簡介

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm），是一種利用動態(tài)規(guī)劃的思想尋找給定的加權(quán)圖中多源點(diǎn)之間最短路徑的算法，與Dijkstra算法類似。該算法名稱以創(chuàng)始人之一、1978年圖靈獎獲得者、斯坦福大學(xué)計算機(jī)科學(xué)系教授羅伯特·弗洛伊德命名。

簡單的說就是解決任意兩點(diǎn)間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負(fù)權(quán)的最短路徑問題，同時也被用于計算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時間復(fù)雜度為O(N3)，空間復(fù)雜度為O(N2)。

解決最短路徑問題有幾個出名的算法:

• 1.dijkstra算法,最經(jīng)典的單源最短路徑算法

• 2.bellman-ford算法,允許負(fù)權(quán)邊的單源最短路徑算法

• 3.spfa,其實(shí)是bellman-ford+隊(duì)列優(yōu)化,其實(shí)和bfs的關(guān)系更密一點(diǎn)

• 4.floyd算法,經(jīng)典的多源最短路徑算法

今天先說說Floyd

Floyd算法詳解

描述

a）如圖：存在【0,1,2,3】 4個點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離就是邊上的數(shù)字，如果兩點(diǎn)之間，沒有邊相連，則無法到達(dá)，為無窮大。?
b）要讓任意兩點(diǎn)（例如從頂點(diǎn)a點(diǎn)到頂點(diǎn)b）之間的路程變短，只能引入第三個點(diǎn)（頂點(diǎn)k），并通過這個頂點(diǎn)k中轉(zhuǎn)即a->k->b，才可能縮短原來從頂點(diǎn)a點(diǎn)到頂點(diǎn)b的路程。那么這個中轉(zhuǎn)的頂點(diǎn)k是0~n中的哪個點(diǎn)呢？

算法過程

準(zhǔn)備

1）如圖 0->1距離為5，0->2不可達(dá)，距離為∞，0->3距離為7……依次可將圖轉(zhuǎn)化為鄰接矩陣（主對角線，也就是自身到自身，我們規(guī)定距離為0，不可達(dá)為無窮大），如圖矩陣 用于存放任意一對頂點(diǎn)之間的最短路徑權(quán)值。

2）再創(chuàng)建一個二維數(shù)組Path路徑數(shù)組，用于存放任意一對頂點(diǎn)之間的最短路徑。每個單元格的內(nèi)容表示從i點(diǎn)到j(luò)點(diǎn)途經(jīng)的頂點(diǎn)。（初始還未開始查找，默認(rèn)-1）

開始查找

1）列舉所有的路徑（自己到自己不算）

即為：
0 -> 1 , 0 -> 2 , 0 -> 3 ,
1 -> 0 , 1 -> 2 , 1 -> 3 ,
2 -> 0 , 1 -> 1 , 1 -> 3
轉(zhuǎn)化成二元數(shù)組即為：
{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，0}，{1，2}，{1，3}，{2，0}，{2，1}，{2，3}，{3，0}，{3，1}，{3，2}

2）選擇編號為0的點(diǎn)為中間點(diǎn)

{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，0}，{1，2}，{1，3}，{2，0}，{2，1}，{2，3}，{3，0}，{3，1}，{3，2}
從上面中二元組集合的第一個元素開始，循環(huán)執(zhí)行以下過程：

1. 用i，j兩個變量分別指向二元組里的兩個元素，比如{0，1}這個二元組，i指向0；j指向1 2. 判斷 (A[ i ][ 0 ]+A[ 0 ][ j ] ) < A[ i ][ j ] （即判斷 i -> j，i點(diǎn)到j(luò)點(diǎn)的距離是否小于從0點(diǎn)中轉(zhuǎn)的距離），如果false，則判斷下一組二元數(shù)組。 3. 如果表達(dá)式為真，更新A[ i ] [ j ]的值為A[ i ] [ 0 ] + A[ 0 ] [ j ]，Path[ i ] [ j ]的值為點(diǎn)0（即設(shè)置i到j(luò)要經(jīng)過0點(diǎn)中轉(zhuǎn)）

{0，1}按照此過程執(zhí)行之后，

0->0 + 0->1的距離不小于0->1 ，下一組{0，2}，{0，3}， {1，0}，{2，0}，{3，0}也同理。

{1，2}按照此過程執(zhí)行，A[1,0] 無窮大， A[0,2]也是無窮大，而A[1,4] = 4，則1點(diǎn)到2點(diǎn)肯定不會從0點(diǎn)中轉(zhuǎn)。

A[1][0]無窮大同理下一組{1，2}， {1，3}也同理。

{2，1}按照此過程執(zhí)行，A[2][0] = 3 ,A[0][1]=5 ，A[2][1] = 3那么 A[2][0]+ ,A[0][1] > A[2][1]
…………
依次類推，遍歷二元組集合，沒有0點(diǎn)適合做中轉(zhuǎn)的

3）選擇編號為1的點(diǎn)為中間點(diǎn)

4）選擇編號為2的點(diǎn)為中間點(diǎn)

依次類推，遍歷二元組集合{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，0}，{1，2}，{1，3}，{2，0}，{2，1}，{2，3}，{3，0}，{3，1}，{3，2}
，當(dāng)遍歷{3，0}時，A[3][2] = 1 ,A[2][0]=3 ，A[3][0] = 不可達(dá)，那么 2點(diǎn)適合做從3點(diǎn)到0點(diǎn)之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)。
設(shè)置距離矩陣A[3][0] = 1+3 =4 ，Path矩陣Path[3][0] = 2點(diǎn)，表示從3到0在2點(diǎn)中轉(zhuǎn)，距離最近。

如圖表示（紅色單元格），從3到0，最近距離為4，在2點(diǎn)中轉(zhuǎn) 。

依次類推，遍歷完二元組集合

5）選擇編號為3的點(diǎn)為中間點(diǎn)，最終結(jié)果

依次類推，遍歷二元組集合，直到所有的頂點(diǎn)都做過一次中間點(diǎn)為止。

6）根據(jù)最終結(jié)果，就可以知道任意2點(diǎn)的最短距離和路徑

比如1點(diǎn)到2點(diǎn)怎么走？根據(jù)路徑Path矩陣,Path[1][2] = 3，表示從點(diǎn)3中轉(zhuǎn)，即 1-> 3 ->2

6）如果中轉(zhuǎn)點(diǎn)不止1個呢？

有時候不只通過一個點(diǎn)，而是經(jīng)過兩個點(diǎn)或者更多點(diǎn)中轉(zhuǎn)會更短，即a->k1->k2b->或者a->k1->k2…->k->i…->b。
比如頂點(diǎn)1到頂點(diǎn)0，我們看數(shù)組Path
Path[1][0] = 3，說明頂點(diǎn)3是中轉(zhuǎn)點(diǎn)，那么再從3到0
Path[3][0] = 2，說明從3到0，頂點(diǎn)2是中轉(zhuǎn)點(diǎn)，然后在從2到0
Path[2][0] = -1，說明頂點(diǎn)2到頂點(diǎn)0沒有途徑頂點(diǎn)，也就是說，可以由頂點(diǎn)2直接到頂點(diǎn)0，即它們有邊連接。

最終，最短路徑為1->3->2->0，距離為 A[1][0] = 6 。
顯然，這是一個逐層遞進(jìn)，遞歸的過程。

算法實(shí)現(xiàn)

基本定義

// 表示無窮大 即不可達(dá)public static int MAX = Integer.MAX_VALUE;// 距離矩陣public int[][] dist;// 路徑Path矩陣public int[][] path;

核心算法

// 核心算法for(int k = 0 ; k < size ; k++){for(int i = 0;i < size;i++){for(int j = 0 ;j < size;j++){ // 判斷如果 ik距離可達(dá)且 kj距離可達(dá) 且 i和j的距離是否大于 i-> k 與 k->j的距離和if( dist[i][k] != MAX && dist[k][j] != MAX && dist[i][j] > (dist[i][k] + dist[k][j]) ){path[i][j]= k;dist[i][j]= dist[i][k] + dist[k][j];}}}}

運(yùn)行結(jié)果

源碼下載

Floyd算法java實(shí)現(xiàn)-源碼下載

Floyd算法java實(shí)現(xiàn)

看完這篇文章如果你還不會Floyd，請留言評論。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/Halburt/p/10756572.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【最短路径Floyd算法详解推导过程】看完这篇，你还能不懂Floyd算法？还不会？...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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