---恢復(fù)內(nèi)容開(kāi)始---

轉(zhuǎn)自：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/08/26/2153928.html

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差分約束系統(tǒng)中：

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如果求未知數(shù)的最大值，那么按小于等于建圖后求最短路即可。（因?yàn)榍笞疃搪肥怯蔁o(wú)窮向下約束而得到的，所以得到的一定是最大值）。

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如果求未知數(shù)的最小值，那么按小于等于建圖后求最長(zhǎng)路即可。

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注意所有數(shù)據(jù)的關(guān)系，不能漏掉關(guān)系，還有與附加源點(diǎn)的關(guān)系。

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如果是按大于等于建圖：

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求最大值，建圖后求最長(zhǎng)路；

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求最小值，建圖后求最短路。

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因?yàn)榇笥诘扔诮▓D后，相當(dāng)于未知數(shù)都 * -1了，所以求出結(jié)果后需要 * -1。

①：對(duì)于差分不等式，a - b <= c ，建一條 b 到 a 的權(quán)值為 c 的邊，求的是最短路，得到的是最大值?
②：對(duì)于不等式 a - b >= c ，建一條 b 到 a 的權(quán)值為 c 的邊，求的是最長(zhǎng)路，得到的是最小值?
③：存在負(fù)環(huán)的話(huà)是無(wú)解?
④：求不出最短路（dist[ ]沒(méi)有得到更新）的話(huà)是任意解?

一直不知道差分約束是什么類(lèi)型題目，最近在寫(xiě)最短路問(wèn)題就順帶看了下，原來(lái)就是給出一些形如x-y<=b不等式的約束，問(wèn)你是否滿(mǎn)足有解的問(wèn)題

好神奇的是這類(lèi)問(wèn)題竟然可以轉(zhuǎn)換成圖論里的最短路徑問(wèn)題，下面開(kāi)始詳細(xì)介紹下

比如給出三個(gè)不等式,b-a<=k1,c-b<=k2,c-a<=k3,求出c-a的最大值,我們可以把a(bǔ),b,c轉(zhuǎn)換成三個(gè)點(diǎn)，k1，k2，k3是邊上的權(quán)，如圖

由題我們可以得知，這個(gè)有向圖中，由題b-a<=k1,c-b<=k2,得出c-a<=k1+k2,因此比較k1+k2和k3的大小，求出最小的就是c-a的最大值了

根據(jù)以上的解法，我們可能會(huì)猜到求解過(guò)程實(shí)際就是求從a到c的最短路徑，沒(méi)錯(cuò)的....簡(jiǎn)單的說(shuō)就是從a到c沿著某條路徑后把所有權(quán)值和k求出就是c -a<=k的一個(gè)

推廣的不等式約束，既然這樣，滿(mǎn)足題目的肯定是最小的k，也就是從a到c最短距離...

理解了這里之后，想做題還是比較有困難的，因?yàn)轭}目需要變形一下，不能單純的算..

首先以poj3159為例,這個(gè)比較簡(jiǎn)單，就是給出兩個(gè)點(diǎn)的最大差，然后讓你求1到n的最大差，直接建圖后用bellman或者spfa就可以過(guò)了

稍微難點(diǎn)的就是poj1364，因?yàn)樗o出的不等式不是x-y<=k形式，有時(shí)候是大于號(hào)，這樣需要我們?nèi)プ冃我幌?#xff0c;并且給出的還是>,<沒(méi)有等于，都要變形

再有就是poj1201，他要求出的是最長(zhǎng)距離，那就要把形式變換成x-y>=k的標(biāo)準(zhǔn)形式

注意點(diǎn):

1. 如果要求最大值想辦法把每個(gè)不等式變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)x-y<=k的形式,然后建立一條從y到x權(quán)值為k的邊,變得時(shí)候注意x-y<k =>x-y<=k-1

?? 如果要求最小值的話(huà),變?yōu)閤-y>=k的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后建立一條從y到x的k邊，求出最長(zhǎng)路徑即可

2.如果權(quán)值為正，用dj，spfa，bellman都可以，如果為負(fù)不能用dj，并且需要判斷是否有負(fù)環(huán)，有的話(huà)就不存在

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轉(zhuǎn)自：http://www.cnblogs.com/pony1993/archive/2012/09/01/2666996.html

---恢復(fù)內(nèi)容結(jié)束---

在一個(gè)差分約束系統(tǒng)(system of difference constraints)中，線性規(guī)劃矩陣A的每一行包含一個(gè)1和一個(gè)-1，A的其他所有元素都為0。因此，由Ax≤b給出的約束條件是m個(gè)差分約束集合，其中包含n個(gè)未知量，對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃矩陣A為m行n列。每個(gè)約束條件為如下形式的簡(jiǎn)單線性不等式：xj-xi≤bk。其中1≤i,j≤n，1≤k≤m。

例如，考慮這樣一個(gè)問(wèn)題，尋找一個(gè)5維向量x=(xi)以滿(mǎn)足：

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這一問(wèn)題等價(jià)于找出未知量xi，i=1,2,…,5，滿(mǎn)足下列8個(gè)差分約束條件：

x1-x2≤0

x1-x5≤-1

x2-x5≤1

x3-x1≤5

x4-x1≤4

x4-x3≤-1

x5-x3≤-3

x5-x4≤-3

????該問(wèn)題的一個(gè)解為x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一個(gè)解y=(0,2,5,4,1)，這2個(gè)解是有聯(lián)系的：y中的每個(gè)元素比x中相應(yīng)的元素大5。

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引理：設(shè)x=(x1,x2,…,xn)是差分約束系統(tǒng)Ax≤b的一個(gè)解，d為任意常數(shù)。則x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是該系統(tǒng)Ax≤b的一個(gè)解。

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約束圖

???在一個(gè)差分約束系統(tǒng)Ax≤b中，m X n的線性規(guī)劃矩陣A可被看做是n頂點(diǎn)，m條邊的圖的關(guān)聯(lián)矩陣。對(duì)于i=1,2,…,n，圖中的每一個(gè)頂點(diǎn)vi對(duì)應(yīng)著n個(gè)未知量的一個(gè)xi。圖中的每個(gè)有向邊對(duì)應(yīng)著關(guān)于兩個(gè)未知量的m個(gè)不等式中的一個(gè)。

???給定一個(gè)差分約束系統(tǒng)Ax≤b，相應(yīng)的約束圖是一個(gè)帶權(quán)有向圖G=(V,E)，其中V={v0,v1,…,vn}，而且E={ (vi,vj) : xj-xi≤bk是一個(gè)約束}∪{ (v0,v1) , (v0,v2) , … , (v0,vn) }。引入附加頂點(diǎn)v0是為了保證其他每個(gè)頂點(diǎn)均從v0可達(dá)。因此，頂點(diǎn)集合V由對(duì)應(yīng)于每個(gè)未知量xi的頂點(diǎn)vi和附加的頂點(diǎn)v0組成。邊的集合E由對(duì)應(yīng)于每個(gè)差分約束條件的邊與對(duì)應(yīng)于每個(gè)未知量xi的邊(v0,vi)構(gòu)成。如果xj-xi≤bk是一個(gè)差分約束，則邊(vi,vj)的權(quán)w(vi,vj)=bk（注意i和j不能顛倒），從v0出發(fā)的每條邊的權(quán)值均為0。

??
定理：給定一差分約束系統(tǒng)Ax≤b，設(shè)G=(V,E)為其相應(yīng)的約束圖。如果G不包含負(fù)權(quán)回路，那么x=( d(v0,v1) , d(v0,v2) , … , d(v0,vn) )是此系統(tǒng)的一可行解，其中d(v0,vi)是約束圖中v0到vi的最短路徑(i=1,2,…,n)。如果G包含負(fù)權(quán)回路，那么此系統(tǒng)不存在可行解。

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差分約束問(wèn)題的求解

???由上述定理可知，可以采用Bellman-Ford算法對(duì)差分約束問(wèn)題求解。因?yàn)樵诩s束圖中，從源點(diǎn)v0到其他所有頂點(diǎn)間均存在邊，因此約束圖中任何負(fù)權(quán)回路均從v0可達(dá)。如果Bellman-Ford算法返回TRUE，則最短路徑權(quán)給出了此系統(tǒng)的一個(gè)可行解；如果返回FALSE，則差分約束系統(tǒng)無(wú)可行解。

???關(guān)于n個(gè)未知量m個(gè)約束條件的一個(gè)差分約束系統(tǒng)產(chǎn)生出一個(gè)具有n+1個(gè)頂點(diǎn)和n+m條邊的約束圖。因此采用Bellman-Ford算法，可以再O((n+1)(n+m))=O(n^2+nm)時(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)解決。此外，可以用SPFA算法進(jìn)行優(yōu)化，復(fù)雜度為O(km)，其中k?為常數(shù)。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/xuyanqd/p/8762762.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【转】 差分约束系统详解（转化为最短路） （概念）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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