二項(xiàng)分布是概率統(tǒng)計(jì)中非常基礎(chǔ)、非常實(shí)用的一種分布，可以說它在我們的生活中無所不在。它說明了這樣一種現(xiàn)象：在給定的試驗(yàn)次數(shù)中，某一結(jié)果會(huì)發(fā)生多少次。

比如：

這個(gè)月有多少天會(huì)刮北風(fēng)？

今年有多少天會(huì)下雨？

經(jīng)過一個(gè)路口100次，有多少次會(huì)是綠燈？

一年之中會(huì)有多少次出門就見狗？

伯努利分布

伯努利分布是二項(xiàng)分布的基礎(chǔ)，它只有兩種狀態(tài)，比如拋硬幣的時(shí)候，結(jié)果只有正面和反面兩種情況，且兩種情況的概率之和為1。也就是說，當(dāng)我們給定正面朝上的概率的時(shí)候，這個(gè)分布的一切就都確定了。

我們以0和1來標(biāo)識(shí)這兩種可能的結(jié)果，那么其概率函數(shù)為：

那么其期望值為：

其方差為：

排列組合

1. 排列

從n個(gè)對(duì)象中有序地挑選出r個(gè)對(duì)象，我們稱之為排列，我們用以下公式統(tǒng)計(jì)其可能產(chǎn)生的排列數(shù)：

2. 組合

考慮另一種情況，仍然是從n個(gè)對(duì)象中抽取r個(gè)對(duì)象，但是這次我們不考慮其順序，這種過程我們稱之為組合。我們用以下公式統(tǒng)計(jì)其可能產(chǎn)生的組合數(shù)：

可以看出，這是n選r的排列數(shù)除以r的排列數(shù)。上述公式又被稱作二項(xiàng)系數(shù)，通常用“n選r”表示。

3. Python計(jì)算

那么接下來我們用Python來寫一個(gè)函數(shù)，用來計(jì)算不同參數(shù)下的排列與組合的數(shù)量。在排列組合的計(jì)算中，我們可能會(huì)輸入兩個(gè)參數(shù)：總樣本量n、需要抽取的樣本數(shù)k。

那么我們就定義如下函數(shù)：

from functools import reducedef PC(n, k): """ 計(jì)算并返回排列組合數(shù) """ # 非法輸入返回空 if n <= 0 or k < 0 or n < k: print('Wrong Input!') return None # ｋ為０時(shí)，排列組合的情況恒為１ if k == 0: return 1, 1 # 生成正序及倒序的序列 series_asc = list(range(1, n+1)) series_desc = sorted(series_asc, reverse=True) # 排列 permutation = reduce(lambda x, y: x*y, series_desc[:k]) # 組合 perm2 = reduce(lambda x, y: x*y, series_asc[:k]) combination = int(permutation / perm2) return permutation, combination

隨手測試幾個(gè)：

for n in range(1, 5): for k in range(1, 3): print('-'*10) print(n, k) print(PC(n, k))

結(jié)果是正確的：

----------1 1(1, 1)----------1 2Wrong Input!None----------2 1(2, 2)----------2 2(2, 1)----------3 1(3, 3)----------3 2(6, 3)----------4 1(4, 4)----------4 2(12, 6)

二項(xiàng)分布

回顧伯努利分布的情況：一次實(shí)驗(yàn)只有可能有兩種結(jié)果，分別用0和1來表示，其中結(jié)果１發(fā)生的概率為p。那么在n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，不考慮順序的情況下，結(jié)果1出現(xiàn)k次的概率是多少？

首先，因?yàn)閚次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，所以根據(jù)乘法定律，任何一種結(jié)果１出現(xiàn)k次的場景發(fā)生的概率均為：

然后，我們需要考慮結(jié)果為１的次數(shù)剛好為k的情況有多少種。很明顯，這就是一個(gè)伯努利試驗(yàn)的組合問題，n次實(shí)驗(yàn)中有k次結(jié)果為１的情況共有“n選k”種，兩者相乘就是該事件發(fā)生的概率。

因此：

Python計(jì)算

那么我們來用Python實(shí)現(xiàn)一個(gè)計(jì)算二項(xiàng)分布概率的小工具，在這里，我們的輸入?yún)?shù)包含總試驗(yàn)次數(shù)n、正樣本發(fā)生的次數(shù)k以及正樣本發(fā)生的概率p：

def binominal_prob(n, k, p): """ 計(jì)算并返回二項(xiàng)分布中某結(jié)果發(fā)生的概率 """ # 任一ｋ次成功的序列出現(xiàn)的概率 p_base = p ** k * (1-p) ** (n-k) # ｎ次試驗(yàn)中ｋ次成功的組合數(shù) # 直接用上邊我們編寫的排列組合函數(shù)來求解 combination = PC(n, k)[1] p_result = p_base * combination return p_result

那么接下來，我們利用我們剛剛寫好的小工具，來看一下在10次試驗(yàn)中，不同的概率對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)分布是什么樣的。

probs = [binominal_prob(10, i, 0.5) for i in range(11)]

我們將結(jié)果畫出來看看：

%matplotlib inlineimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snssns.set()probs = [round(i/10,1) for i in range(1, 10)]n = 20plt.figure(figsize=(16, 6))for p in probs: dist_probs = [binominal_prob(n, i, p) for i in range(n+1)] plt.plot(range(n+1), dist_probs, label='p={0}'.format(p))plt.legend()plt.title('Binominal Distributions of Different P value')plt.savefig('binominal.jpg')plt.show()

或者我們使用交互式的繪圖庫plotly來嘗試同樣的事情：

import plotly.graph_objects as goprobs = [round(i/10,1) for i in range(1, 10)]n = 20fig = go.Figure()for p in probs: dist_probs = [binominal_prob(n, i, p) for i in range(n+1)] fig.add_trace(go.Scatter( x=list(range(n+1)), y=dist_probs, name='p={0}'.format(p) ))fig.show()

可以看到，plotly實(shí)現(xiàn)的效果更加靚麗，且額外支持了動(dòng)態(tài)交互，在這里我就選擇把p=0.8這條線隱藏了起來。

一個(gè)利用極大似然估計(jì)求二項(xiàng)分布概率參數(shù)的例子

我們現(xiàn)在想象一種情況，有一枚分布不太均勻的硬幣，每次拋向空中后，落地為正面的概率為p，任意兩次實(shí)驗(yàn)之間相互獨(dú)立。現(xiàn)在我們做了４次實(shí)驗(yàn)，其中有三次正面朝上，那么請(qǐng)問p的值為多少？

我們之前曾經(jīng)提到過極大似然估計(jì)，在這里我們用同樣的思路去估計(jì)p的取值。極大似然估計(jì)的思想就是尋找一個(gè)參數(shù)，使得當(dāng)前結(jié)果發(fā)生的概率最大，那么我們先定義出來當(dāng)前結(jié)果發(fā)生的概率公式：

對(duì)其求導(dǎo)并使導(dǎo)數(shù)為０，有：

可得，當(dāng)p=0.75時(shí)，P(X=3)=0.422達(dá)到最大(另一個(gè)解p=0顯然不可能，因?yàn)橛矌懦弦呀?jīng)發(fā)生了，并不是“不可能事件”；另外考慮不同區(qū)間導(dǎo)數(shù)的取值也可以得到答案)。

- END -

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總結(jié)

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