出處：?http://www.cnblogs.com/wanghetao/archive/2013/11/25/3442192.html

整數(shù)劃分 －－－ 一個老生長談的問題:

描述

整數(shù)劃分是一個經(jīng)典的問題。請寫一個程序,完成以下要求。

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輸入

每組輸入是兩個整數(shù)n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

輸出

對于輸入的 n,k;
第一行： 將n劃分成若干正整數(shù)之和的劃分數(shù)。
第二行： 將n劃分成k個正整數(shù)之和的劃分數(shù)。
第三行： 將n劃分成最大數(shù)不超過k的劃分數(shù)。
第四行： 將n劃分成若干個 奇正整數(shù)之和的劃分數(shù)。
第五行： 將n劃分成若干不同整數(shù)之和的劃分數(shù)。
第六行： 打印一個空行

樣例輸入

5 2

樣例輸出

7 2 3 3 3

提示

樣例輸出提示:
1.將5劃分成若干正整數(shù)之和的劃分為： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.將5劃分成2個正整數(shù)之和的劃分為： 3+2, 4+1
3.將5劃分成最大數(shù)不超過2的劃分為： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.將5劃分成若干 奇正整數(shù)之和的劃分為： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.將5劃分成若干不同整數(shù)之和的劃分為： 5, 1+4, 2+3

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下面是我根據(jù)網(wǎng)上的資料, 寫出自己的分析和實現(xiàn)過程.

分析:

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本題使用動態(tài)規(guī)劃（Dynamic Programming）方法解決

一 求將n劃分為若干正整數(shù)之和的劃分數(shù)

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1.?若劃分的多個整數(shù)可以相同

　　設dp[i][j]為將i劃分為不大于j的劃分數(shù)

　　(1) 當i<j?時，i不能劃分為大于i的數(shù)，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 當i>j?時，可以根據(jù)劃分中是否含有j分為兩種情況。若劃分中含有j，劃分方案數(shù)為dp[i-j][j]；若劃分數(shù)中不含j，相當于將i劃分為不大于j-1的劃分數(shù)，為dp[i][j-1]。所以當i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；

　　(3) 當i=j?時，若劃分中含有j只有一種情況，若劃分中不含j相當于將i劃分為不大于j-1的劃分數(shù)。此時dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。

dp[n][n]可以解決問題1，dp[n][k]表示將n劃分為最大數(shù)不超過k的劃分數(shù)，可以解決問題3。

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2.?若劃分的正整數(shù)必須不同

　　設dp[i][j]為將i劃分為不超過j的不同整數(shù)的劃分數(shù)

　　(1) 當i<j時，i不能劃分為大于i的數(shù)，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 當i>j時，可以根據(jù)劃分中是否含有j分為兩種情況。若劃分中含有j，則其余的劃分中最大只能是j-1，方案數(shù)為dp[i-j][j-1]；若劃分中不含j，相當于將i劃分為不大于j-1的劃分數(shù)，為dp[i][j-1]。所以當i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；

　　(3) 當i=j時，若劃分中含有j只有一種情況，若劃分中不含j相當于將i劃分為不大于j-1的劃分數(shù)。此時dp[i][j]=1+dp[i][j-1]

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dp[n][n]表示將n劃分為不同整數(shù)的劃分數(shù)，可以解決問題5.

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二 將n劃分為k個整數(shù)的劃分數(shù)

設dp[i][j]為將i劃分為j個整數(shù)的劃分數(shù)。

　　(1)?i<j為不可能出現(xiàn)的情況，dp[i][j]=0；

　　(2) 若i=j，有一種情況：i可以劃分為i個1之和，dp[i][j]=1；

　　(3) 若i>j，可以根據(jù)劃分數(shù)中是否含有1分為兩類：若劃分數(shù)中含有1，可以使用“截邊法”將j個劃分分別截去一個1，把問題轉(zhuǎn)化為i-j的j-1個劃分數(shù)，為dp[i-j][j-1]；?若劃分中不包含1，使用“截邊法”將j個劃分數(shù)的最下面一個數(shù)截去，將為題轉(zhuǎn)化為求i-j的j個劃分數(shù)，為dp[i-j][j]。所以i>j時dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。

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dp[n][k]為將n劃分為k個整數(shù)的劃分數(shù)，可解決問題2。

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三 將n劃分為若干正奇數(shù)之和的劃分數(shù)

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設f[i][j]為將i劃分為j個奇數(shù)之和的劃分數(shù)，g[i][j]為將i劃分為j個偶數(shù)之和的劃分數(shù)。

使用截邊法，將g[i][j]的j個劃分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以

g[i][j] = f[i-j][j]。

f[i][j]中有包含1的劃分方案和不包含1的劃分方案。對于包含1的劃分方案，可以將1的劃分除去，轉(zhuǎn)化為“將i-1劃分為j-1個奇數(shù)之和的劃分數(shù)”，即f[i-1][j-1]；對于不包含1的劃分方案，可以使用截邊法對j個劃分每一個都去掉一個1，轉(zhuǎn)化為“將i-j劃分為j個偶數(shù)之和的劃分數(shù)”，即g[i-j][j]。

所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]為將n劃分為若干奇數(shù)的劃分數(shù)，為問題4的答案。

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參考: [1]??http://blog.csdn.net/a83610312/article/details/12685653

???????? [2]??http://www.cnblogs.com/jackge/p/3163835.html

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/sineatos/p/4089167.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的转载 - 整数划分问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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