第3章 動態規劃（二）【DP序列問題】

3.2 DP序列問題

（51nod的動態規劃教程很不錯，講解很詳細，以下分析來自51nod）

1.矩陣取數問題

給定一個m行n列的矩陣，矩陣每個元素是一個正整數，你現在在左上角（第一行第一列），你需要走到右下角（第m行，第n列），每次只能朝右或者下走到相鄰的位置，不能走出矩陣。走過的數的總和作為你的得分，求最大的得分。

分析：
從起點到終點的最優路徑上經過了(m + n – 1)個點，則這條路徑上對應起點到這(m + n – 1)個點的子路徑也都從起點到該位置的所有路徑中和最大的路徑。

定義f(int x,int y)表示從起點到第x行第y列的最優路徑上的數之和，有從起點達到x,y的最優路徑有兩種可能：
要么f(x – 1, y) ＋ A[x][y]
要么f(x, y – 1) + A[x][y]
所以，f(x, y) = max(f(x – 1, y) , f(x, y – 1) ) + A[x][y]

初值：
f(1,1)是起點，沒的選f(1,1) = A[1][1]。
按照遞推式 f(1,2) = max(f(0, y) , f(1,1)) + A[1][2]，考慮實際意義，這表示要么從上面到達(1,2)要么從左面到達(1,2)，可是上面沒有位置，說明沒的選。所以可以定義f(0, y) = -∞, 同理f(x, 0) = -∞。

遞推式：

輸入

第1行：N，N為矩陣的大小。(2 <= N <= 500)
第2 - N + 1行：每行N個數，中間用空格隔開，對應格子中獎勵的價值。（1 <= N[i] <= 10000)

輸出

輸出能夠獲得的最大價值。

輸入示例

3
1 3 3
2 1 3
2 2 1

輸出示例

11

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{int n,i,j;int a[505][505];while(cin>>n){for(i=0; i<n; i++){a[0][i]=0;a[i][0]=0;}for(i=1; i<=n; i++){for(j=1; j<=n; j++){cin>>a[i][j];}}for(i=1; i<=n; i++){for(j=1; j<=n; j++){a[i][j]=max(a[i-1][j],a[i][j-1])+a[i][j];}}cout<<a[n][n]<<endl;}return 0;
} 

2.編輯距離問題

給定兩個字符串S和T，對于T我們允許三種操作：
(1) 在任意位置添加任意字符
(2) 刪除存在的任意字符
(3) 修改任意字符
問最少操作多少次可以把字符串T變成S？

例如： S＝ “ABCF” T = “DBFG”
那么可以
把D改為A
(2) 刪掉G
(3) 加入C
所以答案是3。

分析：
給定字符串S和T，可以用一種特殊字符促成兩個字符串的對齊。特殊字符是“-”, 允許在S和T中任意添加這種特殊字符使得它長度相同，然后讓這兩個串“對齊”，最終兩個串相同位置出現了不同字符，就扣1分，要使得這兩個串對齊扣分盡量少。

對于例子，采取這樣的對齊方式：
12345
ABCF-
DB-FG
注意：如果要對齊，兩個“-”相對是沒有意義的，所以要求不出現這種情況。

那么：
(1) S,T對應位置都是普通字符，相同，則不扣分。 例如位置2，4
(2) S,T對應位置都是普通字符，不同，則扣1分。 例如位置1
(3) S在該位置是特殊字符，T在該位置是普通字符，則扣1分，例如位置5
(4) S在該位置是普通字符，T在該位置是特殊字符，則扣1分，例如位置3

扣分項目對應：
(1) 不扣分，直接對應
(2) 對應把T中對應位置的字符修改
(3) 對應在T中刪除該字符
(4) 對應在T中添加該字符

設f(i,j)表示S的前i位和T的前j位對齊后的最少扣分。

最后一位對齊的情況：

(1) S[i] == T[j], 這時前i – 1和j – 1位都已經對齊了，這部分肯定要最少扣分。這種情況下最少的扣分是f(i-1,j-1)
(2) S[i]≠T[j]，這種情況下最少的扣分是f(i -1, j – 1) + 1
(3) S的前i位和T的前（j – 1）位已經對齊了，這部分扣分也要最少。這種情況下最少的扣分是f(i,j-1) + 1
(4) S的前(i-1)位已經和T的前j位對齊了，這部分扣分要最少。這種情況下最少的扣分是f(i,j-1) + 1
具體f(i,j)取什么值，要看哪種情況的扣分最少。

遞推式：

f(i,j) = min(f(i – 1, j – 1) + same(i,j), f(i – 1,j ) + 1, f(i, j – 1) + 1)

初值：
因為對于S的前0位，我們只能在之前加入“-”，或者說把T全部刪掉了。類似地，對于T地前0位，我們只能把S的字符都加進來，別無選擇。

f(0, j) = j
f(i, 0) = i

輸入

第1行：字符串a(a的長度 <= 1000)。
第2行：字符串b(b的長度 <= 1000)。

輸出

輸出a和b的編輯距離

輸入示例

kitten
sitting

輸出示例

3

代碼：

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
char str1[1005],str2[1005];
int f[1005][1005];
int main()
{int i,j,n,m,z;while(cin>>str1>>str2){n=strlen(str1);m=strlen(str2);               //如：str1=kitten，str2=sitting，將str2轉換為str1for(i=0; i<=m; i++)           //則：m行n列： k i t t e n (n列){                             //           0 1 2 3 4 5 6f[i][0]=i;                //         s 1 1 2 3 4 5 6}                             //         i 2 2 1 2 3 4 5for(i=0; i<=n; i++)           //         t 3 3 2 1 2 3 4{                             //         t 4 4 3 2 1 2 3f[0][i]=i;                //         i 5 5 4 3 2 2 3}                             //         n 6 6 5 4 3 3 2for(i=1; i<=m; i++)           //         g 7 7 6 5 4 4 3{                             //        (m行)for(j=1; j<=n; j++){if(str1[i-1]==str2[j-1]){z=f[i-1][j-1];}else{z=f[i-1][j-1]+1;}f[i][j]=min(min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1),z);}}cout<<f[m][n]<<endl;}return 0;
}

3.最長單增子序列（LIS）

(LIS Longest Increasing Subsequence)給定一個數列，從中刪掉任意若干項剩余的序列叫做它的一個子序列，求它的最長的子序列，滿足子序列中的元素是單調遞增的。

例如給定序列{1,6,3,5,4},答案是3，因為{1,3,4}和{1,3,5}就是長度最長的兩個單增子序列。

分析：
（1）如果a[i]大于序列最后一位元素，則將a[i]加入序列
（2）如果a[i]小于序列最后一位元素，則要找到小于a[i]的最大那一項，把它接到那個序列的后面

時間復雜度：
有單調性的存在，可以利用二分查找算法來找小于a[i]的最大那一項，所以時間復雜度是O(logm)，因為m<=n，可以認為每次找到x的時間復雜度是O(logn)，那么對于每個a[i]都如此做的時間復雜度就是O(nlogn)。

輸入

第1行：1個數N，N為序列的長度(2 <= N <= 50000)
第2 - N + 1行：每行1個數，對應序列的元素(-10^9 <= S[i] <= 10^9)

輸出

輸出最長遞增子序列的長度。

輸入示例

8
5
1
6
8
2
4
5
10

輸出示例

5

代碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[50005];
int main()
{int id,n,x,k;scanf("%d",&n);k=0;scanf("%d",&a[0]);for(int i=1; i<n; i++){scanf("%d",&x);if(x>a[k]){k++;a[k]=x;}else{id=lower_bound(a,a+k,x)-a;//找到序列中小于x的最大的一項 if(a[id]!=x)a[id]=x;}}printf("%d\n",k+1);return 0;
}

4.最長公共子序列問題（LCS）

A和B的公共子序列中長度最長的（包含元素最多的）叫做A和B的公共子序列。

例如序列1,3,5,4,2,6,8,7和序列1,4,8,6,7,5，它們的最長公共子序列是：1,4,8,7或1,4,6,7
最長公共子序列的長度是4（最長公共子序列不唯一）。

分析：
用Ax表示序列A的連續前x項構成的子序列，即Ax= a1,a2,……ax, By= b1,b2,……by, 用LCS(x, y)表示它們的最長公共子序列長度。

令x表示子序列考慮最后一項

（1） Ax ＝ By，那么它們L(Ax, By)的最后一項一定是這個元素，令t = Ax = By
LCS(Ax, By) = LCS(x - 1, y - 1) + 1

（2） Ax ≠ By

仍然設t = L(Ax, By), 或者L(Ax, By)是空序列（這時t是未定義值不等于任何值）。

則t ≠ Ax和t ≠ By至少有一個成立，因為t不能同時等于兩個不同的值！

（2.1） 如果t ≠ Ax，則有 LCS(x,y) = LCS(x – 1, y)

（2.2） 如果t ≠ By，則有LCS(x,y) = LCS(x, y – 1)

可是事先并不知道t，由定義，取最大的一個，因此這種情況下,有
LCS(x,y) = max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))。

結論：
LCS(x,y) =
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By

初值：
顯然，一個空序列和任何序列的最長公共子序列都是空序列，所以:
LCS(x,y) =
(1) 0 如果x = 0或者y = 0
(2) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(3) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By

復雜度：
時間復雜度時O(n * m)，空間也是O(n * m)

輸入

第1行：字符串A
第2行：字符串B
(A,B的長度 <= 1000)

輸出

輸出最長的子序列，如果有多個，隨意輸出1個。

輸入示例

abcicba
abdkscab

輸出示例

abca

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int arr[1005][1005];
char str3[1005];
int main()
{int i,j;string str1,str2;while(cin>>str1>>str2){int x_len=str1.length();int y_len=str2.length();memset(arr,0,sizeof(arr));for(i=1; i<=x_len; i++){for(j=1; j<=y_len; j++){if(str1[i-1]==str2[j-1]){arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+1;}else{if(arr[i][j-1]>=arr[i-1][j]){arr[i][j]=arr[i][j-1];}else{arr[i][j]=arr[i-1][j];}}}}int k=0;for(i = x_len, j = y_len; i >= 1 && j >= 1;){if(str1[i - 1] == str2[j - 1]){str3[k++]=str1[i-1];i--;j--;}else{if(arr[i][j -1] > arr[i - 1][j]){j--;}else{i--;}}}for(i=k-1; i>=0; i--){cout<<str3[i];}cout<<endl;}return 0;
}

5.最大子序列和

給出一個整數數組a(正負數都有)，如何找出一個連續子數組（可以一個都不取，那么結果為0），使得其中的和最大？

例如：-2,11,-4,13,-5,-2，和最大的子段為：11,-4,13。和為20。

分析：
如果要選擇a[j]，那么“之前的和”一定是最大的并且是正的。不然要么把“之前的和”換成更優，要么直接從a[j]開始。

記錄dp[i]表示以a[i]結尾的全部子段中最大的和。如果取a[i – 1]則一定是取以a[i – 1]結尾的子段和中最大的一個，所以是dp[i – 1]。如果不取dp[i – 1]，就只取a[i]一個。所以有dp[i] = max(dp[i – 1] + a[i], a[i]) ，和dp[i] = max(dp[i – 1] , 0) + a[i]是一樣的，意思是說之前能取到的最大和是正的就要，否則就不要！

初值：
dp[1] = a[1]，因為前面沒的選了。

空間優化：
dp[i] = max(dp[i － 1]， 0) ＋ a[i]，只和dp[i – 1]有關，所以在輸入序列是直接以a[i-1]替代dp[i-1]做判斷。

復雜度：
時間復雜度是O(n)，空間復雜度是O(1)

輸入

第1行：整數序列的長度N（2 <= N <= 50000)
第2 - N + 1行：N個整數（-10^9 <= A[i] <= 10^9）

輸出

輸出最大子段和。

輸入示例

6
-2
11
-4
13
-5
-2

輸出示例

最大子序列和為：20

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long a[50005],b[50005];
int main()
{int i,n;long long Max;while(cin>>n){cin>>a[0];Max=0;int substart=0; //求序列開始與結束點int start=0;int end=0;for(i=1; i<n; i++){cin>>a[i];if(a[i-1]>0){a[i]=a[i-1]+a[i];}else{substart=i;}if(Max<a[i]){Max=a[i];start=substart;end=i;}}cout<<"最大子序列和為："<<Max<<endl;//cout<<"最大子序列為:a["<<start<<"]-a["<<end<<"]"<<endl;}return 0;
}

6.最大子矩陣和

二維的最大子段和問題，我們看看能不能把這個問題轉化為一維的問題。

分析：
最后子矩陣一定是在某兩行之間的。假設認為子矩陣在第i行和第j列之間，枚舉所有1<=i<=j<=M,表示最終子矩陣選取的行范圍。
我們把每一列第i行到第j行之間的和求出來，形成一個數組c,于是一個第i行到第j行之間的最大子矩陣和對應于這個和數組c的最大子段和。

輸入

第1行：M和N，中間用空格隔開（2 <= M,N <= 500)。
第2 - N + 1行：矩陣中的元素，每行M個數，中間用空格隔開。(-10^9 <= M[i] <= 10^9)

輸出

輸出和的最大值。如果所有數都是負數，就輸出0。

輸入示例

3 3
-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2

輸出示例

7

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int dp[510][510];
int maxsub(int n,int a[])
{int i,sum=0,b=0;for(i=1; i<=n; i++){if(b>0)b+=a[i];else b=a[i];if(b>sum)sum=b;}return sum;
}
int main()
{int b[510];int m,n,i,k,j,sum,maxsum;while(~scanf("%d%d",&m,&n)){for(i=1; i<=m; i++){for(j=1; j<=n; j++){scanf("%d",&dp[i][j]);}}maxsum=0;for(i=1; i<=m; i++)       //這部分循環很精華，求了所有方塊的值{memset(b,0,sizeof(b));for(j=i; j<=m; j++){for(k=1; k<=n; k++){b[k]+=dp[j][k];  //b[k]=b[k]+dp,把之前行的值做了累加}sum=maxsub(n,b);   //求b的最大字段和if(sum>maxsum)maxsum=sum;  //更新整體最大字段和}}printf("%d\n",maxsum);}return 0;
}/*
例如：
-1  3 -12 -1  3
-3  1  2m=3,n=3遍歷：1、i=1：（1）j=1: b數組記錄 -1 3 -1（2）j=2: b數組記錄 [-1  [3 [-12] -1]  3]（3）j=3: b數組記錄 [-1  [3 [-12  -1   3-3]  1]  2]
2、i=2:
（1）j=2: 2 -1 3
（2）j=3: [2  [-1  [3-3]   1]  2]
3、i=3:
（1）j=3: -3 1 2
*/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法设计与分析第4章 动态规划（二）【DP序列问题】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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