PCL中Kd树理论
k-d樹（k-dimensional樹的簡稱），是一種分割k維數(shù)據(jù)空間的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。主要應(yīng)用于多維空間關(guān)鍵數(shù)據(jù)的搜索（如：范圍搜索和最近鄰搜索）。
? ?01? ?Kd簡介
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? ? ?K-D樹是二進(jìn)制空間分割樹的特殊的情況。用來組織表示K維空間中點的幾何，是一種帶有其他約束的二分查找樹，為了達(dá)到目的，通常只在三個維度中進(jìn)行處理因此所有的kd_tree都將是三維的kd_tree,kd_tree的每一維在指定維度上分開所有的字節(jié)點，在樹的根部所有子節(jié)點是以第一個指定的維度上被分開。
? ? ?K-D樹算法可以分為兩大部分，一部分是有關(guān)k-d樹本身這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)建立的算法，另一部分是在建立的k-d樹上如何進(jìn)行最鄰近查找的算法。
? ?02? ?應(yīng)用背景
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? ? ? ?比如SIFT算法中做特征點匹配的時候就會利用到k-d樹。而特征點匹配實際上就是一個通過距離函數(shù)在高維矢量之間進(jìn)行相似性檢索的問題。針對如何快速而準(zhǔn)確地找到查詢點的近鄰，現(xiàn)在提出了很多高維空間索引結(jié)構(gòu)和近似查詢的算法，k-d樹就是其中一種。
索引結(jié)構(gòu)中相似性查詢有兩種基本的方式：一種是范圍查詢（range searches），另一種是K近鄰查詢（K-neighbor searches）。范圍查詢就是給定查詢點和查詢距離的閾值，從數(shù)據(jù)集中找出所有與查詢點距離小于閾值的數(shù)據(jù)；K近鄰查詢是給定查詢點及正整數(shù)K，從數(shù)據(jù)集中找到距離查詢點最近的K個數(shù)據(jù)，當(dāng)K=1時，就是最近鄰查詢（nearest neighbor searches）。
? ?03? ?實例
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? ? ? ?先以一個簡單直觀的實例來介紹k-d樹算法。假設(shè)有6個二維數(shù)據(jù)點{（2,3），（5,4），（9,6），（4,7），（8,1），（7,2）}，數(shù)據(jù)點位于二維空間內(nèi)（如圖1中黑點所示）。k-d樹算法就是要確定圖1中這些分割空間的分割線（多維空間即為分割平面，一般為超平面）。下面就要通過一步步展示k-d樹是如何確定這些分割線的。
? ? ?k-d樹算法可以分為兩大部分，一部分是有關(guān)k-d樹本身這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)建立的算法，另一部分是在建立的k-d樹上如何進(jìn)行最鄰近查找的算法。
? ?03? ?構(gòu)建算法
? ? ? k-d樹是一個二叉樹，每個節(jié)點表示一個空間范圍。表1給出的是k-d樹每個節(jié)點中主要包含的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。
? ? ?從上面對k-d樹節(jié)點的數(shù)據(jù)類型的描述可以看出構(gòu)建k-d樹是一個逐級展開的遞歸過程。表2給出的是構(gòu)建k-d樹的偽碼。
?以上述舉的實例來看，過程如下：
由于此例簡單，數(shù)據(jù)維度只有2維，所以可以簡單地給x，y兩個方向軸編號為0,1，也即split={0,1}。
（1）確定split域的首先該取的值。分別計算x，y方向上數(shù)據(jù)的方差得知x方向上的方差最大，所以split域值首先取0，也就是x軸方向；
（2）確定Node-data的域值。根據(jù)x軸方向的值2,5,9,4,8,7排序選出中值為7，所以Node-data = （7,2）。這樣，該節(jié)點的分割超平面就是通過（7,2）并垂直于split = 0（x軸）的直線x = 7；
（3）確定左子空間和右子空間。分割超平面x = 7將整個空間分為兩部分，如圖2所示。x < =? 7的部分為左子空間，包含3個節(jié)點{（2,3），（5,4），（4,7）}；另一部分為右子空間，包含2個節(jié)點{（9,6），（8,1）}。
? ? ? ?如算法所述，k-d樹的構(gòu)建是一個遞歸的過程。然后對左子空間和右子空間內(nèi)的數(shù)據(jù)重復(fù)根節(jié)點的過程就可以得到下一級子節(jié)點（5,4）和（9,6）（也就是左右子空間的'根'節(jié)點），同時將空間和數(shù)據(jù)集進(jìn)一步細(xì)分。如此反復(fù)直到空間中只包含一個數(shù)據(jù)點，如圖1所示。最后生成的k-d樹如圖3所示。
? ?04? ?PCL中k-d樹的最鄰近查找
? ? ? 在k-d樹中進(jìn)行數(shù)據(jù)的查找也是特征匹配的重要環(huán)節(jié)，其目的是檢索在k-d樹中與查詢點距離最近的數(shù)據(jù)點。這里先以一個簡單的實例來描述最鄰近查找的基本思路。
星號表示要查詢的點（2.1,3.1）。通過二叉搜索，順著搜索路徑很快就能找到最鄰近的近似點，也就是葉子節(jié)點（2,3）。而找到的葉子節(jié)點并不一定就是最鄰近的，最鄰近肯定距離查詢點更近，應(yīng)該位于以查詢點為圓心且通過葉子節(jié)點的圓域內(nèi)。為了找到真正的最近鄰，還需要進(jìn)行'回溯'操作：算法沿搜索路徑反向查找是否有距離查詢點更近的數(shù)據(jù)點。此例中先從（7,2）點開始進(jìn)行二叉查找，然后到達(dá)（5,4），最后到達(dá)（2,3），此時搜索路徑中的節(jié)點為<（7,2），（5,4），（2,3）>，首先以（2,3）作為當(dāng)前最近鄰點，計算其到查詢點（2.1,3.1）的距離為0.1414，然后回溯到其父節(jié)點（5,4），并判斷在該父節(jié)點的其他子節(jié)點空間中是否有距離查詢點更近的數(shù)據(jù)點。以（2.1,3.1）為圓心，以0.1414為半徑畫圓，如圖4所示。發(fā)現(xiàn)該圓并不和超平面y = 4交割，因此不用進(jìn)入（5,4）節(jié)點右子空間中去搜索。
? ? ?再回溯到（7,2），以（2.1,3.1）為圓心，以0.1414為半徑的圓更不會與x = 7超平面交割，因此不用進(jìn)入（7,2）右子空間進(jìn)行查找。至此，搜索路徑中的節(jié)點已經(jīng)全部回溯完，結(jié)束整個搜索，返回最近鄰點（2,3），最近距離為0.1414。
一個復(fù)雜點了例子如查找點為（2，4.5）。同樣先進(jìn)行二叉查找，先從（7,2）查找到（5,4）節(jié)點，在進(jìn)行查找時是由y = 4為分割超平面的，由于查找點為y值為4.5，因此進(jìn)入右子空間查找到（4,7），形成搜索路徑<（7,2），（5,4），（4,7）>，取（4,7）為當(dāng)前最近鄰點，計算其與目標(biāo)查找點的距離為3.202。然后回溯到（5,4），計算其與查找點之間的距離為3.041。以（2，4.5）為圓心，以3.041為半徑作圓，如圖5所示。可見該圓和y = 4超平面交割，所以需要進(jìn)入（5,4）左子空間進(jìn)行查找。此時需將（2,3）節(jié)點加入搜索路徑中得<（7,2），（2,3）>。回溯至（2,3）葉子節(jié)點，（2,3）距離（2,4.5）比（5,4）要近，所以最近鄰點更新為（2，3），最近距離更新為1.5。回溯至（7,2），以（2,4.5）為圓心1.5為半徑作圓，并不和x = 7分割超平面交割，如圖6所示。至此，搜索路徑回溯完。返回最近鄰點（2,3），最近距離1.5。k-d樹查詢算法的偽代碼如表3所示。
? ?那么各種編程語言實現(xiàn)Kd tree的代碼網(wǎng)址：
https://rosettacode.org/wiki/K-d_tree
PCL中關(guān)于K-D樹的算法已經(jīng)實現(xiàn)，是實現(xiàn)其他算法的基礎(chǔ)，比如在使用濾波算法，配準(zhǔn)等算法都會使用該接口。既然有輪子，就不要自己造輪子了。
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