目錄

• 題目描述
• 1、暴力遞歸法的重疊子問(wèn)題
• 2、備忘錄解法
• 3、dp數(shù)組迭代算法
• 4、滾動(dòng)數(shù)組優(yōu)化
• 5、參考鏈接

題目描述

寫(xiě)一個(gè)函數(shù)，輸入 n ，求斐波那契（Fibonacci）數(shù)列的第 n 項(xiàng)。斐波那契數(shù)列的定義如下：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契數(shù)列由 0 和 1 開(kāi)始，之后的斐波那契數(shù)就是由之前的兩數(shù)相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如計(jì)算初始結(jié)果為：1000000008，請(qǐng)返回 1。

1、暴力遞歸法的重疊子問(wèn)題

暴力遞歸法最為常見(jiàn)，但是同時(shí)它的時(shí)間復(fù)雜度也是最高的，附帶了許多重復(fù)計(jì)算。

class Solution { public:int fib(int n) {if(n==0) return 0;else if(n == 1 || n == 2) return 1;else return (fib(n - 1) + fib(n - 2))%1000000007;} };

畫(huà)出遞歸樹(shù)：

算法時(shí)間復(fù)雜度為遞歸二叉樹(shù)結(jié)點(diǎn)總數(shù)，為O(2^n)。f(18)、f(17)被重復(fù)計(jì)算了，并且以f(18)為根節(jié)點(diǎn)的遞歸樹(shù)體積也是十分巨大的，如果再算一遍會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間。
這個(gè)問(wèn)題性質(zhì)我們可以描述為“重疊子問(wèn)題”。

2、備忘錄解法

既然是重復(fù)計(jì)算的問(wèn)題，我們就可以構(gòu)造一個(gè)備忘錄。
每次計(jì)算出某個(gè)子問(wèn)題的答案先別著急返回，先記到備忘錄中再返回；
每次遇到一個(gè)子問(wèn)題，先去備忘錄中查找，如果已經(jīng)解決了這個(gè)問(wèn)題，就直接把答案拿過(guò)來(lái)用，不再進(jìn)行計(jì)算。

class Solution { public:int search_helperTab(vector<int >& helperTab,int n){//n較小的直接返回if(n == 1 || n == 2) return 1;//如果已經(jīng)計(jì)算過(guò)了，直接返回計(jì)算過(guò)的值if(helperTab[n] != 0) return helperTab[n];//如果沒(méi)有計(jì)算過(guò)，則需要重新計(jì)算一遍else{helperTab[n] = (search_helperTab(helperTab,n-1) + search_helperTab(helperTab,n-2))%1000000007;}return helperTab[n];}int fib(int n) {if(n==0) return 0;//構(gòu)建一個(gè)備忘錄vector<int >helperTab(n+1,0);return search_helperTab(helperTab,n);} };

帶備忘錄的遞歸算法，將一顆存在巨量冗余的遞歸樹(shù)剪枝為沒(méi)有冗余的遞歸圖。
遞歸算法時(shí)間復(fù)雜度=子問(wèn)題個(gè)數(shù) * 解決子問(wèn)題所需要的時(shí)間。
由于不存在冗余計(jì)算，所以子問(wèn)題個(gè)數(shù)為O(n);解決一個(gè)子問(wèn)題的時(shí)間是O(1);
所以本算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(n)。
注意，我們剛剛畫(huà)的遞歸樹(shù)是從上向下延伸的，都是從一個(gè)規(guī)模較大的原問(wèn)題，向下逐漸分解規(guī)模，直到觸底(f(1)、f(2)),然后逐層返回答案，這就是自頂向下。

如果直接從最底下的最小規(guī)模的f(1)、f(2)開(kāi)始往上推導(dǎo)，直到f(20),這就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思路。

3、dp數(shù)組迭代算法

class Solution { public:int fib(int n) {if(n==0) return 0;if(n == 1 || n == 2) return 1;//構(gòu)建一個(gè)備忘錄vector<int >dp(n+1,0);dp[1]=dp[2]=1;for(int i = 3;i <= n;i++)dp[i]=(dp[i-1]+dp[i-2])%1000000007;return dp[n];} };

4、滾動(dòng)數(shù)組優(yōu)化

狀態(tài)方程中的當(dāng)前狀態(tài)只由前兩個(gè)狀態(tài)決定，所以不需要一個(gè)數(shù)組進(jìn)行存放。

class Solution { public:int fib(int n) {if(n==0) return 0;if(n == 1 || n == 2) return 1;int pre=1,curr=1;for(int i = 3;i <= n;i++){int sum=(pre+curr)%1000000007;pre=curr;curr=sum;}return curr;} };

這樣空間復(fù)雜度就降到O(1)了。

5、參考鏈接

劍指 Offer 10- I. 斐波那契數(shù)列
labuladong：動(dòng)態(tài)規(guī)劃詳解（修訂版）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列 （从重叠子问题到备忘录到dp数组迭代解法）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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