20200924

笛卡爾積里面選取交集為空或者交集等于恒值（自己定義其他條件）的 相乘之和

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正交和

編程中，經常出現正交這個詞。正交指相互獨立，不可替代，并且組合起來可實現其它功能。

為什么相互獨立，會使用正交這個詞呢？

正交，最開始是數學術語，被引到計算機領域。正交英文是 orthogonal，本意是垂直，幾何概念。線性代數中，兩向量正交指它們內積為 0。而函數正交，是指兩個函數相乘的積分為 0。

但就算知道這些，還是不明白正交是什么，數學上的正交概念跟編程上的正交概念有什么關系呢？

原則

無論什么領域，表象都是無窮無盡的，會出現各種情形。假如出現情形 A, 就單獨去研究情形 A；出現情形 B, 就單獨去研究情形 B，各種情形分別去解決，根本就沒有盡頭。

人們不會單純研究表象，而是不斷簡化，最終產生幾條最基本的原理，和一套基本原理的組合法則。這幾條原理相互獨立，不可再進行簡化。假如 C 原理可以用 A、B 原理組合起來表示，這樣 C 原理就不是最基本的。

于是知道基本原理和組合規則，其它表象就可以歸結成基本原理和基本組合法則的重復推演。這樣只要研究好基本原理，研究好組合規則，其它的表象可以一大批統一地解決了。

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向量正交

相同的思路，應用到向量。

所有的向量構成一個空間，而所有的向量是無窮無盡的。一個個向量分別分析也自然沒有盡頭。這樣我們挑選幾個相互獨立的基本向量，再定義一套組合規則。這樣其它的向量，就用基本向量組合起來表示。

于是很自然地產生問題，基本向量是什么？如何才叫相互獨立？組合規則是什么？

對于向量空間，組合規則其實就是線性疊加。乘法和加法很基本，不同的領域常常會重新定義類似乘法的概念和類似加法的概念。在線性疊加中，類似乘法的概念，就是向量的內積，當內積為 0 表示兩個向量相互獨立。

假設 A、B 為基本向量，C 可以用 A、B 疊加起來表示。于是

C = a * A + b * B

兩邊乘以 B，得到

C * B = a * A * B + b * B * B

這里的乘法符號其實是內積，假如 A * B = 0，就可以消去第一項，系數 b 就只和 C 和 B 有關。而當 B * B = 1 時，可以再次簡化計算過程。

當將二維向量幾何化后，內積為 0，兩個向量剛好正交（orthogonal）。另外一個術語就是平行，跟正交對應。平行表示完全相關，正交表示完全不相關，有時會處于平行是正交之間，它們的夾角可以表示相關程度。

當 A * B = 0 ，A、B 正交；B * B = 1，B 標準化，也叫歸一化。當正交歸一的向量，作為獨立的基本向量，線性疊加成其它向量。會使得計算過程大大簡化。

函數正交

將相同的思路，應用到函數。

所有函數構成函數空間，取一些基本的、正交的函數，再定義組合規則。每個具體領域，加法和乘法的含義有所不同。對于函數，類似于乘法的概念是積分。兩函數的正交，就是相乘后積分為 0。當 f(x)、t(x) 作為基本函數，這樣 k(x) 用兩個函數疊加的方式來表示。

k(x) = a f(x) + b t(x)

這時需要求出系數 a 和 b 的。可以兩邊先乘以 f(x), 得出，

k(x) * f(x) = a f(x) * f(x) + b t(x) * f(x)

當 f(x) 和 t(x) 正交，兩邊取積分，就可以消去，t(x) * f(x)。這樣系數 a 就只會跟 k(x) 和 f(x) 有關系。

還可以有多個函數相互正交，甚至無限多個函數正交。比如選取 cos、sin，作為基本函數，疊加起來表示其它函數，就演變成了傅里葉變換。

編程上的正交

從數學上引進正交這個詞，用于表示指相互獨立，相互間不可替代，并且可以組合起來實現其它功能。比如 if 和 for 語句是正交的，但 for 和 while 語句的功能是有重疊的。邏輯運算 not、and、or 也是正交的，其它復雜的邏輯運算都可以用這三種基本運算疊加起來。

編程語言經常定義一組正交語法特性，相互間不可替代，組合起來可以其它功能。而為了更方便使用，在基礎特性之上，再添加一些額外特性。這些非基本的額外特性，稱為語法糖（Syntactic sugar）。語法糖對語言的功能沒有太大影響，有可以，沒有也可以，但有了之后，代碼寫起來更方便些。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的各种正交以及正交和的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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