寫一個函數，輸入?n?，求斐波那契（Fibonacci）數列的第?n?項。斐波那契數列的定義如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契數列由 0 和 1 開始，之后的斐波那契數就是由之前的兩數相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如計算初始結果為：1000000008，請返回 1。

示例 1：

輸入：n = 2
輸出：1

示例 2：

輸入：n = 5
輸出：5

提示：

0 <= n <= 100

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解題：

方法一：遞歸

(1)遞歸：函數自己調用自己
(2)遞歸的"缺陷"：遞歸到一定程度，會發生"棧溢出"
(3)遞歸的"時間復雜度"：遞歸總次數*每次遞歸的次數
(4)遞歸的"空間復雜度"：遞歸的深度*每次遞歸空間的大小（注意："每次遞歸空間的大小"是個常數，可以基本忽略不計）
? ? 遞歸的"深度"：樹的高度（遞歸的過程是一個"二叉樹"）

• 時間復雜度

假設n對應復雜度T(n)，由于if( n <= 1 )執行1次，f(n-1)執行1次，f(n-2)執行1次，然后f(n-1)和f(n-2)執行一次，因此有T(n)=T(n-1)+T(n-2)+4，忽略次要項，得到T(n)=T(n-1)+T(n-2)，根據數學知識可得通項式為

下面繼續分析下，不通過數學計算，估算其上下極限

上限：令T(n-2)約等于T(n-1)，則T(n)=T(n-1)+T(n-2)=2T(n-1)=2*2*T(n-2)=....=2^n*T(0)=2^n，即為O(2^n)

下限：令T(n-1)約等于T(n-2)，則T(n)=T(n-1)+T(n-2)=2T(n-2)=2*2*T(n-4)=....=2^(n/2)*T(0)=2^(n/2)，即為O(2^(n/2))

所以最后可得到結果，其時間復雜度結果位于O(2^(n/2))和O(2^n)之間

• 空間復雜度

跟所有遞歸調用一樣，每次調用一次，都會進行壓棧操作，因此下面分析函數調用時棧空間情況，要求f(n)會執行f(n-1)+f(n-2)需要壓棧一次，然后求f(n-1)會執行f(n-2)+f(n-3)需要壓棧一次，....，最后直到到f(1)，這里以f(5)為例，那么棧情況如下圖所示

遞歸算法的空間復雜度：遞歸的深度*每次遞歸所需的輔助空間的個數。
而樹的高度即為遞歸的深度。
則易知空間復雜度為O（n）。

class Solution {
public:int fib(int n) {if(n==0) return 0;if(n==1) return 1;return (fib(n-1)+fib(n-2))%1000000007;}
};

方法二：動態規化法

動態規劃過程是：每次決策依賴于當前狀態，又隨即引起狀態的轉移。一個決策序列就是在變化的狀態中產生出來的，所以，這種多階段最優化決策解決問題的過程就稱為動態規劃(DP)。

時間復雜度O(n)，空間復雜度O(1)

class Solution {public:int fib(int n) {if(n==0) return 0;int func1=0;int func2=1;for(int i=2;i<=n;i++) {int temp=f2;func2=(func1+func2)%1000000007;func1=temp;}   return func2;}
};

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的剑指offer：面试题10- I. 斐波那契数列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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