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1、完全平方數 九章出版社提供 (一)完全平方數的性質 一個數如果是另一個整數的完全平方，那么我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。

2、例如: 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 觀察這些完全平方數，可以獲得對它們的個位數、十位數、數字和等的規律性的認識。

3、下面我們來研究完全平方數的一些常用性質: 性質1:完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。

4、 性質2:奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。

5、 證明 奇數必為下列五種形式之一: 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分別平方后，得 (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 綜上各種情形可知:奇數的平方，個位數字為奇數1,5,9;十位數字為偶數。

6、 性質3:如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6;反之，如果完全平方數的個位數字是6，則它的十位數字一定是奇數。

7、 證明 已知=10k+6，證明k為奇數。

8、因為的個位數為6，所以m的個位數為4或6，于是可設m=10n+4或10n+6。

9、則 10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k為奇數。

10、 推論1:如果一個數的十位數字是奇數，而個位數字不是6，那么這個數一定不是完全平方數。

11、 推論2:如果一個完全平方數的個位數字不是6，則它的十位數字是偶數。

12、 性質4:偶數的平方是4的倍數;奇數的平方是4的倍數加1。

13、 這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性質5:奇數的平方是8n+1型;偶數的平方為8n或8n+4型。

14、 在性質4的證明中，由k(k+1)一定為偶數可得到(2k+1)是8n+1型的數;由為奇數或偶數可得(2k)為8n型或8n+4型的數。

15、 性質6:平方數的形式必為下列兩種之一:3k,3k+1。

16、 因為自然數被3除按余數的不同可以分為三類:3m,3m+1, 3m+2。

17、平方后，分別得 (3m)=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到: 性質7:不能被5整除的數的平方為5k±1型，能被5整除的數的平方為5k型。

18、 性質8:平方數的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

19、 除了上面關于個位數，十位數和余數的性質之外，還可研究完全平方數各位數字之和。

20、例如，256它的各位數字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數字和。

21、如果再把13的各位數字相加:1+3=4，4也可以叫做256的各位數字的和。

22、下面我們提到的一個數的各位數字之和是指把它的各位數字相加，如果得到的數字之和不是一位數，就把所得的數字再相加，直到成為一位數為止。

23、我們可以得到下面的命題: 一個數的數字和等于這個數被9除的余數。

24、 下面以四位數為例來說明這個命題。

25、 設四位數為，則 = 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 顯然，a+b+c+d是四位數被9除的余數。

26、 對于n位數，也可以仿此法予以證明。

27、 關于完全平方數的數字和有下面的性質: 性質9:完全平方數的數字之和只能是0,1,4,7,9。

28、 證明 因為一個整數被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而 (9k)=9(9)+0 (9k±1)=9(9±2k)+1 (9k±2)=9(9±4k)+4 (9k±3)=9(9±6k)+9 (9k±4)=9(9±8k+1)+7 除了以上幾條性質以外，還有下列重要性質: 性質10:為完全平方數的充要條件是b為完全平方數。

29、 證明 充分性:設b為平方數，則 ==(ac) 必要性:若為完全平方數，=，則 性質11:如果質數p能整除a，但不能整除a，則a不是完全平方數。

30、 證明 由題設可知，a有質因數p，但無因數，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數分解成標準式時，各質因數的次方均為偶數，可見a不是完全平方數。

31、 性質12:在兩個相鄰的整數的平方數之間的所有整數都不是完全平方數，即若

32、 性質13:一個正整數n是完全平方數的充分必要條件是n有奇數個因數(包括1和n本身)。

33、 (二)重要結論 1.個位數是2,3,7,8的整數一定不是完全平方數; 2.個位數和十位數都是奇數的整數一定不是完全平方數; 3.個位數是6，十位數是偶數的整數一定不是完全平方數; 4.形如3n+2型的整數一定不是完全平方數; 5.形如4n+2和4n+3型的整數一定不是完全平方數; 6.形如5n±2型的整數一定不是完全平方數; 7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數一定不是完全平方數; 8.數字和是2,3,5,6,8的整數一定不是完全平方數。

34、 (三)范例 [例1]:一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。

35、 解:設此自然數為x，依題意可得 (m,n為自然數) (2)(1)可得 ∴n>m ( 但89為質數，它的正因數只能是1與89，于是。

36、解之，得n=45。

37、代入(2)得。

38、故所求的自然數是1981。

39、 [例2]:求證:四個連續的整數的積加上1，等于一個奇數的平方(1954年基輔數學競賽題)。

40、 分析 設四個連續的整數為，其中n為整數。

41、欲證 是一奇數的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。

42、 證明 設這四個整數之積加上1為m，則 而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數;又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。

43、這就證明了m是一個奇數的平方。

44、 [例3]:求證:11,111,1111,這串數中沒有完全平方數(1972年基輔數學競賽題)。

45、 分析 形如的數若是完全平方數，必是末位為1或9的數的平方，即 或 在兩端同時減去1之后即可推出矛盾。

46、 證明 若，則 因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。

47、 若，則 因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。

48、 綜上所述，不可能是完全平方數。

49、 另證 由為奇數知，若它為完全平方數，則只能是奇數的平方。

50、但已證過，奇數的平方其十位數字必是偶數，而十位上的數字為1，所以不是完全平方數。

51、 [例4]:試證數列49,4489,444889, 的每一項都是完全平方數。

52、 證明 = =++1 =4+8+1 =4()(9+1)+8+1 =36 ()+12+1 =(6+1) 即為完全平方數。

53、 [例5]:用300個2和若干個0組成的整數有沒有可能是完全平方數? 解:設由300個2和若干個0組成的數為A，則其數字和為600 3|600 ∴3|A 此數有3的因數，故9|A。

54、但9|600，∴矛盾。

55、故不可能有完全平方數。

56、 [例6]:試求一個四位數，它是一個完全平方數，并且它的前兩位數字相同，后兩位數字也相同(1999小學數學世界邀請賽試題)。

57、 解:設此數為 此數為完全平方，則必須是11的倍數。

58、因此11|a + b，而a,b為0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8組可能。

59、 直接驗算，可知此數為7744=88。

60、 [例7]:求滿足下列條件的所有自然數: (1)它是四位數。

61、 (2)被22除余數為5。

62、 (3)它是完全平方數。

63、 解:設，其中n,N為自然數，可知N為奇數。

64、 11|N 4或11|N + 4 或 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 所以此自然數為1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

65、 [例8]:甲、乙兩人合養了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下:先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。

66、為了平均分配，甲應該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數學邀請賽試題)? 解:n頭羊的總價為元，由題意知元中含有奇數個10元，即完全平方數的十位數字是奇數。

67、如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6。

68、所以，的末位數字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元。

69、 [例9]:矩形四邊的長度都是小于10的整數(單位:公分)，這四個長度數可構成一個四位數，這個四位數的千位數字與百位數字相同，并且這四位數是一個完全平方數，求這個矩形的面積(1986年縉云杯初二數學競賽題)。

70、 解:設矩形的邊長為x,y，則四位數 ∵N是完全平方數，11為質數 ∴x+y能被11整除。

71、 又 ,得x+y=11。

72、 ∴∴9x+1是一個完全平方數，而，驗算知x=7滿足條件。

73、又由x+y=11得。

74、 [例10]:求一個四位數，使它等于它的四個數字和的四次方，并證明此數是唯一的。

75、 解:設符合題意的四位數為，則，∴為五位數，為三位數，∴。

76、經計算得，其中符合題意的只有2401一個。

77、 [例11]:求自然數n，使的值是由數字0,2,3,4,4,7,8,8,9組成。

78、 解:顯然，。

79、為了便于估計，我們把的變化范圍放大到，于是，即。

80、∵，∴。

81、 另一方面，因已知九個數碼之和是3的倍數，故及n都是3的倍數。

82、這樣，n只有24,27,30三種可能。

83、但30結尾有六個0，故30不合要求。

84、經計算得 故所求的自然數n = 27。

85、 (四)討論題 1.(1986年第27屆IMO試題) 設正整數d不等于2,5,13，求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a , b，使得ab 1不是完全平方數。

86、 2.求k的最大值。

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總結

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