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生活经验

关于位姿变换的一点体会

發(fā)布時(shí)間：2023/11/27 生活经验 26 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了关于位姿变换的一点体会小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

關(guān)于位姿變換的一點(diǎn)體會(huì)

1.題外話
2.剛體的位姿變換
- 2.1 位姿變換的定義
- 2.2 旋轉(zhuǎn)矩陣的具體形式
- - 2.2.1 二維情況
  - 2.2.2 三維情況
3.旋轉(zhuǎn)方向
4.平移方向

1.題外話

對(duì)于剛體的位姿變換問(wèn)題，以前總覺(jué)得很簡(jiǎn)單，不就是個(gè)旋轉(zhuǎn)平移嘛?？墒菐滋焓謩?dòng)做了的坐標(biāo)變換卻做了很久才做好。究其原因，還是有些問(wèn)題沒(méi)弄清楚。所以，今天在此寫(xiě)篇博客，徹底把這個(gè)過(guò)程捋一捋。

2.剛體的位姿變換

2.1 位姿變換的定義

確實(shí)，剛體的姿態(tài)變換就兩部分：旋轉(zhuǎn)和平移。先來(lái)看看書(shū)上是怎么介紹旋轉(zhuǎn)和平移的。在《視覺(jué)slam十四講》中，對(duì)于這部分內(nèi)容是這樣將的：

我們?cè)O(shè)某個(gè)單位正交基 $e_{1},e_{2},e_{3})$ 經(jīng)過(guò)一次旋轉(zhuǎn)，變成了 $(e1′,e2′,e3′)(e'_{1},e'_{2},e'_{3})$ 。那么，對(duì)于同一個(gè)向量 $a$ （注意該向量并沒(méi)有隨著坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)而發(fā)生運(yùn)動(dòng)），它在兩個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為 $a_{1}; a_{2}; a_{3}]^T$ 和 $a′_{ 1}; a′_{ 2}; a′ _{3}]^T$ 。根據(jù)坐標(biāo)的定義，有：

為了描述兩個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系，我們對(duì)上面等式左右同時(shí)左乘 $[e1T,e2T,e3T]T[e^T_{1},e^T_{2},e^T_{3}]^T$ ，那么左邊的系數(shù)變成了單位矩陣，所以

我們把中間的陣拿出來(lái)，定義成一個(gè)矩陣 $R$ 。這個(gè)矩陣由兩組基之間的內(nèi)積組成，刻畫(huà)了旋轉(zhuǎn)前后同一個(gè)向量的坐標(biāo)變換關(guān)系。只要旋轉(zhuǎn)是一樣的，那么這個(gè)矩陣也是一樣的?？梢哉f(shuō)，矩陣 $R$ 描述了旋轉(zhuǎn)本身。因此它又稱為旋轉(zhuǎn)矩陣。

在歐氏變換中，除了旋轉(zhuǎn)之外還有一個(gè)平移?？紤]世界坐標(biāo)系中的向量 $a$ ，經(jīng)過(guò)一次旋轉(zhuǎn)（用 $R$ 描述）和一次平移 $t$ 后，得到了 $a'$ ，那么把旋轉(zhuǎn)和平移合到一起，有：
$a' = R a + t$
其中， $t$ 稱為平移向量。相比于旋轉(zhuǎn)，平移部分只需把這個(gè)平移量加到旋轉(zhuǎn)之后的坐標(biāo)上，顯得非常簡(jiǎn)潔。

以上內(nèi)容摘自《視覺(jué)slam十四講》第三章中的內(nèi)容。

2.2 旋轉(zhuǎn)矩陣的具體形式

從上面的內(nèi)容可以看到，旋轉(zhuǎn)矩陣是由兩組基向量的內(nèi)積組成。接下來(lái)再看看沿各個(gè)坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣怎樣寫(xiě)。

2.2.1 二維情況

對(duì)于二維的情況，比較簡(jiǎn)單。旋轉(zhuǎn)矩陣（旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針）為：
$\left[ \begin{matrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{matrix} \right]$

2.2.2 三維情況

繞x軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)（在yz平面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)）
$\left[ \begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0&cos(\theta) & -sin(\theta)\\ 0&sin(\theta) & cos(\theta) \end{matrix} \right]$

繞y軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)（在xz平面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)）
$\left[ \begin{matrix} cos(\theta) & 0& -sin(\theta)\\ 0&1&0 \\ sin(\theta)& 0& cos(\theta) \end{matrix} \right]$
繞z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)（在xy平面逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)）
$\left[ \begin{matrix} cos(\theta) & -sin(\theta)& 0\\ sin(\theta)& cos(\theta)& 0\\ 0&0&1 \\ \end{matrix} \right]$

3.旋轉(zhuǎn)方向

下面來(lái)考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

問(wèn)題：將點(diǎn) $p = (1, 0)$ ，按照旋轉(zhuǎn)矩陣 $R$ 進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為多少？
$\left[ \begin{matrix} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{matrix} \right] ，\theta=\pi/2$

這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單，口算都可以算出答案是 $p^{'} = (0, 1)$ 。

但這里面有些問(wèn)題需要搞清楚。按照旋轉(zhuǎn)矩陣 $R$ 進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，我們將點(diǎn) $p = (0, 1)$ 變換為了 $p^{'} = (1, 0)$ 。相當(dāng)于把點(diǎn) $p$ 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 $π/2\pi/2$ 。這并沒(méi)有什么問(wèn)題。在上一節(jié)的旋轉(zhuǎn)矩陣的定義中，我們也說(shuō)了這種形式的旋轉(zhuǎn)矩陣是進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

但是問(wèn)題在于，很多情況下點(diǎn)的位置是固定的，它并不會(huì)發(fā)生變化。旋轉(zhuǎn)之后發(fā)生變化的是坐標(biāo)系。也就是說(shuō)，旋轉(zhuǎn)過(guò)后，點(diǎn) $p$ 的實(shí)際位置并沒(méi)有變，它還是在那個(gè)位置。但是它的坐標(biāo)變了（ $p^{'} = (0 ， 1)$ ），也就是所在的坐標(biāo)系變了。那坐標(biāo)系是怎么旋轉(zhuǎn)的呢？剛好與坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方向相反——順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

這個(gè)道理同時(shí)適用于三維的情況。

我覺(jué)得，能把這個(gè)問(wèn)題想清楚很重要。

4.平移方向

進(jìn)行平移變換的時(shí)候，同樣存在上面的問(wèn)題。

我們可以考慮一下。將點(diǎn) $p = (1, 1)$ 按向量 $（ 1 ， 2 ）$ 進(jìn)行平移，很顯然平移后的坐標(biāo)為 $p^{'} = (2, 3)$ 。如下圖所示：

同樣，很多情況下點(diǎn)的位置是固定的，變化的是坐標(biāo)。所以，如果點(diǎn)的位置不變，在進(jìn)行平移之后點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)榱?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline"> $p^{'} = (2, 3)$ ，那只能是坐標(biāo)系進(jìn)行了平移。那坐標(biāo)系是怎么平移的呢？——與坐標(biāo)平移方向相反，按向量 $(? 1, ? 2)$ 進(jìn)行平移。如下圖所示

總結(jié)一下：關(guān)于旋轉(zhuǎn)和平移，必須要想清楚是對(duì)點(diǎn)（或向量）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移還是對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的关于位姿变换的一点体会的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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