1.什么是光束平差法

前邊的八點法，五點法等可以求出閉式解的前提是已經(jīng)知道確切的點對。但實際情況中往往存在大量的噪聲，點與點不是精確地對應(yīng)甚至出現(xiàn)一些錯誤匹配。?
光束平差法由Bundle Adjustment翻譯得來，有兩層意思：?
對場景中任意三維點P，由從每個視圖所對應(yīng)的的攝像機的光心發(fā)射出來并經(jīng)過圖像中P對應(yīng)的像素后的光線，都將交于P這一點，對于所有三維點，則形成相當(dāng)多的光束（bundle）；實際過程中由于噪聲等存在，每條光線幾乎不可能匯聚與一點，因此在求解過程中，需要不斷對待求信息進行調(diào)整（adjustment），來使得最終光線能交于點P。對m幀，每幀含N個特征點的目標函數(shù)如下：?
?
（1）?
其中：表示受白噪聲影響的估計二維點坐標，為投影函數(shù)，ruguo 如果點j出現(xiàn)在圖i上，則，否則。?
這是一個非凸問題。?
式子（1）表示對所有點?
以上便是光束平差法目標函數(shù)的原理。由于場景中特征點往往較多，該問題是一個巨大的高維非線性優(yōu)化問題。接下來，需要對上述式子進行求解，這是光束平差法的核心內(nèi)容。?
針對具體應(yīng)用場景，光束平差法有不同收斂方法。目前常用的方法有梯度下降法，牛頓法，高斯牛頓法，Levenber-Marquardt等方法。

2.1 一階方法——梯度下降法

所謂一階方法，即對問題的目標函數(shù)進行泰勒一階展開后進行迭代求解的方法。梯度下降法是一階方法之一。當(dāng)梯度為負值時，沿著梯度方向就是函數(shù)值f變小最快的方向。梯度下降法就是讓函數(shù)沿著下降最快的方向去找函數(shù)值的最小值，就像水流沿著斜率最大的方向流去。對于變量都為標量的函數(shù)，形象的描述是始終用一條直線來擬合曲線。梯度下降法迭代式子如下：

?

(2)

?

其中，?表示自己設(shè)置的迭代步長，可用一維線性搜索動態(tài)確定。x表示自變量。

嚴格意義上，梯度下降法并不決定函數(shù)f(x)下降方向，因為它僅僅是一個余向量而非向量，只能通過最終標量的正負而非實際的向量指引函數(shù)下降方向。梯度下降法的復(fù)雜度是Ο(n)，其中n為待解決問題的大小，比如矩陣E的行數(shù)。實際過程中，常常使用一維線性搜索方法來尋找合適的步長。

2.2 二階方法——牛頓法（Newton Method）

牛頓法是二階優(yōu)化方法，即會將目標函數(shù)展開至泰勒二階項然后進行優(yōu)化求解。與梯度法相比，它們利用到了目標函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。形象地講，如用牛頓法求解自變量為標量的函數(shù)時，用二次曲線來擬合最優(yōu)化點時的函數(shù)曲線。

對目標函數(shù)E，其二階泰特展開式為：

其中g(shù)為E的雅克比矩陣，H為E的海塞矩陣。

由于優(yōu)化點的導(dǎo)數(shù)為0，即：

上式展開，易知x的迭代式子為：

由于牛頓法下降速度很快。實際中往往加上一個步長因子γ?(0,1)，來控制收斂的速度:

牛頓法是二階收斂的，收斂速度很快。在實際應(yīng)用中，向量x往往非常大（每個視圖中圖像處理后特征點數(shù)量可能達到萬個以上），海森矩陣H將非常大，求海塞矩陣的逆的運算消耗將非常大，對于牛頓法來說，計算復(fù)雜度是O(n3)。此外，由于海塞矩陣不一定可逆。其三，對于大多數(shù)一階優(yōu)化方法，可以采用諸如圖形處理器（Graphics Processing Unit）并行的方式來加速，但對于海塞矩陣求逆來說這顯然無法實現(xiàn)。因此實際中往往出現(xiàn)一階方法比二階方法更快收斂。

2.3 擬牛頓法——高斯牛頓法（Gauss-Newton Method）

所謂擬牛頓法，就是用其他式子來模擬替代海塞矩陣。假如牛頓法中的海塞矩陣不是正定（positive definitive）的，無法求解；此外，海森矩陣H往往非常大，求海塞矩陣的逆的運算消耗也很大（對于牛頓法來說，計算復(fù)雜度是O(n3)），因此，引入用擬牛頓法來用正定矩陣代替海塞矩陣和海塞矩陣的逆。常用的擬牛頓法有高斯牛頓法（Gauss-Newton Method）。

假設(shè)最小二乘問題目標函數(shù)如下：?

其中ri(x)是對應(yīng)觀測值與預(yù)測值之間的殘差。

仿照2.3可以得到牛頓法中的迭代式子（10）。不過其中梯度矩陣g:

海塞矩陣H:

如果對于一個近線性的優(yōu)化問題，則上式第二項更趨近于0，因此舍棄第二項，上式為：

則：

也即有：

由于采用?，計算量大大減少

應(yīng)當(dāng)特別指出，上式成立的條件是。在結(jié)構(gòu)與運動過程中，由于一般認為到場景位置點的距離比較遠的，因此短暫的移動過程中，可以認為從攝像機到場景位置點的距離是近似不變的。在距離不變，也就是一個維度固定的前提下，投影函數(shù)π是線性的。因此該近似符合應(yīng)用場景，是很好的近似。

2.4 Levenberg-Marquardt方法

另外一種思路是將牛頓法和梯度法融合在一起。數(shù)學(xué)上是阻尼最小二乘法的思路，即近似只有在區(qū)間內(nèi)才可靠。對于

此處μ是信賴區(qū)間半徑，D為對?進行轉(zhuǎn)換的矩陣（在Levenberg的方法中，他將D設(shè)置為單位矩陣）。

即加上一個單位矩陣I的倍數(shù)和使之成為：

這種方法時保證改進后的海塞矩陣可逆且正定。從效果上，是用λ在牛頓法與梯度法之間做出權(quán)衡。當(dāng)λ很小時，上式幾乎等同與牛頓法式子，當(dāng)λ很大時，上式等同于梯度下降法的式子。

后來，Levenberg（1944）對此方法進行了改進。他將H替換成高斯牛頓法中的擬合矩陣：

其中：?（15）

但容易出現(xiàn)的問題是，當(dāng)?很小的時候，λI可能很大。這樣會極大地偏向梯度法，降低收斂速度。因此為了提高收斂速度，Marquardt 提出了一種新的自適應(yīng)方法：它的迭代式子中：

因此當(dāng)很小時，該方法也不會特別偏向梯度法。

在L-M方法中，采用了近似程度描述ρ

即ρ=實際下降/近似下降。當(dāng)ρ太大，則減少近似范圍（增大λ），當(dāng)p太大，則增加近似范圍（減少λ）。

因此最常使用的光束平差法模型， L-M算法計算步驟如下：

a)給定初始值；?
b)對第k次迭代，求解?
c)計算ρ?
d)若ρ>0.75（經(jīng)驗值），則μ=2μ（經(jīng)驗值，實際可視作變化迭代步長）;?
若ρ<0.25（經(jīng)驗值），則μ=0.5μ（經(jīng)驗值）;?
e)如果ρ大于某閾值，則該次近似是可行的，回到b）繼續(xù)迭代；否則算法已經(jīng)收斂，迭代結(jié)束。

2.5與高斯牛頓法相比LM算法的優(yōu)缺點

高斯牛頓法的缺點是：

• 可能是奇異的病態(tài)的，無法保證求解的增量的穩(wěn)定性；
• 步長可能很大從而導(dǎo)致無法滿足高斯牛頓的一階能大致擬合的假設(shè)?
  優(yōu)點：
• 下降速度比LM快

LM是信賴區(qū)域優(yōu)化法的代表，而加上步長的高斯牛頓法是線搜索方法的代表。

3 關(guān)于光束平差法的其他問題

（1）初始值

光束平差法需要比較好的初始值才能比較快地收斂，所以光束平差法一般作為重建流水線的最后一個步驟，在此之前，需要使用多視圖幾何中傳統(tǒng)的八點法，五點法等傳統(tǒng)多視圖幾何算法先算出R,T等信息。

（2）步長控制

引入步長控制，既可以是避免收斂時步長太大而在最優(yōu)點附近震蕩，也可以加快收斂速度。加入迭代步長的原因，是因為?牛頓法中?下降方向?可能和真實下降方向不一致*?。*比如可能會出現(xiàn)幾個最優(yōu)點相鄰比較近的情況，那么優(yōu)化過程將在幾個谷底之間跳來跳去遲遲不收斂。為了避免這種情況，增加收斂速率，加入一個迭代步長γ，來使迭代朝著真實下降方向走。如果在鞍點，在沿著海塞矩陣為負的方向迭代。實際應(yīng)用中，可以采用每一次迭代后，再對γ進行一維搜索的方法來尋找合適步長。也可以采用L-M的方法，通過改變信任區(qū)間的方式，來進行步長控制。?
4.常用優(yōu)化庫：?
常用BA庫：?
sba: A Generic Sparse Bundle Adjustment C/C++

Apero/MicMac, a free open source photogrammetric software. Cecill-B licence.

Package Based on the Levenberg–Marquardt Algorithm (C, MATLAB). GPL.

cvsba: An OpenCV wrapper for sba library (C++). GPL.

ssba: Simple Sparse Bundle Adjustment package based on the Levenberg–Marquardt Algorithm (C++). LGPL.

OpenCV: Computer Vision library in the contrib module. BSD license.

mcba: Multi-Core Bundle Adjustment (CPU/GPU). GPL3.

libdogleg: General-purpose sparse non-linear least squares solver，based on Powell’s dogleg method. LGPL.?
ceres-solver: A Nonlinear Least Squares Minimizer. BSD license.?
g2o: General Graph Optimization (C++) - framework with solvers for sparse graph-based non-linear error functions. LGPL.

DGAP: The program DGAP implement the photogrammetric method of bundle adjustment invented by Helmut Schmid and Duane Brown. GPL.?
工程上常用的是g2o和ceres-solver。此上列表來源不可考，如有侵權(quán)請聯(lián)系我以刪除。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的SLAM笔记（五）光束平差法(Bundle Adjustment)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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