問題介紹

LCS問題(longest common subsequence problem)指的是求解兩個字符串最長公共子序列問題。這里的子序列是可以不連續(xù)的。LCS問題廣泛地出現(xiàn)在計算生物學(xué)中（DNA序列、系統(tǒng)生成樹等等）。這里介紹如何解決LCS問題，以及算法的正確性證明和性能分析。

解決方案

假設(shè)需要求解串X,Y的LCS，其中|X|=n,|Y|=m,c[i][j]表示X[1…i]和Y[1…j]的LCS長度,z[1…k]表示X[1…i]和Y[1…j]的LCS,k=c[i][j]，則問題就是求解$c[n][m]和z[c[n][m]]$

樸素的想法是，按照問題的要求，我們可以得到串X的所有子串，共有$2^n$個，然后判斷該子串是否出現(xiàn)在串Y中，每次判斷都需要遍歷串Y，因此時間復(fù)雜度為$O(2^n?m)$，這顯然是我們不能接受的復(fù)雜度。

為了解決這個問題，我們需要得到該問題的一些性質(zhì)：

定理:

$$ifX[i]==Y[j]:c[i][j]=c[i?1][j?1]+1$$

$$otherwise：c[i][j]=max(c[i?1][j],c[i][j?1])$$

引理1:如果X[i]==Y[j]，則$z[c[i][j]]=X[i]$

證明：如果$z[c[i][j]]=X[i]$，且X[i]==Y[j]，那么不妨將X[i]加入到LCS中，$c[i][j]$加一，因此$z[1..c[i][j]]$不是LCS，與條件矛盾，證畢。

引理2:如果X[i]==Y[j]，則X[i-1]和Y[j-1]的LCS是$z[1..c[i][j]?1]$

證明：X[i-1]和Y[j-1]的LCS不是$z[1..c[i][j]?1]$，則使用X[i-1]和Y[j-1]的LCS替換$z[1..c[i][j]?1]$后再加上X[i]會得到X[i]和Y[j]的一個更長的一個LCS，與條件矛盾，證畢。引理2這里展示了問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)

引理3:如果兩個串的LCS包含兩個串的末尾元素X[i]和Y[j]，則這兩個元素相等

證明：如果X[i]不等于Y[j]，則在LCS中，X[i]對應(yīng)Y[j’],j’<j，Y[j]對應(yīng)X[i’],i’<i，這不符合公共子串保留原串順序的性質(zhì)，矛盾。證畢。

當(dāng)X[i]==Y[j]時，由引理1保證了此時的LCS是串X[i]對應(yīng)串Y[j’],$j^{\prime }?j$，對于$j^{\prime }<j$的情況，我們不妨用$j$來替換$j^{\prime }$，這樣也不會對LCS的長度有什么影響，然后由引理2，$c[i][j]=c[i?1][j?1]+1$

對于第二個條件，因為X[i]$=$Y[j]，那么此時的LCS要么屬于$c[i?1][j]$，要么屬于$c[i][j?1]$。

假設(shè)都不屬于，那么此時的LCS一定包含了$c[i?1][j]$中沒有的元素X[i]和$c[i][j?1]$中沒有的元素Y[j]，由引理3，矛盾。

在證明了上述定理以后我們可以根據(jù)該式子計算LCS:

遞歸法

int LCS(string& x, string &y,int n,int m) {if(-1==n || -1==m) return 0;if(x[n]==y[m]) return LCS(x, y, n-1, m-1)+1;else return max(LCS(x, y, n-1, m), LCS(x, y, n, m-1)); }

性能分析

分析遞歸樹，最壞的情況是每次x[n]!=y[m]，那么會得到一個高度為n+m的二叉樹，時間復(fù)雜度為$O(2^{n+m})$，空間復(fù)雜度為$O(n+m)$

備忘錄方法（記憶化搜索）

分析上面時間復(fù)雜度我們發(fā)現(xiàn)，在搜索過程中很多的子問題都是一模一樣的，也就是具有重疊子問題性質(zhì)，因此我們不妨每計算出一個子問題的結(jié)果就進(jìn)行一次記錄，后面再次需要求解結(jié)果的時候就不需要再計算，而是直接返回結(jié)果。

int LCS(string& x, string &y,int n,int m,int *c) {if(-1==n || -1==m) return 0;if(c[n*y.size()+m]) return c[n*y.size()+m];int ret;if(x[n]==y[m]) ret = LCS(x, y, n-1, m-1, c)+1;else ret = max(LCS(x, y, n-1, m, c), LCS(x, y, n, m-1, c));return c[n*y.size()+m]=ret; }int main() {string X,Y;cout<<"請輸入字符串X:"; cin>>X;cout<<"請輸入字符串Y:"; cin>>Y;int* c = new int[X.size()*Y.size()+10]();cout<<"字符串X和Y的LCS的長度為"<<LCS(X, Y, X.size(), Y.size(), c)<<endl;delete c;return 0; }

性能分析

我們可以把對結(jié)果是否已經(jīng)計算出的判斷和返回答案的耗費記錄在調(diào)用該狀態(tài)答案的耗費上，把實際結(jié)果的計算記錄在該狀態(tài)中，則最壞情況下每種狀態(tài)都要計算出來，因此時間復(fù)雜度為$O(nm)$，空間復(fù)雜度為$O(nm)$

自底向上計算（動態(tài)規(guī)劃法）

我們觀察計算的過程，如果我們對狀態(tài)空間按照從左向右從上向下進(jìn)行求解，就可以計算出所有的答案

int LCS(string& x, string &y,int n,int m,int *c) {for(int i=1; i<=x.size(); ++i){for(int j=1;j<=y.size(); ++j){if(x[i-1] == y[j-1])c[i*y.size()+j]=c[(i-1)*y.size()+j-1]+1;elsec[i*y.size()+j]=max(c[(i-1)*y.size()+j], c[(i)*y.size()+j-1]);}}return c[n*y.size()+m]; }

性能分析

時間復(fù)雜度$O(nm)$，因為訪問的是連續(xù)的內(nèi)存空間，因此這里的$O(nm)$應(yīng)該比上面小。空間復(fù)雜度$O(nm)$，如果使用滾動數(shù)組還能夠?qū)⒖臻g復(fù)雜度降低為$O(min(n,m))$，如果不使用滾動數(shù)組，想要得到完整的LCS串需要在計算的時候設(shè)置指針，最后進(jìn)行回溯。如果使用滾動數(shù)組，需要使用分治法得到LCS串。

回溯如圖：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的LCS最长公共子串的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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