Preface

本文部分題目摘自 lxl 的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)系列課件

由于工程量巨大，難免會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)字、漏字的情況，如果影響到了您的閱讀體驗(yàn)，還請(qǐng)私信我，我會(huì)在第一時(shí)間修復(fù)。

本文建議大家有一定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)后再來(lái)閱讀 /heart。

個(gè)人感覺(jué)掃描線不是難點(diǎn)，難點(diǎn)在于怎么抽象模型。

首先需要明白一個(gè)東西，叫做 \(B\) 維正交范圍

在一個(gè) \(B\) 維直角坐標(biāo)系下，第 \(i\) 維的坐標(biāo)在范圍 \([l_i, r_i]\) 之內(nèi)，則符合這些限制的點(diǎn)構(gòu)成的的點(diǎn)集為 \(B\) 維正交范圍。

當(dāng)每個(gè)維度都是兩個(gè)端點(diǎn)的限制時(shí)，我們管它叫 2B-side 的 \(B\) 維正交范圍。

如果部分維度只有一個(gè)端點(diǎn)的限制，我們管它叫 A-side 的 \(B\) 維正交范圍。

如果有維度沒(méi)有限制，則顯然，這個(gè)維度不參與構(gòu)成正交范圍。

一維掃描線

當(dāng)處于一個(gè)靜態(tài)的二維平面上時(shí)，我們不難想到用掃描線來(lái)掃描其中的一個(gè)維度，用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)維護(hù)另一個(gè)維度。

在掃描線掃描的過(guò)程中（例如從左到右掃），可能會(huì)在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生一些修改和詢(xún)問(wèn)。

如果信息可差分，則直接差分，否則需要分治。

如果從序列的角度上來(lái)看的話，不難發(fā)現(xiàn)掃描線做的實(shí)際上是枚舉詢(xún)問(wèn)右端點(diǎn)，維護(hù)左端點(diǎn)答案。

假設(shè)當(dāng)前的信息是一個(gè) 4-side 的信息，這個(gè)時(shí)候如果信息滿足差分，就可以把 4-side 矩形差分成 3-side，然后這個(gè)時(shí)候就可以直接做一維掃描線，我們讓掃描線掃描一個(gè) side，剩下所需要維護(hù)的信息就是一個(gè) 2-side 的信息，說(shuō)人話就是一個(gè)區(qū)間操作的信息。

靜態(tài)區(qū)間查詢(xún)類(lèi)問(wèn)題

靜態(tài)的序列，只有區(qū)間查詢(xún)。

一般維度只有 \(2\)。

二維數(shù)點(diǎn)

給定一個(gè)長(zhǎng)為 \(n\) 的序列，有 \(q\) 次詢(xún)問(wèn)，每次問(wèn)你區(qū)間 \([l, r]\) 中有多少位置上的數(shù)在范圍 \([x,y]\) 之內(nèi)。

\(1 \le n,q \le 2 \times 10^5,\;1\le l \le r \le n,\; 0 \le x \le y \le 10^9\)。

首先，不難發(fā)現(xiàn)所查詢(xún)的是一個(gè) 4-side 矩形內(nèi)部的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這類(lèi)問(wèn)題一般叫做「二維數(shù)點(diǎn)」，是一類(lèi)很經(jīng)典的問(wèn)題。

首先考慮一下怎么建系，由于題目直接把坐標(biāo)系懟你臉上了，所以不難看出可以讓一個(gè)軸表示值域維，另一個(gè)軸表示序列維，然后顯然，序列維上是容易差分的，所以在序列維上差分，將范圍從 4-side 降到 3-side，這個(gè)時(shí)候就好辦了，掃描線掃描序列維剩下的那一個(gè) side，然后在掃描線上就變成了查詢(xún) \([x,y]\) 上點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不難想到用樹(shù)狀數(shù)組解決，時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+q) \log n)\)。

基礎(chǔ)問(wèn)題

給定 \(n\) 個(gè)矩形，然后有 \(m\) 次詢(xún)問(wèn)，每次詢(xún)問(wèn)給定一個(gè)點(diǎn)，問(wèn)這個(gè)點(diǎn)被多少矩形所包含。

范圍懶得給了，反正要求單 \(\log\)。

如果站在詢(xún)問(wèn)的點(diǎn)的角度來(lái)看，似乎問(wèn)題不是很好解決。

不妨這次來(lái)試著拆一下貢獻(xiàn)，看看每個(gè)矩形都貢獻(xiàn)了什么，不難發(fā)現(xiàn)每個(gè)矩形都將這個(gè)矩形內(nèi)的點(diǎn)被套的次數(shù) \(+1\)。

這樣就爽了，考慮直接建系，橫軸就是題目中的 \(x\) 軸，縱軸就是題目中的 \(y\) 軸，然后依舊是熟悉的配方，將 4-side 的矩形給差分成 3-side 的矩形，也就是將每個(gè)矩形拆成入邊和出邊。現(xiàn)在用掃描線掃描 \(x\) 軸（當(dāng)然，掃描 \(y\) 軸也可以），在線上維護(hù)一個(gè) 2-side 的區(qū)間，當(dāng)掃描到入邊的時(shí)候，意味著區(qū)間 \(+1\)，掃描到出邊的時(shí)候，意味著區(qū)間 \(-1\)，然后每個(gè)查詢(xún)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)到線上就是單點(diǎn)查詢(xún)。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+q)\log n)\)。

P1972 [SDOI2009] HH 的項(xiàng)鏈

老典題了。

不妨先嘗試建系，讓一個(gè)軸為序列維，讓一個(gè)軸為值域維，然后你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)不同的數(shù)的個(gè)數(shù)似乎特別不好維護(hù)。

不妨讓點(diǎn)都具有超能力，當(dāng)掃描線掃描到和他相同的值時(shí)，把前驅(qū)的貢獻(xiàn)轉(zhuǎn)移到當(dāng)前位置（可以認(rèn)為點(diǎn)直接瞬移到掃描線所在的位置上），這樣的轉(zhuǎn)化就不難將原問(wèn)題變成一個(gè) 2-side 的區(qū)間了，考慮維護(hù)一個(gè) now 數(shù)組，表示當(dāng)前這個(gè)點(diǎn)所在的位置。然后掃描序列維（對(duì)應(yīng)詢(xún)問(wèn) \(r\)），在線上也維護(hù)序列維（對(duì)應(yīng)詢(xún)問(wèn) \(l\)），表示當(dāng)前位置貢獻(xiàn)了多少點(diǎn)，則不難發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)「單點(diǎn)加/減」和「區(qū)間查」的需求，用樹(shù)狀數(shù)組維護(hù)即可，最后考慮每次向右掃描的時(shí)候，更新 now 數(shù)組和線上的樹(shù)狀數(shù)組，此時(shí)時(shí)間復(fù)雜度為 \(O((n+q)\log n)\)。

BZOJ 3489 A simple RMQ problem（弱化版）

給定長(zhǎng)為 \(n\) 的序列，\(m\) 次查詢(xún)區(qū)間中有多少值只出現(xiàn)一次。

要求單 \(\log\)。

你不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)兩個(gè)相同的數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)就不產(chǎn)生貢獻(xiàn)了。

于是類(lèi)比上面的「HH 的項(xiàng)鏈」，我們不難想到當(dāng)我們掃描線掃到一個(gè)數(shù)時(shí)，讓其貢獻(xiàn)為 \(+1\)，讓其前驅(qū)的貢獻(xiàn)為 \(-1\)，讓其前驅(qū)的前驅(qū)的貢獻(xiàn)為 \(0\)，然后剩下的就和「HH 的項(xiàng)鏈」一樣了。

CF522D Closest Equals

考慮直接建系，設(shè)橫軸為序列維（對(duì)應(yīng)詢(xún)問(wèn) \(r\)），縱軸也為序列維（對(duì)應(yīng)詢(xún)問(wèn) \(l\)），然后我們?cè)跈M軸上做掃描線。

現(xiàn)在考慮掃到一個(gè)數(shù)要做什么，首先，顯然的是，至少要有一對(duì)數(shù)才有「距離」這個(gè)概念，然后我們?cè)趻呙璧臅r(shí)候都是在擴(kuò)張?jiān)儐?wèn)的右端點(diǎn)，所以不妨讓相鄰兩個(gè)點(diǎn)中靠左的那個(gè)點(diǎn)的位置維護(hù)距離，這樣就變成了在線上維護(hù)「單點(diǎn)修改，區(qū)間查詢(xún)最小值」了。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+m)\log n)\)。

P4137 Rmq Problem / mex

考慮建系，設(shè)橫軸為序列維，縱軸為值域維，在序列維上做掃描線，線上維護(hù)最小值，然后掃描線的移動(dòng)就是線上的單點(diǎn)修改，查詢(xún)就是在掃描線上進(jìn)行二分，這里用線段樹(shù)維護(hù)線上的信息即可。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+m)\log n)\)。

未知渠道獲得的題

給定一棵 \(n\) 個(gè)點(diǎn)的樹(shù)，然后有 \(q\) 次查詢(xún)，每次查詢(xún)區(qū)間 \([l,r]\)，表示詢(xún)問(wèn)當(dāng)這個(gè)樹(shù)僅剩點(diǎn)和邊的編號(hào)在 \([l,r]\) 之間時(shí)連通塊的個(gè)數(shù)。

要求單 \(\log\)。

考慮這里的連通塊個(gè)數(shù)等于啥，顯然等于「點(diǎn)數(shù) - 邊數(shù)」，然后點(diǎn)的個(gè)數(shù)是簡(jiǎn)單的（恒定 \(r - l + 1\)），因?yàn)榉秶鷥?nèi)的點(diǎn)肯定會(huì)被算入到貢獻(xiàn)之中。

但是邊不一定，因?yàn)橛锌赡芩B接了超出 \([l, r]\) 范圍的點(diǎn)，這樣的邊是不能被計(jì)算進(jìn)去的，所以現(xiàn)在我們要做的處理「邊數(shù)」這一部分的貢獻(xiàn)。不妨先冷靜下來(lái)，考慮影響一個(gè)邊是否是有效邊的因素有哪些，不難想到是「邊的兩個(gè)端點(diǎn)是否屬于 \([l,r]\)」和「邊的編號(hào)是否屬于 \([l,r]\)」，然后發(fā)現(xiàn)只要兩個(gè)不滿足其一，這個(gè)邊就沒(méi)有貢獻(xiàn)了。

這不失為一個(gè)非常優(yōu)秀的性質(zhì)，它允許我們將限制條件轉(zhuǎn)化為讓 \(l \le \min(u,v,label)\) 且 \(\max(u,v,label) \le r\)，其中假設(shè)邊 \((u,v)\) 的編號(hào)為 \(label\)。

現(xiàn)在考慮建系，設(shè)橫軸為 \(\min\) 維，縱軸為 \(\max\) 維，此時(shí)對(duì)邊的詢(xún)問(wèn)就變成了在一個(gè) 2-side 矩形里面數(shù)點(diǎn)。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n \log n)\)。

BZOJ 4212 神牛的養(yǎng)成計(jì)劃

一個(gè)經(jīng)典的 trick 是對(duì)字符串建立 Trie 樹(shù)，然后轉(zhuǎn)化到 DFS 序上的點(diǎn)。

此時(shí)我們不難想到對(duì)模式串正著建個(gè) Trie，記為 \(T_0\)，反著建個(gè) Trie，記為 \(T_1\)，然后查詢(xún)的時(shí)候?qū)τ诖?\(a\) 的限制就是在 \(T_0\) 上跑，對(duì)于串 \(b\) 的限制就是在先翻轉(zhuǎn)，然后在 \(T_1\) 上跑，然后查詢(xún)滿足在 \(T_0\) 中 DFS 序范圍為 \([d_a,d_a+siz_a]\)，在 \(T_1\) 中 DFS 序范圍為 \([d_b,d_b+siz_b]\) 的有效交的大小。

這個(gè)時(shí)候我們開(kāi)始建系，考慮設(shè)橫軸為 \(T_0\) 的 DFS 序列，縱軸為 \(T_1\) 上的 DFS 序列，則每個(gè)字符串的每個(gè)字符都對(duì)應(yīng)了平面上的一個(gè)點(diǎn)，然后查詢(xún)就是在 4-side 的矩形內(nèi)數(shù)點(diǎn)。

由于是強(qiáng)制在線，所以把掃描過(guò)程扔到主席樹(shù)上，此時(shí)依然是單 \(\log\) 的。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O(L_2 + m\log L_1)\)。

UOJ 637. 【美團(tuán)杯2021】A. 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

Trick Point：

這種查有多少元素的題一般都考慮利用不同值對(duì)答案貢獻(xiàn)獨(dú)立的性質(zhì)。

先考慮對(duì)每個(gè)元素計(jì)算一下其對(duì)哪些詢(xún)問(wèn)有貢獻(xiàn)，然后使用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)批處理貢獻(xiàn)。

考慮每個(gè)元素對(duì)答案的貢獻(xiàn)，有一種常見(jiàn)方法是考慮對(duì)于什么詢(xún)問(wèn)這個(gè)元素對(duì)答案沒(méi)有貢獻(xiàn)。

如果一個(gè)出現(xiàn)了 \(k\) 次的數(shù)所影響的范圍可以用 \(O(k)\) 個(gè)矩形表示出來(lái)，我們也就解決了這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)?\(\sum k = n\)。

由于一個(gè)數(shù) \(x\) 出現(xiàn)多次和出現(xiàn)一次的情況是完全一樣的，所以不妨考慮一下什么時(shí)候這個(gè)數(shù)它消失了。簡(jiǎn)單而快速的，我們知道只有兩個(gè)條件：

1. 數(shù) \(x\) 全都被 \(+1\) 了。
2. 數(shù) \(x-1\) 全沒(méi)被 \(+1\)。

現(xiàn)在需要將這些限制條件轉(zhuǎn)變成平面上的限制條件，考慮建系，設(shè)橫軸為序列維（對(duì)應(yīng)詢(xún)問(wèn) \(l\)），橫軸也為序列維（對(duì)應(yīng)詢(xún)問(wèn) \(r\)）：

1. 數(shù) \(x\) 全部被 \(+1\) 了。

   簡(jiǎn)單的，維護(hù)一下數(shù) \(x\) 第一次出現(xiàn)的位置 \(L\) 和最后一次出現(xiàn)的位置 \(R\)，那么顯然當(dāng)詢(xún)問(wèn) \([l,r]\) 存在 \(l \le L\) 且 \(r \ge R\) 的時(shí)候?qū)^(qū)間沒(méi)有貢獻(xiàn)。

2. 數(shù) \(x-1\) 全沒(méi)有被 \(+1\)。

   考慮數(shù) \(x-1\) 相鄰兩次出現(xiàn)的位置 \(i,j\)，則顯然的是 \([i+1,j-1]\) 這一段內(nèi)是不存在 \(x-1\) 的。

   對(duì)應(yīng)到二維平面上，就是矩形 \([i+1,j-1] \times [i+1,j-1]\)。

   換句話說(shuō)，所有 \(x-1\) 不出現(xiàn)的位置構(gòu)成了 \(O(cnt_x + 1)\) 個(gè)矩形。

然后不難發(fā)現(xiàn)，限制 \(1\) 的本質(zhì)上就是將限制 \(2\) 算出的矩形切掉了一部分，所以不影響漸進(jìn)意義上的矩形個(gè)數(shù)。

考慮此時(shí)的詢(xún)問(wèn)就變成了平面上的若干點(diǎn)，這時(shí)候我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上面的「基礎(chǔ)問(wèn)題」，做刪貢獻(xiàn)掃描線即可。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+m)\log n)\)。

百度之星 2021 初賽第三場(chǎng) 1008

給定一個(gè)長(zhǎng)度為 \(n\) 的序列 \(A\)，下標(biāo)從 \(1\) 到 \(n\)，有 \(m\) 次查詢(xún)操作，每次給出一個(gè)區(qū)間 \([l,r]\)，求一個(gè)子區(qū)間 \([l',r']\)，滿足 \(l \le l' \le r' \le r\)，使得 \([l',r']\) 中的顏色數(shù)比 \([l,r]\) 中出現(xiàn)的顏色數(shù)少，且其長(zhǎng)度 \(r'-l'+1\) 最大。如果 \(l' > r'\)，我們認(rèn)為沒(méi)有值在 \([l',r']\) 中出現(xiàn)過(guò)。

\(1\le n,m,a_i\le2\times 10^6\)，時(shí)限 \(8s\)。

首先感謝高效率原題自動(dòng)機(jī) do_while_true 為我找到了原題鏈接。

考慮答案會(huì)是什么樣子，不難想到要么是一個(gè)前綴，要么是一個(gè)后綴，要么是一個(gè)中間一部分的子區(qū)間。

前綴咋做呢，顯然的，只要找到了最靠右出現(xiàn)第一次出現(xiàn)的那個(gè)數(shù)的位置，在這個(gè)位置之前的都是合法的答案，后綴同理。這兩個(gè)「掃描線 + 樹(shù)狀數(shù)組 + 倍增」都是輕松做的，在這里不多贅述。

至于「中間一部分的子區(qū)間」這一類(lèi)情況，套用 UOJ 637 那道題的 trick，考慮「以 \(r\) 為橫坐標(biāo)，\(l\) 為縱坐標(biāo)」建系，設(shè) \(a\) 為顏色 \(c\) 出現(xiàn)的位置之一，\(b\) 為其后繼，則任何一個(gè)嚴(yán)格包含 \([a+1,b-1]\) 的區(qū)間都可以去除區(qū)間 \([a+1,b-1]\) 以外的部分來(lái)獲得 \(b - a - 1\) 的貢獻(xiàn)，然后可以這樣做的 \(L,R\) 只有 \(L \in [1,a], R \in [b + 1, n]\)，對(duì)應(yīng)到平面上就是一個(gè) 2-side 矩形，掃描線上維護(hù)「后綴 \(\max(x, a_i)\)，單點(diǎn)查」即可，發(fā)現(xiàn)這個(gè)玩意可能要 Segbeats，進(jìn)一步觀察性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)每一次修改的后綴都不一樣，然后維護(hù)的信息可以對(duì)偶成「單點(diǎn)修改，前綴 \(\max\)」，所以用樹(shù)狀數(shù)組維護(hù)即可。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+m)\log n)\)。

UVA1608 Non-boring sequences

唯一的難點(diǎn)在于建系。

假設(shè)一個(gè)數(shù)的前驅(qū)、后繼的位置為 \(i,j\)，考慮這個(gè)數(shù)能支配的最長(zhǎng)區(qū)間是多大，則不難發(fā)現(xiàn)是 \([i+1,j-1]\)，不然的話就會(huì)出現(xiàn)相同的兩個(gè)數(shù)。

然后你發(fā)現(xiàn)如果這樣直接在序列上統(tǒng)計(jì)的話似乎不直觀，而且好像還算重了很多部分，所以不妨把它放到二維平面上。具體的講，就是以橫軸為序列維，縱軸也為序列維建系，然后此時(shí)一個(gè)點(diǎn)所支配的就是一個(gè)矩形 \([i+1,j-1] \times [i+1,j-1]\)，則此時(shí)考慮做「矩形面積并」，然后判斷算得的面積是否與整個(gè)平面的面積 \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) 相等即可。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n\log n)\)，注意別忘了這個(gè)題還是多測(cè)。

經(jīng)典問(wèn)題

有一個(gè)長(zhǎng)度為 \(n\) 的序列，有 \(m\) 次詢(xún)問(wèn)，每次詢(xún)問(wèn)一個(gè)區(qū)間，問(wèn)區(qū)間上出現(xiàn)奇數(shù)次數(shù)的數(shù)的異或和為多少。

要求線性。

根據(jù)異或的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)數(shù)異或偶數(shù)次自己，貢獻(xiàn)為 \(0\)。

所以原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成區(qū)間異或和，考慮做異或前綴和即可。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n+m)\)。

不那么經(jīng)典的問(wèn)題

有一個(gè)長(zhǎng)度為 \(n\) 的序列，有 \(m\) 次詢(xún)問(wèn)，每次詢(xún)問(wèn)一個(gè)區(qū)間，問(wèn)區(qū)間上出現(xiàn)偶數(shù)次數(shù)的數(shù)的異或和為多少。

要求單 \(\log\)。

根據(jù)「經(jīng)典問(wèn)題」，我們知道了出現(xiàn)奇數(shù)次怎么做，但是感覺(jué)偶數(shù)次似乎很難做的樣子。

考慮正難則反，由于異或的性質(zhì)「自己為自己的逆運(yùn)算」，所以只要能夠統(tǒng)計(jì)出「區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的數(shù)的異或和」，然后再異或上「區(qū)間異或和」，我們就得到了出現(xiàn)偶數(shù)次數(shù)的數(shù)的異或和。

那對(duì)于這種區(qū)間顏色單貢獻(xiàn)有關(guān)的部分，容易想到「HH 的項(xiàng)鏈」，顯然這個(gè)題可以類(lèi)比「HH 的項(xiàng)鏈」，當(dāng)我們掃描到一個(gè)數(shù)的時(shí)候，讓這個(gè)數(shù)的前驅(qū)的貢獻(xiàn)變?yōu)?\(0\)，然后做查詢(xún)即可。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+m) \log n)\)。

CF1083D The Fair Nut's getting crazy

假設(shè) \(a \le c \le b \le d\)，不難發(fā)現(xiàn)此時(shí)的 \(a\) 為 \(\le c\) 里面的一段后綴，\(d\) 為 \(\ge b\) 里面的一段前綴。

考慮維護(hù)序列 \(A\) 每個(gè)位置值的前驅(qū)和后繼，記為 \(pre_i\) 和 \(suf_i\)，此時(shí)進(jìn)一步縮放 \(a\) 和 \(d\) 的范圍，則 \(a\) 的可能取值被限制在了 \((\max_{i=c}^b pre_i,c]\)，\(d\) 被限制在了 \([b,\min_{i = c}^b suf_i)\)，現(xiàn)在我們滿足了題目的所有要求，此時(shí)答案為 \((c - \max_{i=c}^b pre_i) \times (\min_{i=c}^b suf_i - b)\)，將式子拆開(kāi)，得到 \(c\min - cb - \min\max + b\max\)。

建系，設(shè)橫軸為 \(b\) 的可能取值，縱軸為 \(c\) 的可能取值，掃描線在橫軸上從左向右跑，跑的同時(shí)維護(hù)兩個(gè)維護(hù)了 \(pre\) 和 \(suf\) 的后綴最大值的單調(diào)棧，掃描線向右擴(kuò)展的時(shí)候向兩個(gè)單調(diào)棧分別加入的 \(pre_{b'}\) 和 \(suf_{b'}\)， 考慮此時(shí)會(huì)彈出若干元素，這個(gè)時(shí)候計(jì)算這些元素的貢獻(xiàn)即可，具體地說(shuō)，就是線段樹(shù)上區(qū)間更新 \(\min\) 部分和 \(\max\) 部分，簡(jiǎn)單的，考慮打兩個(gè)標(biāo)記 \(mntag\) 和 \(mxtag\) 即可，然后每一次做一次全局查詢(xún)加到 \(ans\) 里面即可。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n \log n)\)。

CF793F Julia the snail

考慮離線，設(shè)橫軸為詢(xún)問(wèn)右端點(diǎn)，線上維護(hù)詢(xún)問(wèn)左端點(diǎn)，設(shè) \(f_i\) 表示從 \(i\) 開(kāi)始能走到的最高的距離，線上維護(hù)數(shù)列 \(f\)，然后不難發(fā)現(xiàn)遇到一個(gè)新的繩子時(shí)所有 \(f_i\ge l\) 的地方全部都能變?yōu)楫?dāng)前的 \(r\)，然后詢(xún)問(wèn)變成單點(diǎn)詢(xún)問(wèn)即可，考慮這個(gè)東西做「Segment tree beats」即可。

由于沒(méi)有區(qū)間加，所以時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n + q) \log n)\)。

CF407E k-d-sequence

首先特判 \(d = 0\)，做法簡(jiǎn)單，找到最長(zhǎng)的連續(xù)段即可。

現(xiàn)在考慮 \(d \not= 0\)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)列想要滿足題目條件必須滿足以下條件：

1. 區(qū)間內(nèi)所有數(shù)模 \(d\) 均為一個(gè)數(shù)。
2. 不出現(xiàn)重復(fù)的數(shù)字。
3. \(\dfrac{\max - \min}ozvdkddzhkzd \le r - l + k\)。

可以將序列分成若干個(gè)「模 \(d\) 連續(xù)段」，這樣的話第一個(gè)限制就消失了。

現(xiàn)在需要對(duì)每個(gè)連續(xù)段考慮限制 \(2,3\) 怎么做。

考慮掃描線掃描序列右端點(diǎn)，線上維護(hù)序列左端點(diǎn)，即在線上維護(hù) \(\dfrac{\max - \min}ozvdkddzhkzd - r + l - k\)，考慮 \(k\) 可以當(dāng)做常數(shù)，\(l,r\) 可以被轉(zhuǎn)化為區(qū)間加，難點(diǎn)在于前面，簡(jiǎn)單的，用一個(gè)單調(diào)棧維護(hù)一下 \(\max\) 和 \(\min\) 即可，在彈出的時(shí)候做區(qū)間加就好了，查詢(xún)二分一下即可。

考慮限制 \(2\)，假設(shè)當(dāng)前右端點(diǎn)位置為 \(r\)，上面的數(shù)位 \(a_r\)，那么和 \(a_r\) 相同的位置必定是左端點(diǎn)不能跨越的，這樣使得這個(gè)東西變成了一個(gè)「首端刪除、末端加入」的操作。

綜上，我們需要在線上維護(hù)「區(qū)間加、首端刪除、末端加入，區(qū)間上二分」這些操作，簡(jiǎn)單的，用線段樹(shù)搞一下就好了。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n \log n)\)。

CF453E Little Pony and Lord Tirek

考慮每一次詢(xún)問(wèn)都會(huì)導(dǎo)致一部分直接推平，然后推平后就成了簡(jiǎn)單的分段函數(shù)型（一次函數(shù)與常值函數(shù)）了，我們?cè)O(shè)時(shí)間為每個(gè)位置的顏色，則此時(shí)每一次區(qū)間查詢(xún)就被我們轉(zhuǎn)換到區(qū)間染色，這樣貢獻(xiàn)被拆成了若干染色段的同時(shí)也方便我們維護(hù)時(shí)間差。

考慮 \(m,r\) 的范圍比較小，仔細(xì)算算我們最多最多只需要維護(hù) \(1e5\) 長(zhǎng)度的時(shí)間，這樣就好辦了，考慮掃描線掃描序列維，然后分段函數(shù)就被我們變成了在時(shí)間維上的等差數(shù)列加（當(dāng)函數(shù)值 \(\le m\) 時(shí)）和區(qū)間染色（當(dāng)函數(shù)值 \(\ge m\) 時(shí)），然后查詢(xún)是一個(gè)單點(diǎn)的查詢(xún)，所以不難想到進(jìn)行一個(gè)差分，然后將「等差數(shù)列加」和「區(qū)間染色」轉(zhuǎn)變成「區(qū)間加」和「單點(diǎn)加」，然后將單點(diǎn)查變?yōu)椤竷纱吻熬Y和的差」。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+q)\log n)\)。

P5490 【模板】掃描線（矩形面積并）

（好好好，現(xiàn)在才做模板題是吧）

由于出題人直接把坐標(biāo)系懟在我們臉上了，只需要考慮掃描線的部分就好了。

把矩形拆成入邊和出邊，然后在 \(x\) 軸上跑掃描線，此時(shí)在線上維護(hù)「區(qū)間 \(\pm1\)，全局 \(>0\) 位置數(shù)」，考慮使用線段樹(shù)來(lái)維護(hù)。

這里的線段樹(shù)略微有一點(diǎn)點(diǎn)技巧，我們可以維護(hù)區(qū)間 \(\min\) 值和區(qū)間 \(\min\) 值出現(xiàn)次數(shù)，如果區(qū)間 \(\min\) 值為 \(0\) 的話，此時(shí)出現(xiàn)次數(shù)就是 \(0\) 的出現(xiàn)次數(shù)，那么正數(shù)位置數(shù)就是拿總長(zhǎng)度減去即可，如果區(qū)間 \(\min\) 值不為 \(0\)，那就更好辦了，說(shuō)明整個(gè)區(qū)間都是正數(shù)，直接返回總長(zhǎng)度。

未知渠道獲取的題

有 \(n\) 個(gè)矩形和 \(q\) 次詢(xún)問(wèn)。

每次詢(xún)問(wèn)給你一個(gè)矩形，問(wèn)這個(gè)矩形與 \(n\) 個(gè)矩形之并的交的面積。

原版要求強(qiáng)制在線，不過(guò)個(gè)人認(rèn)為沒(méi)有必要，離線就好。

要求單 \(\log\)。

承上啟下的好題了，給下面打個(gè)基礎(chǔ) qwq。

在 P5490 中，我們知道了怎么做矩形并，首先將矩形差分，然后線上維護(hù)「區(qū)間 \(\pm 1\)，全局 \(0\) 的個(gè)數(shù)」。

然后這個(gè)題特別有意思，先形式化一下題意，此時(shí)查詢(xún)操作為「查詢(xún)?cè)儐?wèn)矩形內(nèi) \(\gt 0\) 的位置的個(gè)數(shù)」，考慮直接做不好辦，正難則反，數(shù)出「詢(xún)問(wèn)矩形內(nèi) \(0\) 的位置的個(gè)數(shù)」，然后拿詢(xún)問(wèn)矩形的面積一減就好了。

依舊考慮掃描線，由于查詢(xún)信息可差分，直接差分成 3-side 矩形，然后問(wèn)題變成了維護(hù)區(qū)間 \(0\) 的個(gè)數(shù)的歷史和，線段樹(shù)簡(jiǎn)單做就好。

那怎么強(qiáng)制在線呢，依舊是簡(jiǎn)單的，將掃描過(guò)程丟到主席樹(shù)上，此時(shí)可能需要一個(gè)標(biāo)記永久化，由于原題還需要離散化，所以需要還有一個(gè)垃圾分討……反正很惡心就對(duì)了/tuu。

注意，這個(gè)問(wèn)題還有一個(gè)對(duì)偶版本（應(yīng)該可以這么叫吧）是這樣的：

有 \(n\) 個(gè)矩形和 \(q\) 次詢(xún)問(wèn)。

每次詢(xún)問(wèn)給你一個(gè)矩形，問(wèn)這個(gè)矩形與 \(n\) 個(gè)矩形的并的面積。

兩者本質(zhì)上等價(jià)，只不過(guò)一個(gè)是需要拿詢(xún)問(wèn)矩形的面積減一下，一個(gè)直接就是答案，如果哪場(chǎng)模擬賽出了這個(gè)問(wèn)題，可以直接爆錘出題人 /cf

可供練習(xí)的題：

1. P5070 [Ynoi2015] 即便看不到未來(lái)
2. CF799F Beautiful fountains rows

區(qū)間子區(qū)間問(wèn)題

給你一個(gè)序列，每次詢(xún)問(wèn)區(qū)間有多少個(gè)子區(qū)間滿足某個(gè)條件。

遇到這類(lèi)問(wèn)題，通常以?xún)奢S都為序列維建系（橫軸為 \(l\)，縱軸為 \(r\)），把區(qū)間轉(zhuǎn)化為二維平面上的點(diǎn) \((l,r)\)，把詢(xún)問(wèn)區(qū)間轉(zhuǎn)化為矩形。

不過(guò)由于區(qū)間有個(gè)性質(zhì)是 \(l\le r\)，在平面上反饋過(guò)來(lái)的就是只有一個(gè)半平面才有貢獻(xiàn)，所以我們所說(shuō)的「矩形」具體的講應(yīng)該是一個(gè)「三角形」的樣子，不過(guò)我們還是可以把它看成 2-side 矩形。

問(wèn)題就被轉(zhuǎn)化為查詢(xún) \(y\) 軸上的一個(gè)區(qū)間從 \(x = 1\) 到 \(x = now\) 這段時(shí)間中，總共有多少位置滿足條件，使用一個(gè)能夠維護(hù)歷史信息的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)維護(hù)即可。

如果剛開(kāi)始不能理解的話（像我一樣），可以嘗試這樣理解：

我們對(duì) \(y\) 軸上的每個(gè)位置 \(i\) 維護(hù)當(dāng)前是否合法的值 \(a_i\)。

然后再給每個(gè)位置 \(i\) 引入一個(gè)計(jì)數(shù)器 \(cnt_i\)。

每次掃描線向右側(cè)移動(dòng)的時(shí)候，就是在進(jìn)行全局 \(cnt_i \gets cnt_i +a_i\) 的操作。

P3246 [HNOI2016] 序列

一個(gè)比較經(jīng)典的問(wèn)題，如果看懂上面內(nèi)容的話就可以一眼秒了。

首先將區(qū)間轉(zhuǎn)化為平面上的點(diǎn)，即建系，橫坐標(biāo)為 \(l\)，縱坐標(biāo)為 \(r\)，然后考慮每一個(gè)最小值支配的區(qū)域，假設(shè)當(dāng)前序列的最小值 \(a_{\min}\) 的位置為 \(x\)，則能夠發(fā)現(xiàn)任何包含了 \(x\) 位置的區(qū)間其貢獻(xiàn)都是這個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)到平面上就是一個(gè)\(l \le x\) 且 \(r \ge x\) 的 2-side 矩形。

如果你笨一點(diǎn)的話，可以使用分治將所有矩形預(yù)處理出來(lái)，如果你不想被別人說(shuō)笨蛋的話，也可以使用單調(diào)棧維護(hù)。

不難發(fā)現(xiàn)查詢(xún)是一個(gè) 4-side 矩形，考慮差分，將其變成 3-side 矩形，發(fā)現(xiàn)線上需要維護(hù)一個(gè)「區(qū)間覆蓋，區(qū)間查詢(xún)歷史版本和」這樣的操作，線段樹(shù)維護(hù)即可。

當(dāng)然這個(gè)問(wèn)題存在更牛逼的「 強(qiáng)制在線 + \(O(1)\) 查詢(xún)」，且也是一個(gè)挺好的 trick，不出意外的話以后會(huì)聊到。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n + q)\log n)\)。

CF997E Good Subsegments

（被析合樹(shù)橄欖了）

轉(zhuǎn)化一下題意先：

給定一個(gè)長(zhǎng)度為 \(n\) 的排列 \(P\)，每次查詢(xún)區(qū)間 \([l,r]\) 中有多少子區(qū)間 \([l',r']\) 滿足 \(\max_{i=l'}^{r'}p_i-\min_{i=l'}^{r'}p_i = r' - l'\)。

考慮套用上面寫(xiě)的套路，將每個(gè)區(qū)間表示為二維平面上的點(diǎn) \((l',r')\)。

首先初始化 \((l',r')\) 的權(quán)值為 \(r' - l'\)，顯然，對(duì) \(l \in [1,n]\) 做矩形減，對(duì) \(r\in [1,n]\) 做矩形加。

呆一點(diǎn)的，在序列上進(jìn)行最值分治（你用單調(diào)棧也行），具體地說(shuō)，每次分治的序列中的最大/最小值都是分支中心，然后 \(\max\) 進(jìn)行矩形加，\(\min\) 進(jìn)行矩形減。

此時(shí)，問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為給定一個(gè)平面，進(jìn)行 \(O(n)\) 次矩形加減，問(wèn)一個(gè)矩形內(nèi)部有多少 \(0\)。根據(jù)前面的推論，顯然詢(xún)問(wèn)矩形是一個(gè) 2-side 矩形。然后使用掃描線和線段樹(shù)沿著橫/縱軸掃描整個(gè)平面，并把前面的矩形加減拆成線上序列加減（這個(gè)算平凡的）。

由于矩形內(nèi)元素一定非負(fù)，所以套用「矩形面積并」時(shí)的線段樹(shù)維護(hù)套路，即可計(jì)算 \(0\) 的個(gè)數(shù)。

問(wèn)題來(lái)了，我們?cè)趻呙杈€后的 2-side 矩形詢(xún)問(wèn)，需要查詢(xún)一個(gè)區(qū)間在前綴時(shí)間中 \(0\) 的個(gè)數(shù)，這個(gè)線段樹(shù)打個(gè)歷史標(biāo)記也可以做，不過(guò)需要細(xì)細(xì)的討論一下，注意細(xì)節(jié)。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+m)\log n)\)。

EC final 2020 G. Prof. Pang's sequence

問(wèn)題轉(zhuǎn)化：

區(qū)間有多少子區(qū)間顏色數(shù)為奇數(shù) \(\iff\) 區(qū)間每個(gè)子區(qū)間顏色數(shù)\(\bmod 2\) 的和。

依舊是考慮將區(qū)間轉(zhuǎn)化為平面上的點(diǎn)，建系，讓橫軸為序列維（對(duì)應(yīng)詢(xún)問(wèn) \(r\)），縱軸也為序列維（對(duì)應(yīng)詢(xún)問(wèn) \(l\)），掃描線在橫軸上跑。

考慮掃描的過(guò)程中遇到一個(gè)值 \(a_r\)，考慮找到 \(a_r\) 的前驅(qū) \(a_p\)，則對(duì)于左端點(diǎn)在 \([p+1, r]\) 的所有區(qū)間來(lái)說(shuō)，\(a_r\) 是一種新的顏色，否則不應(yīng)發(fā)生變化。

現(xiàn)在問(wèn)題就簡(jiǎn)單了，由于我們線上的每個(gè)位置只會(huì)是 \(0/1\) 的取值，所以我們?cè)趻呙杈€上維護(hù)一個(gè)「區(qū)間取反，區(qū)間和」這樣的一個(gè)東西，查詢(xún)就變成每依次區(qū)間查詢(xún)，然后貢獻(xiàn)給對(duì)應(yīng)的查詢(xún)矩形。

不過(guò)這樣查詢(xún)顯然是要死掉的，所以差分一下，就變成了查詢(xún)區(qū)間歷史和，仿照上一個(gè)題用線段樹(shù)簡(jiǎn)單維護(hù)即可。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+q)\log n)\)。

P8421 [THUPC2022 決賽] rsraogps / P9335 [Ynoi2001] 雪に咲く花

全新的視角。

離線做掃描線，將詢(xún)問(wèn)變成矩形，由于詢(xún)問(wèn)信息可差分，直接在每個(gè)位置 \(i\) 上維護(hù)詢(xún)問(wèn)信息的前綴和 \(s_i\)，詢(xún)問(wèn)答案減一下就好了。

現(xiàn)在考慮怎么維護(hù)這個(gè)前綴和，考慮掃描線向右移動(dòng) \(1\)，如果這個(gè)時(shí)候 \(A_i,B_i,C_i\) 均未發(fā)生變化，那么 \(s_i\) 的變化量肯定與上次移動(dòng)保持一致，于是不難想到將 \(s_i\) 變成一個(gè)一次函數(shù)的形式 \(k_ix+b_i\)，現(xiàn)在要修改的就只剩下 \(A_i,B_i,C_i\) 發(fā)生變化的部分，不難發(fā)現(xiàn) \(A_i,B_i,C_i\) 只會(huì)發(fā)生 \(O(\log V)\) 次變化，總共發(fā)生 \(O(n\log V)\) 次變化，所以直接暴力修改就好。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O(n \log V + m)\)。

可供練習(xí)的題：

1. P8868 [NOIP2022] 比賽
2. P9747 [KDOI-06-S] 簽到題

對(duì)一維分治

有些時(shí)候，我們所維護(hù)的信息不能差分，這個(gè)時(shí)候就需要祭出我們的分治。

考慮對(duì)一維度分治后，此時(shí)將一個(gè) 4-side 矩形變成兩個(gè) 3-side 矩形（考慮從中間劈開(kāi)，然后變成兩個(gè)開(kāi)口相對(duì)的 3-side 矩形），跑兩邊掃描線，就可以做到只有插入沒(méi)有刪除了。

由于分治每一次處理所有跨過(guò)分支中心的矩形，然后在向下繼續(xù)分治，所以復(fù)雜度會(huì)多一個(gè) \(\log\)，復(fù)雜度證明請(qǐng)類(lèi)比歸并排序。

P1609 [Ynoi2009] rprmq1

由于這個(gè)題實(shí)在是太毒瘤了，這里就不放題解了，大家自己做做就好 /dk

二維掃描線

我們發(fā)現(xiàn)，一維掃描線是對(duì)某個(gè)維度排序，每次查詢(xún) \([1,l]\) 的信息，然后沿著從 \(1\) 到 \(n\) 的路徑掃描全部的詢(xún)問(wèn)。

那啥是二維掃描線呢？套用一維掃描線的行為，我們嘗試得到二維掃描線的行為：

每次詢(xún)問(wèn) \([l,r]\) 的信息，以一種方式排序，使得經(jīng)過(guò)所有詢(xún)問(wèn)，并且復(fù)雜度可接受。

實(shí)際上就是莫隊(duì)，這個(gè)可以看看 Alex_Wei 的莫隊(duì)學(xué)習(xí)筆記，這里不多贅述。

*度

考慮一維掃描線 \(+\) 一維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以處理二維靜態(tài)問(wèn)題。

然而實(shí)際上普通的維護(hù)序列問(wèn)題實(shí)際上也屬于兩個(gè)維度。

因?yàn)槭前凑战o定的操作序列操作的，這里不乏出現(xiàn)時(shí)間的維度。

所以每一次操作都可以看做是一個(gè) 3-side 矩形，然后時(shí)間一維，序列一維，在時(shí)間維上做掃描線，就將二維靜態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了一維動(dòng)態(tài)問(wèn)題。

于是這啟發(fā)我們：

掃描線序列維，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)時(shí)間維

由于序列上的動(dòng)態(tài)操作可以看做成是序列一維，時(shí)間一維。

所以在有些情況下我們直接沿著時(shí)間維度跑不好處理，這個(gè)時(shí)候我們就可以考慮在序列維度上做掃描線，然后線上維護(hù)時(shí)間維。

這種問(wèn)題一般都是在線上查詢(xún)一個(gè)單點(diǎn)的信息，當(dāng)然，形勢(shì)好的話查詢(xún)區(qū)間信息也是可以的。

Comet OJ - Contest #14 D / P8512 [Ynoi Easy Round 2021] TEST_152

直觀的看這個(gè)題似乎特別不好處理。

不妨從貢獻(xiàn)的角度看這個(gè)題，把「經(jīng)過(guò)操作序列上 \([x,y]\) 的操作后形成的最終序列上每個(gè)位置的和」給拆成「每個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)最終序列的貢獻(xiàn)的和」。

這會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)性質(zhì)：

1. 某個(gè)時(shí)間產(chǎn)生的貢獻(xiàn)會(huì)隨著時(shí)間的流逝逐漸消失，換句話說(shuō)，時(shí)間點(diǎn) \(i\) 產(chǎn)生的貢獻(xiàn)是不增的。
2. 時(shí)間點(diǎn) \(i\) 的貢獻(xiàn)是無(wú)后效性的，他不會(huì)受到前面的時(shí)間的影響，他只會(huì)被后面的時(shí)間所影響，這樣就意味著執(zhí)行了 \([1,y]\) 操作和執(zhí)行了 \([x,y]\) 操作后，時(shí)間點(diǎn) \(x\) 的貢獻(xiàn)一致。

現(xiàn)在容易想到建系，橫軸為操作序列維，縱軸為時(shí)間維，然后輔助維護(hù)一個(gè)執(zhí)行完 \([1,y]\) 操作的 \(c\) 數(shù)組。

考慮掃描線在橫軸上跑，線上維護(hù)每個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)當(dāng)前 \(c\) 數(shù)組的貢獻(xiàn)，然后查詢(xún)就是線上的一個(gè)區(qū)間和。

現(xiàn)在考慮掃描線右移會(huì)發(fā)生什么，假使遇到了操作 \((l',r',v')\)，則此時(shí)對(duì) \(c\) 數(shù)組進(jìn)行操作就是 \(c_i\gets v'\quad(i\in [l',r'])\)，在增量的視角中就是 \(c_i\) 增加了 \(v'-c_i\)，然后在線上減少那部分時(shí)間點(diǎn)的貢獻(xiàn)，最后增加當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)的貢獻(xiàn)。顯然，線上一個(gè)樹(shù)狀數(shù)組就夠了。

由于在我們給 \(c\) 數(shù)組賦值的時(shí)候是一個(gè)顏色段均攤，所以時(shí)間復(fù)雜度還是 \(O((n+m)\log n)\)。

P5524 [Ynoi2012] NOIP2015 充滿了希望

感覺(jué)正著掃做操作 \(1\)、\(2\) 可能是個(gè)天坑，于是考慮倒著做掃描線，也就是固定左端點(diǎn)，*右端點(diǎn)。

考慮一個(gè)操作 \(3\) 在前面被一個(gè)操作 \(2\) 覆蓋了，則左邊面的所有操作對(duì)當(dāng)前操作來(lái)說(shuō)都無(wú)效了，也就是每個(gè)操作 \(3\) 只會(huì)被覆蓋一次。

再考慮操作 \(1\) 對(duì)操作 \(3\) 的影響，發(fā)現(xiàn)如果操作 \(3\) 已經(jīng)被操作 \(2\) 覆蓋了，則此時(shí)的操作 \(1\) 是無(wú)用的；如果沒(méi)被覆蓋，則說(shuō)明在未來(lái)我們的 \(x,y\) 的意義是反著的，此時(shí)若有操作 \(2\) 覆蓋了 \(y\) 等于在操作 \(1\) 后面覆蓋了 \(x\)，這一個(gè)性質(zhì)啟發(fā)了我們遇到操作 \(1\) 時(shí)應(yīng)該直接交換，這樣才不影響正確性。

然后站在操作 \(2\) 的角度上觀察，發(fā)現(xiàn)有可能一次操作 \(2\) 會(huì)在同一個(gè)位置覆蓋掉多個(gè)操作 \(3\)，這啟發(fā)我們用 vector 維護(hù)每個(gè)位置的操作 \(3\)。

更加深入的，發(fā)現(xiàn)交換操作等價(jià)于「兩次單點(diǎn)染色」，發(fā)現(xiàn)待覆蓋的區(qū)域和一次覆蓋的區(qū)域可以顏色端均攤，用 ODT 維護(hù)這個(gè)顏色端均攤就好。

綜上，不難得出掃描線左移是我們需要干什么：

1. 遇到操作 \(1\) 時(shí)：直接交換兩個(gè)位置的 vector，ODT 上交換兩個(gè)位置的顏色。
2. 遇到操作 \(2\) 時(shí)：ODT 上區(qū)間染色 \(1\)，然后對(duì)每一個(gè)顏色為 \(0\) 的位置依次處理完詢(xún)問(wèn)，并清空 vector。
3. 遇到操作 \(3\) 時(shí)：ODT 單點(diǎn)染色 \(0\)，然后將當(dāng)前操作編號(hào)壓入對(duì)應(yīng)位置的 vector 中。

每次查詢(xún)的時(shí)候就是一個(gè)區(qū)間和，直接樹(shù)狀數(shù)組維護(hù)就好，時(shí)間復(fù)雜度 \(O((m+q)\log n)\)。

P7560 [JOISC 2021 Day1] フードコート

建系，橫軸為序列維，縱軸為時(shí)間維，掃描線在橫軸上跑。

此時(shí)操作序列中的修改變成了橫著的線，詢(xún)問(wèn)變成了豎著的線，橫向差分一下，就變成了「單點(diǎn)修改、區(qū)間查詢(xún)」。

思考如何做查詢(xún)（也就是做操作 \(3\)），假設(shè)我們是在 \(i\) 時(shí)刻做的操作 \(3\)，那么只需要找到 \(i\) 之前最近一次隊(duì)列空的時(shí)候 \(t\)，在時(shí)間 \([t, i]\) 之間的每一次 pop 必然都是有效的，否則的話中間必然還要再空一次，不滿足「最近」這一個(gè)條件，這樣查詢(xún)操作就變成了在這一個(gè)區(qū)間里面二分了。

考慮如何刻畫(huà)這個(gè)最近一次隊(duì)列空，設(shè) push \(t\) 個(gè)元素為單點(diǎn) \(+t\)，pop \(t\) 個(gè)元素為單點(diǎn) \(-t\)，此時(shí)距離 \(i\) 時(shí)刻最近一次隊(duì)列空的時(shí)刻就是 \([1,i]\) 中最靠右的最大后綴和的位置，證明如下：

先證明此時(shí)空了：由于我們是最大后綴和，所以這之前必定是空的，否則我們就可以通過(guò)左端點(diǎn)向右擴(kuò)張來(lái)增大我們的后綴和。

在證明此后不空：假設(shè) \(x\) 時(shí)刻是最大后綴和左端點(diǎn)， \(y\) 時(shí)刻隊(duì)列空了，\(x \lt y\)，那么必然出現(xiàn)了 \([x,y]\) 的和 \(\lt 0\)，我們的最大后綴和一定不會(huì)去選擇一個(gè)負(fù)數(shù)的前綴，所以該情況不可能出現(xiàn)。

由于會(huì)出現(xiàn)單點(diǎn) \(-t\) 這種牛魔東西不好二分，所以不如直接維護(hù)后綴和，這時(shí)候單點(diǎn) \(\pm t\) 變成前綴 \(\pm t\)，然后查詢(xún)的時(shí)候注意別忘記消減掉后面時(shí)間帶來(lái)的影響。如果此時(shí)我們查出來(lái)的 \(\lt k\)，那么可以直接跑路了，因?yàn)榇藭r(shí)隊(duì)列必定沒(méi)有 \(k\) 個(gè)元素。

現(xiàn)在我們已經(jīng)找到了最近一次隊(duì)列空的時(shí)間 \(t\)，思考如何在 \([t,i]\) 上二分，首先查出 \([t,i]\) 中的 pop 量，然后給這個(gè) pop 量加上 \(k\)，表示要找第 \(k\) 個(gè)位置，在 \([t,i]\) 上找到第一次 \(\ge\) pop 量的位置，然后讀取這個(gè)位置的屬性，即為答案，時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n + q)\log n)\)。

當(dāng)然，如果你不是很會(huì)怎么單 \(\log\) 在線段樹(shù)的一個(gè)區(qū)間上二分，你可以像我一樣來(lái)一個(gè)笨的方法，就是先區(qū)間查出 \([1, t-1]\) 位置上的 push 和，然后把他丟進(jìn) pop 量里就可以了。

別忘了還原消減操作！！！

P8518 [IOI2021] 分糖果

建系，橫軸為序列維，縱軸為時(shí)間維，套用 P7560 的套路，只要我們找到了最后一次觸碰上界或者下界的時(shí)刻 \(t\)，在 \(t\) 時(shí)刻之后的部分就變成了一個(gè)簡(jiǎn)單的求和，或者找到一個(gè)刻畫(huà) \(t\) 時(shí)刻之后部分貢獻(xiàn)的方法。

那么目前亟待解決的問(wèn)題就是如何描述「最后一次觸碰上/下界」這一個(gè)東西。

設(shè)當(dāng)前正在被操作的原序列 \(A\) 位置為 \(j\)，時(shí)間序列為 \(time\)，定義「制裁」為「當(dāng)前操作結(jié)束后觸碰到上/下界時(shí)，對(duì)\(a_j\) 取 \(\min\) 或 \(\max\) 」的行為，定義「觸碰」為「當(dāng)前操作結(jié)束后，位置 \(a_j \gt c_j\) 或 \(a_j \lt 0\)」。

先忽略上界，考慮什么時(shí)候會(huì)碰到下界，不難發(fā)現(xiàn)在時(shí)間序列的最小前綴和 \([1,x]\) 中的 \(x\) 上，證明如下：

假設(shè) \(h\) 時(shí)刻被制裁，那么如果 \(t\) 時(shí)刻還想被制裁，則必須要保證時(shí)間序列上 \(t\) 位置上的數(shù) \(<\) \(-\max(0, \sum_{i=h+1}^{t-1} time_i)\)，否則一定不會(huì)被制裁。

這就意味著如果你選上了一段和為非負(fù)數(shù)的區(qū)間，那么必然要選其后面的那一個(gè)被制裁的地方，此時(shí)才能保證當(dāng)前前綴和更小，否則一定不會(huì)選那一段區(qū)間。

現(xiàn)在考慮加上上界，不難發(fā)現(xiàn)下面這個(gè)性質(zhì)：

• 若 \(i\) 時(shí)刻觸碰上界，\(j\) 時(shí)刻觸碰下界，則時(shí)間序列上 \([i,j]\) 區(qū)間的和一定 \(\lt -c\)。
• 若 \(i\) 時(shí)刻觸碰下界，\(j\) 時(shí)刻觸碰上界，則時(shí)間序列上 \([i,j]\) 區(qū)間的和一定 \(\gt c\)。

綜上，得「相鄰的上下界觸碰事件」之間區(qū)間的和的絕對(duì)值一定 \(\gt c\)。

現(xiàn)在我們的「最后一次觸碰上/下界」一定在最靠左滿足這一條件的區(qū)間的左端點(diǎn)或者右端點(diǎn)，然而左端點(diǎn)只會(huì)有一種情況（就是有可能在觸碰下界后一段或觸碰上界后一段的區(qū)間和的絕對(duì)值 \(\gt c\)），對(duì)于這種情況我們?nèi)∫幌庐?dāng)前序列的前綴最大/小值就好了。

最后就剩怎么找我們所需要的那個(gè)區(qū)間，簡(jiǎn)單的，考慮線段樹(shù)維護(hù)「前綴最小和、前綴最大和、區(qū)間和」，然后絕對(duì)值最大子段和就是「前綴最大和 \(-\) 前綴最小和」，修改是單點(diǎn)修改，查詢(xún)時(shí)在線段樹(shù)上二分即可。

時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+q)\log q)\)。

UOJ 515. 【UR #19】前進(jìn)四

你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)東西長(zhǎng)得很像我們的樓房重建，那么自然不難想到兩個(gè) \(\log\) 的做法，不過(guò)這里的期望時(shí)間復(fù)雜度為單 \(\log\)。

考慮離線，建系，設(shè)橫軸為序列維，縱軸為時(shí)間維，考慮倒著在序列維上做掃描線，線上維護(hù)時(shí)間。

轉(zhuǎn)換角度觀察這個(gè)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)每一次單點(diǎn)修改都影響了從「本次修改」到「下一次修改」的整個(gè)時(shí)間，故在線上維護(hù)取 \(\min\) 修改，然后發(fā)現(xiàn)查詢(xún)等價(jià)于查詢(xún)截止到這個(gè)時(shí)間，一共發(fā)生了多少次成功的取 \(\min\) 操作，換句話說(shuō)，就是截止到當(dāng)前時(shí)間、當(dāng)前位置的后綴最小值一共變了幾次。

上面這一車(chē)東西考慮做「Segment tree beats」，時(shí)間復(fù)雜度 \(O((n+Q)\log n)\)。

計(jì)算幾何中的掃描線

回歸掃描線的本質(zhì)，實(shí)際上就是拿一條線去掃平面來(lái)獲得所需要的信息。

因此較為顯然的，我們也可以將掃描線用在計(jì)算幾何中。

通常的套路是維護(hù)掃描線與幾何圖形截點(diǎn)的位置，與幾何圖形下一個(gè)拐點(diǎn)的位置。

由于我的計(jì)算幾何很菜，所以只能說(shuō)兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的題目。

交點(diǎn)檢測(cè)

給定平面上 \(n\) 條線段，輸出所有交點(diǎn)的位置。

保證輸出量 \(\le 10^5\)。

掃描線掃描 \(x\) 軸，線上維護(hù)縱軸，也就是每個(gè)線段與掃描線的交點(diǎn)。

這樣有了一個(gè)較好的性質(zhì)，就是如果線段 \(l\) 要與其他線段產(chǎn)生交點(diǎn)，必定先與在掃描線上的相鄰線段有交點(diǎn)。

那么此時(shí)維護(hù)掃描線上相鄰線段什么時(shí)候發(fā)生交點(diǎn)，計(jì)算交點(diǎn)并在掃描線上交換兩個(gè)線段的位置。

由于是線段，所以還需要維護(hù)線段的加入事件和刪除事件。

綜上，用平衡樹(shù)維護(hù)一下上述操作就好了，設(shè)交點(diǎn)數(shù)為 \(o\)，則時(shí)間復(fù)雜度為 \(O((n + o)\log n)\)。

平面圖點(diǎn)定位

給定平面上 \(n\) 條直線，將平面劃分為了一個(gè)平面圖

你需要建出這個(gè)平面圖。

類(lèi)比交點(diǎn)檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)如果出現(xiàn)了交點(diǎn)，則說(shuō)明這個(gè)的一個(gè)區(qū)域被封閉了。

這樣一直做就可以找到所有區(qū)域以及相鄰區(qū)域。

設(shè)區(qū)域數(shù)為 \(o\)，則時(shí)間復(fù)雜度為 \(O((n + o)\log n)\)。

可供練習(xí)的題：

1. P3268 [JLOI2016]圓的異或并
2. P5525 [Ynoi2012] WC2016 充滿了失望
3. P6106 [Ynoi2010] Self Adjusting Top Tree

樹(shù)上掃描線

考慮在序列上的時(shí)候我們的詢(xún)問(wèn)會(huì)轉(zhuǎn)化為 \(O(1)\) 個(gè)矩形。

現(xiàn)在問(wèn)題上樹(shù)，不難想到將樹(shù)上問(wèn)題轉(zhuǎn)化為序列上的問(wèn)題，故進(jìn)行樹(shù)鏈剖分。

這里利用了一個(gè)樹(shù)鏈剖分的一個(gè)非常優(yōu)秀的性質(zhì)：「樹(shù)上的任意一條路徑劃分成不超過(guò) \(O(\log n)\) 條連續(xù)的鏈」。

由于這一個(gè)性質(zhì)，我們將拆分出來(lái)的鏈分別做矩形，此時(shí)最多會(huì)出現(xiàn) \(O(\log n)\) 個(gè)矩形。

如果考慮路徑上點(diǎn)之間的關(guān)系的話，則最多會(huì)出現(xiàn) \(O(\log^2 n)\)。

然后我們就在原先復(fù)雜度基礎(chǔ)上多了一個(gè)或者兩個(gè) \(\log\)，復(fù)雜度在大部分情況下依舊是可以接受的。

未知渠道獲取的題

定義一個(gè)點(diǎn)對(duì) \((i,j)(i \not= j)\) 是好的當(dāng)且僅當(dāng)：

\[\exists k \in N^{*},\qquad \lfloor\dfrac{i}{k}\rfloor = j \]

給定一棵 \(n\) 個(gè)點(diǎn)的樹(shù)，樹(shù)上點(diǎn)的權(quán)值互不相同，點(diǎn)權(quán)的值域?yàn)?\(m\)，共有 \(q\) 次詢(xún)問(wèn)。

每次詢(xún)問(wèn)給定一個(gè)路徑 \((x,y)\)，問(wèn)路徑上多少個(gè)點(diǎn)對(duì) \((u,v)\) 滿足 \((a_u, a_v)\) 是好的。

\(1 \le n,m,q \le 5\times 10^4\)，時(shí)限 \(2.5\) 秒。

考慮整除分塊，預(yù)處理出所有符合條件的點(diǎn)對(duì)。

建系，設(shè)橫縱坐標(biāo)都為序列維（dfn 維），則點(diǎn)對(duì)變成平面上的點(diǎn)。

對(duì)于每個(gè)路徑，預(yù)處理所有可能的詢(xún)問(wèn)矩形，即兩個(gè)鏈組合在一起組成一個(gè)詢(xún)問(wèn)矩形，由于樹(shù)鏈剖分的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)矩形數(shù)是 \(O(q\log^2 n)\) 的。

然后現(xiàn)在的問(wèn)題就變成一個(gè)簡(jiǎn)單的二維數(shù)點(diǎn)，時(shí)間復(fù)雜度 \(O(q \log ^ 3 n + n \sqrt m \log n)\)，足以通過(guò)該題，由于常數(shù)極小，把標(biāo)算給錘了。

可供練習(xí)的題：

1. P1600 [NOIP2016 提高組] 天天愛(ài)跑步

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的浅谈扫描线的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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