1、為什么要引入齊次坐標，齊次坐標的意義

首先百科解讀：

齊次坐標就是將一個原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示，是指一個用于投影幾何里的坐標系統，如同用于歐氏幾何里的笛卡兒坐標一般。

?以下內容是對這個鏈接的翻譯：

http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html

?問題：兩條平行線可以相交于一點。

在歐氏幾何空間，同一平面的兩條平行線不能相交，這是我們都熟悉的一種場景。

然而，在透視空間里面，兩條平行線可以相交，例如：火車軌道隨著我們的視線越來越窄，最后兩條平行線在無窮遠處交于一

點。

歐氏空間（或者笛卡爾空間）描述2D/3D幾何非常適合，但是這種方法卻不適合處理透視空間的問題（實際上，歐氏幾何是透視幾何的一個子集合），2維笛卡爾坐標可以表示為（x,y）。

如果一個點在無窮遠處，這個點的坐標將會(∞,∞)，在歐氏空間，這變得沒有意義。

平行線在透視空間的無窮遠處交于一點，但是在歐氏空間卻不能，數學家發現了一種方式來解決這個問題。

方法：齊次坐標

簡而言之，齊次坐標就是用N+1維來代表N維坐標。

我們可以在一個2D笛卡爾坐標末尾加上一個額外的變量w來形成2D齊次坐標，因此，一個點(X,Y)在齊次坐標里面變成了（x,y,w），并且有

X = x/w

Y = y/w

例如，笛卡爾坐標系下（1，2）的齊次坐標可以表示為（1，2，1），如果點（1，2）移動到無限遠處，在笛卡爾坐標下它變為(∞,∞)，然后它的齊次坐標表示為（1，2，0），因為(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我們可以不用”∞"來表示一個無窮遠處的點了，哈哈。

為什么叫齊次坐標？

我們把齊次坐標轉化為笛卡爾坐標的方法是前面n-1個坐標分量分別除以最后一個分量即可。

轉化齊次坐標到笛卡爾坐標的過程中，我們有一個發現，例如：

你會發現(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)對應同一個Euclidean point (1/3, 2/3)，任何標量的乘積，例如(1a, 2a, 3a) 對應 笛卡爾空間里面的(1/3, 2/3) 。因此，這些點是“齊次的”，因為他們代表了笛卡爾坐標系里面的同一個點。換句話說，齊次坐標有規模不變性。

證明：兩條直線可以相交

考慮如下方程組：

我們知道在笛卡爾坐標系里面，該方程組無解，因為C ≠ D,如果C=D,兩條直線就相同了。 讓我們在透視空間里面，用齊次坐標x/w, y/w代替x ,y：

現在我們有一個解(x, y, 0)，因為(C-D)w=0，所以w=0；兩條直線相交于(x, y, 0)，這個點在無窮遠處。

齊次坐標在計算機圖形學中是非常有用的基本概念，例如將3D場景投影到2D平面上。

齊次坐標的意義：

???????使用齊次坐標，可以表示平行線在透視空間的無窮遠處交于一點。在歐氏空間，這變得沒有意義，所以歐式坐標不能表示。即：齊次坐標可以表示無窮遠處的點。例如：

如果點（1，2）移動到無限遠處，在笛卡爾坐標下它變為(∞,∞)，然后它的齊次坐標表示為（1，2，0），因為(1/0, 2/0) =(∞,∞)，我們可以不用”∞"來表示一個無窮遠處的點了，可以使用齊次坐標來表示。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的齐次坐标的理解（1）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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