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假設有從 1 到 N 的?N?個整數，如果從這?N?個數字中成功構造出一個數組，使得數組的第 i?位 (1 <= i <= N) 滿足如下兩個條件中的一個，我們就稱這個數組為一個優美的排列。條件：

?（1）第?i?位的數字能被?i?整除
?（2）i?能被第 i 位上的數字整除
現在給定一個整數 N，請問可以構造多少個優美的排列？

題意：如字面意思構造一個排列，讓第i位放的數字跟i是能夠整除的一個關系。

思路：N<=15,從這個n的范圍來看就是一個2的15次方的一個題目，排列的顧名思義，就是你在這個新構成的數組里邊，每一個位置對應一個選擇一個數字。那么我們直接用dp[i的二進制表示]當前選擇的幾個數字，一個基礎的狀態壓縮dp問題。

二進制1的數量表示已經選擇了幾個數字

二進制1的位置表示選擇的是數字幾

dp[2] = (二進制)dp[010]? 表示選擇了1個數，選了2這個數字

dp[4] = (二進制)dp[100]? 表示選擇了1個數，選了3這個數字

dp[6] = (二進制)dp[110] 表示選擇了兩個數字，分別選擇了2和3這兩個數字

若dp[010]->dp[110] 表示選擇第一個數字是2,選擇第二個數字是3? :::? ?? [2]->[2,3]

若dp[100]->dp[110] 表示選擇第一個數字是3,選擇第二個數字是2? ?::? ? ?[3]->[3,2]

狀態轉換的方式就是這樣，就是通過二進制的位運算來優化算法。

代碼如下：

#include<algorithm>
const int maxn=(1<<15)+10;
int dp[maxn];
//統計1的個數，就是選擇了幾個數字
int one_num(int x){int ans=0;while(x){if(x&1) ans++;x>>=1;}return ans;
}
class Solution {
public:int countArrangement(int n) {dp[0]=1;for(int i=1;i<(1<<n);i++){dp[i]=0;for(int j=0;j<n;j++){//選擇了j這個數字if((i>>j)&1){//一共選了多少個數字了，這就是對應選擇的第幾個數字int pos=one_num(i);//整除的這個關系判斷一下if(pos%(j+1)==0 || (j+1)%pos==0)dp[i]+=dp[i^(1<<j)];}}}return dp[(1<<n)-1];}
};

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Leetcode 526.优美的排列 二进制状压DP的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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