū)去查閱，要求是：不一定要完全掌握其原理，但求理解和會(huì)用。
如果在學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析（專欄）的過(guò)程中有遇到問(wèn)題，歡迎加入我們的學(xué)習(xí)群來(lái)交流，我們作者在群里已等候多時(shí)。還沒(méi)有加入的同學(xué)可以掃描下方的微信二維碼，添加微信好友，之后統(tǒng)一邀請(qǐng)你加入交流群。添加好友時(shí)一定要備注：數(shù)據(jù)分析。?額外參考資料：
【課程】可汗學(xué)院-概率論與統(tǒng)計(jì)(http://1t.click/aAQ3)
【教材】機(jī)會(huì)的數(shù)學(xué)-陳希孺(http://1t.click/aAQ4)
【公式總結(jié)】條件概率及全概率公式及貝葉斯公式(http://1t.click/aAQ5)
【教材】statistics for data science(http://1t.click/aAQ8)
(完)
?【升職加薪必備】全套零基礎(chǔ)學(xué)AI資料免費(fèi)領(lǐng)！
?關(guān)注“Python與人工智能社區(qū)”
近期專欄推薦?（點(diǎn)擊下方標(biāo)題即可跳轉(zhuǎn)）
1.?
2.?
3.?
4.?
點(diǎn)下「在看」，給文章蓋個(gè)戳吧！?
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的越看越爽，此后统计学习不再是路人！的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
- 上一篇： 量子计算机未来猜想,太厉害了吧？这台量子
- 下一篇： 从「模拟」理解零知识证明：平行宇宙与时光