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《計算機數學基礎(2)》模擬試題(1)

一、單項選擇題(每小題3分，共15分)

1. 數值x*的近似值x=0.1215×10-2，若滿足( )，則稱x有4位有效數字。

A. B.

C. D.

2.設矩陣，那么以A為系數矩陣的線性方程組AX=b的雅可比迭代矩陣為( )。

A. B.

C. D.

3. 已知y=f(x)的均差f(x0, x1, x2)=14/3，f(x1, x2, x3)=15/3，f(x2, x3, x4)=91/15，f(x0, x2, x3)=18/3，那么均差f(x4, x2, x3)=( )。

A.15/3 B. 18/3

C. 91/15 D. 14/3

4. 已知n=4時牛頓-科茨求積公式的科茨系數，，，那么( )。

A. B.

C. D.

5.用簡單迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收斂的是( )。

A.

B.

C.

D.

二、填空題(每小題3分，共15分)

6. sin1有2位有效數字的近似值0.84的相對誤差限是 。

7.設矩陣A是對稱正定矩陣，則用 迭代法解線性方程組AX=b，其迭代解數列一定收斂。

8.已知f(1)=1，f(2)=2，那么y=f(x)以x=1,2為節點的拉格朗日線性插值多項式為 。

9.用二次多項式，其中a0,a1,a2是待定參數，擬合點(x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn)。那么參數a0,a1,a2使誤差平方和 取最小值的解。

10.設求積公式，若對 的多項式積分公式精確成立，而至少有一個m+1次多項式不成立，則稱該求積公式具有m次精確度。

三、計算題(每小題15分，共60分)

11.用列主元消去法解線性方程組，計算過程保留4位小數。

12.取m=4，即n=8，用復化拋物線求積公式計算積分，計算過程保留4位小數。

13.用牛頓法解方程在x=0.5附近的近似根，要求。計算過程保留5位小數。

14.取h=0.1，用改進歐拉法預報-校正公式求初值問題在x=0.1，0.2處的近似值。計算過程保留3位小數。

四、證明題(10分)

15.已知函數表

x

0

1

2

3

4

5

F(x)

-7

-4

5

26

65

128

求證由此構造的牛頓插值多項式的最高次冪的系數為1。

參考答案

一、單項選擇題(每小題3分，共15分)

1. D.

2. A.

3. C.

4. B.

5. A.

二、填空題(每小題3分，共15分)

6.

7. 高斯-賽德爾

8. 2x-1

9. 或

10.不超過m次

三、計算題(每小題15分，共60分)

11. [A…B]=(選a21= -18為主元)

x3=3.0000

x2=2.0000

x1=1.0000

方程組的解為X=(1.0000,2.0000,3.0000)T

12.解n=8，h=(12-0)/8=0.15，f(x)=ln(1+x2)，計算列表

k

xk

f(xk)=ln(1+xk2)

端點

奇數號

偶數號

0

0.00

0

1

0.15

0.0223

2

0.30

0.0862

3

0.45

0.1844

4

0.60

0.3075

5

0.75

0.4463

6

0.90

0.5933

7

1.05

0.7431

8

1.20

0.8920

1.3961

0.9870

0.8920

代入拋物線求積公式

13. 令，取x0=0.5，

則，于是取初始值x0=0.5.

牛頓迭代公式為(n=0,1,2,…)

x0=0.5，

于是取x=0.56714為方程的近似根。

14.預報-校正公式為

h=0.1，x0=0，y0=1，x1=0.1于是有

h=0.1，x1=0.1，y1=1.227，x2=0.2，于是有

所求為y(0.1)=y1=1.227 y(0.2)=y2=1.528

四、證明題(10分)

15.作均差表

xk

f(xk)

一階均差

二階均差

三階均差

0

-7

1

-4

3

2

5

9

3

3

26

21

6

1

4

65

39

9

1

5

128

63

12

1

因為三階均差均為常數1，可見該函數表的牛頓插值多項式最高次冪為3次，且其系數為1。

總結

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