第五章 數(shù)組 和 廣義表

數(shù)組和廣義表可以看成是線性表在下述含義上的擴(kuò)展：表中的數(shù)據(jù)元素本身也是一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

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5.1 數(shù)組的定義

n維數(shù)組中每個(gè)元素都受著n個(gè)關(guān)系的約束，每個(gè)元素都有一個(gè)直接后繼元素。

可以把二維數(shù)組看成是這樣一個(gè)定長線性表：它的每個(gè)數(shù)據(jù)元素也是一個(gè)定長線性表。

數(shù)組一旦定義，它的維數(shù)和維界就不再改變。因此，除了結(jié)構(gòu)的初始化和銷毀之外，數(shù)組只能有存取元素和修改元素值的操作。

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5.2 數(shù)組的順序表示和實(shí)現(xiàn)

次序約定：

1、列序?yàn)橹餍?column major order ?FORTRAN

2、行序?yàn)橹餍?row major order ????C

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假設(shè)每個(gè)數(shù)據(jù)元素占L個(gè)存儲(chǔ)單元，則二維數(shù)組A中的任一元素aij的存儲(chǔ)位置可由下式確定：

LOC(i,j) = LOC(0,0) + (b2?* i + j)*L

LOC(i,j)是存儲(chǔ)位置 ?LOC(0,0)稱為基地址或基址

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n維數(shù)組定位公式

Array[b1][b2]...[bn]

LOC(j1,j2,...,jn) = LOC(0,0,...,0) + (jn?+jn-1*bn+jn-2*bn-1*bn?+ ... +j2*b3*...*bn?+j1*b2*...*bn)*L

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數(shù)組元素的存儲(chǔ)位置是其下標(biāo)的線性函數(shù)。

由于計(jì)算各個(gè)元素存儲(chǔ)位置的時(shí)間相等，所以存取數(shù)組中任一元素的時(shí)間也相等，稱具有這一特點(diǎn)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)為隨機(jī)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)。

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5.3 矩陣的壓縮

如何存儲(chǔ)矩陣的元，使矩陣的各種運(yùn)算能有效的進(jìn)行。

二維數(shù)組可以存儲(chǔ)矩陣的元。

有的程序設(shè)計(jì)語言中還提供了各種矩陣運(yùn)算。

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壓縮存儲(chǔ)：為多個(gè)值相同的元只分配一個(gè)存儲(chǔ)空間；對(duì)零元不分配空間。

應(yīng)用壓縮的兩種情況：

1、特殊矩陣：值相同的元素或者零元素在矩陣中的分布有一定規(guī)律；

2、稀疏矩陣。

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對(duì)稱矩陣：aij= aji ?1 <= i,j <= n 稱為n階對(duì)稱矩陣

可以為每一對(duì)對(duì)稱元分配一個(gè)存儲(chǔ)空間，即將n2個(gè)元壓縮存儲(chǔ)到n(n+1)/2個(gè)元空間中

以行序?yàn)橹餍?#xff0c;存儲(chǔ)其下三角。

以一維數(shù)組sa[n(n+1)/2]作為n階對(duì)稱矩陣A的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，則sa[k]和矩陣元aij之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：

K =?

i(i - 1)/2 - 1 + j ?當(dāng)i>=j

j(j - 1)/2 - 1 + i ?當(dāng)i < j ?//下標(biāo)誰大誰除2，一維大是下三角內(nèi)容，二維大是上三角內(nèi)容

以上存法同樣適用于三角矩陣。

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三角矩陣：上/下三角中的元均為常數(shù)c或0的n階矩陣（不含對(duì)角線）。

除了和對(duì)稱矩陣一樣，只存儲(chǔ)其上/下三角中的元之外，再加一個(gè)存儲(chǔ)常數(shù)c的存儲(chǔ)空間即可。

對(duì)角矩陣：所有非零元集中在以主對(duì)角線為中心的帶狀區(qū)域中。即除了主對(duì)角線上和直接在對(duì)角線上、下方若干條對(duì)角線上的元之外，所有其他的元皆為零。

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以上特殊矩陣，非零元的分布都有一個(gè)明顯的規(guī)律，從而可以將其壓縮存儲(chǔ)到一維數(shù)組中，并找到每個(gè)非零元在一維數(shù)組中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

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稀疏矩陣：非零元較零元少，而且分布沒有一定規(guī)律。

稀疏因子：矩陣中非零元個(gè)數(shù)與全部個(gè)數(shù)之比。

通常認(rèn)為稀疏因子小于等于0.05時(shí)稱為稀疏矩陣。

按照壓縮存儲(chǔ)的概念，只存儲(chǔ)稀疏矩陣的非零元。

稀疏矩陣可由表示非零元的三元組?及其行列數(shù)唯一確定。

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三種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：三元組順序表、行邏輯鏈接的順序表、十字鏈表

1、三元組順序表：以行序?yàn)橹餍蝽樞蚺帕小?/p>

轉(zhuǎn)置算法：

1、將矩陣的行列值相互交換；

2、將每個(gè)三元組中的i和j相互調(diào)換；

3、重排三元組之間的次序；

方法一：找到原矩陣的列序來進(jìn)行轉(zhuǎn)置。為了找到M的每一列中所有的非零元素，需要對(duì)其三元組表從第一行起整個(gè)掃描一遍。O（列數(shù)*非零元數(shù)）

方法二：先求出原矩陣每一列中非零元的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得每一列第一個(gè)非零元在轉(zhuǎn)置矩陣中應(yīng)有的位置。 O（列數(shù)+ 非零元數(shù)）

三元組順序表，又稱為有序的雙下標(biāo)法。

特點(diǎn)：非零元在表中按行序有序存儲(chǔ)，便于進(jìn)行依行順序處理的矩陣運(yùn)算。

若需按行號(hào)存取某一行的非零元，則需從頭開始進(jìn)行查找。

2、行邏輯鏈接的順序表：

在三元組順序表的基礎(chǔ)上，加入指示各行第一個(gè)非零元的順序表。

3、十字鏈表：

可以按任意順序輸入非零元素。

鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)，每個(gè)非零元用一個(gè)含5個(gè)域的結(jié)點(diǎn)表示，其中i、j、e分別表示該非零元所在的行、列和非零元的值，向右域right鏈接同一行中下一個(gè)非零元，向下域down鏈接同一列中下一個(gè)非零元。

同一行的非零元通過right域鏈接成一個(gè)線性鏈表，

同一列的非零元通過down域鏈接成一個(gè)線性鏈表，

每個(gè)非零元即是某個(gè)行鏈表中的一個(gè)結(jié)點(diǎn)，又是某個(gè)列鏈表中的一個(gè)結(jié)點(diǎn)整個(gè)矩陣構(gòu)成一個(gè)十字交叉的鏈表。

用兩個(gè)分別存儲(chǔ)行鏈表的頭指針和列鏈表的頭指針的一維數(shù)組表示十字鏈表。

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矩陣加法：4種情況：

（1）aij+?bij?

（2）aij??插入元素

（3）bij???插入元素

（4）aij+?bij = 0 刪除元素

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從一個(gè)結(jié)點(diǎn)看，進(jìn)行比較、修改指針?biāo)璧臅r(shí)間是一個(gè)常數(shù)；

整個(gè)運(yùn)算過程是對(duì)A和B的十字鏈表逐行掃描，其循環(huán)次數(shù)主要取決于A和B矩陣中非零元素的個(gè)數(shù)ta和tb，由此算法時(shí)間復(fù)雜度為O(ta + tb)。

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5.4廣義表

廣義表是線性表的推廣，列表 lists

廣泛地用于人工智能等領(lǐng)域的表處理語言LISP語言，把廣義表作為基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，就連程序也表示為一系列的廣義表。

廣義表一般記作

LS = （a1，a2，...，an?）

LS是廣義表的名稱，n是它的長度。

廣義表中的元素可以是單個(gè)元素，也可以是廣義表，分別稱為廣義表的原子和子表。

廣義表的定義是一個(gè)遞歸的定義。

當(dāng)廣義表非空時(shí)，稱第一個(gè)元素為LS的表頭(Head)，其余元素組成的表是LS的表尾(Tail)。

任何非空列表其表頭可能是原子，也可能是列表，但其表尾必定為列表。

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5.5 廣義表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

由于廣義表的數(shù)據(jù)元素可以是原子，也可以是列表，因此難以用順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)表示，通常采用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)，每個(gè)數(shù)據(jù)元素可用一個(gè)結(jié)點(diǎn)表示。

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需要兩種結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)：

一種是表結(jié)點(diǎn)，用以表示列表；

標(biāo)志域 + 表頭指針域 + 表尾指針域

一種是原子結(jié)點(diǎn)，用以表示結(jié)點(diǎn)。

標(biāo)志域 + 值域

兩種方式：

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enum ElemTag {ATOM,LIST}; typedef struct GLNode {elemTag tag;union{AtomType atom;struct{GLNode *hp, *tp;}ptr;}; }*GList;

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enum ElemTag {ATOM,LIST}; typedef struct GLNode1 {elemTag tag;union{AtomType atom;GLNode1 *hp;};GLNode1 *tp; }*GList;

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第一種結(jié)構(gòu)：一個(gè)列表由表頭和表尾組成，表頭是一個(gè)表，表尾是另一個(gè)表。

第一種結(jié)構(gòu)不直觀，建議采用第二種結(jié)構(gòu)！

第二種結(jié)構(gòu)：一個(gè)列表由表頭和表尾組成，表頭是原子或列表，表尾是原子或列表。

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5.7 廣義表的遞歸算法

在對(duì)問題進(jìn)行分解、求解過程中得到的是和原問題性質(zhì)相同的子問題。

分治法（Divide and Conquer）進(jìn)行遞歸算法的設(shè)計(jì)。

遞歸定義由基本項(xiàng)和歸納項(xiàng)兩部分組成。

基本項(xiàng)：描述一個(gè)或幾個(gè)遞歸過程的終結(jié)狀態(tài)。

歸納項(xiàng)：描述了如何實(shí)現(xiàn)從當(dāng)前狀態(tài)到終結(jié)狀態(tài)的變化。

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在設(shè)計(jì)遞歸函數(shù)時(shí)

（1）首先應(yīng)書寫函數(shù)的首部和規(guī)格說明，嚴(yán)格定義函數(shù)的功能和接口；

（2）對(duì)函數(shù)中的每一個(gè)遞歸調(diào)用都看成是一個(gè)簡單的操作，只要接口一致，必能實(shí)現(xiàn)規(guī)格說明中定義的功能，切忌想的太深太遠(yuǎn)。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构05数组和广义表的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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