格路径计数
格路徑計(jì)數(shù)
基礎(chǔ)格路徑計(jì)數(shù)
問題：格路徑上從 \((0,0)\) 走到 \((n,m)\) 只能向上或向右走，方案數(shù)。
顯然一共走 \(n+m\) 次，選出任意 \(n\) 次向上走方案數(shù)就是 \(\binom {n+m} n\)。
有限制格路徑計(jì)數(shù)
下面說的限制都是不接觸到某條線的限制，若題目要求不超過，可以依次 \(+1/-1\)。
單條直線限制
還是從 \((0,0)\) 走到 \((n,m)\)，但在格路徑上你不能經(jīng)過 \(y=x+k\) 這條直線，求方案數(shù)。
這是卡特蘭數(shù)經(jīng)典問題，考慮把最后一次進(jìn)入直線之后的路徑后半部分翻折一下，最終終點(diǎn)也會(huì)翻折變成 \((m-k, n+k)\)，總方案 \(\binom {n+m} n\) 減去不合法的部分 \(\binom {n+m} {n+k}\) 就是
\[\binom {n+m} n - \binom {n+m} {n+k} \]兩條直線限制
還是從 \((0,0)\) 走到 \((n,m)\)，但在格路徑上你不能經(jīng)過 \(y=x+k_1,y=x+k_2,(k_1>0,k_2<0)\) 這兩條直線，求方案數(shù)。
有人說直接對兩條直線分別做然后減去就行了。
但遇到一個(gè)路徑同時(shí)經(jīng)過兩條直線的情況就會(huì)算重復(fù)。
我們設(shè)兩條直線分別為 A，B，我們定義一個(gè) AB 字符串例如 BABA 表示依次進(jìn)入直線 BABA ，若多次進(jìn)入 A 或 B，只考慮第一次，也就是 ABBBAAAABBB = ABAB。
我們設(shè) \(f_{\texttt{ABAB}}\) 表示終點(diǎn) \((n,m)\) 依次對 BABA 直線進(jìn)行對稱得到的新終點(diǎn) \((n',m')\) ，然后\((0,0)\) 到新終點(diǎn) \((n',m')\) 的無限制方案數(shù)。
對于一個(gè)路徑序列代表的字符串 ABABA，我們把字符串每一個(gè)本質(zhì)不同的子段在最后一次出現(xiàn)的位置倒著依次翻折，這樣和 \(f\) 中的方案數(shù)一一對應(yīng)。
例如 ABABA 的子段 ABA，我們在最后一次進(jìn)入 A 時(shí)翻折一下，最后一次進(jìn)入 B 時(shí)翻折一下，倒數(shù)第二次進(jìn)入 A 時(shí)再翻折一下。（如下圖，三種顏色代表三次不同翻折）
我們發(fā)現(xiàn)序列 \(ABABA\) 會(huì)貢獻(xiàn)到 \(f_{\text{A}},f_{\text{B}},f_{\text{AB}},f_{\text{BA}},f_{\text{ABA}},f_{\text{BAB}},f_{\text{ABAB}},f_{\text{BABA}},f_{\text{ABABA}}\)，并且貢獻(xiàn)都是 1 。
貢獻(xiàn)都是 1 是因?yàn)槲覀冎环圩詈笠淮纬霈F(xiàn)的位置，大家可以手模一下發(fā)現(xiàn)若翻折前面出現(xiàn)的位置得出的路徑和原來的不一樣。
于是不合法的方案數(shù)就變成了：
\[f_{\text{A}} + f_{\text{B}} - f_{\text{AB}} - f_{\text{BA}} + f_{\text{ABA}} + f_{\text{BAB}} - ... \]會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣每條直線只會(huì)被計(jì)算一次。
總方案 \(\binom{n+m}{n}\) - 不合法方案數(shù)就可以了。
多條直線限制
可以找出限制最緊的兩條變成兩條直線限制。
k-Dyck路（k階卡特蘭數(shù)）
問題：還是格路徑，但是現(xiàn)在只能向上走 \(k\) 格或向右走 \(1\) 格，不超過 \(y=x\) （不接觸 \(y=x+1\)）求 \((0,0)\) 到 \((nk, nk)\) 方案數(shù)。
這是 \(k = 2\) 時(shí)的某種合法方案。
我們我們轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題：
只能向上走 \(k\) 格或向右走 \(1\) 格， 從 \((0,0)\) 到 \((nk+1, nk)\) 的方案數(shù)，沒有限制。
向上走的數(shù)量為 \(n\)，向右走的數(shù)量為 \(nk+1\)，一共 \(n(k+1) + 1\) 次，方案數(shù)顯然是：
\[\binom {n(k+1)+1} n \]我們將新問題中的接觸到 \(y=x\) 的路徑進(jìn)行一個(gè)轉(zhuǎn)變，轉(zhuǎn)變方式如下：
首先找出在直線 \(y=x\) 上方的所有點(diǎn)（包括在 \(y=x\) 上的點(diǎn)），選擇一個(gè)距離 \(y=x\) 最遠(yuǎn)的點(diǎn)（若有多個(gè)點(diǎn)距離相同，選擇距離終點(diǎn)最近的點(diǎn)），稱之最高點(diǎn)。
將最高點(diǎn)后邊的路徑平移到 \((0,0)\)，將之前從 \((0,0)\) 開始的路徑接到后面。
可以證明，轉(zhuǎn)變之后的新路徑滿足一下幾個(gè)性質(zhì)：
-
一定不會(huì)接觸到 \(y=x\)。
- 這里很顯然。
-
最開始一定有兩次向右操作。
-
當(dāng)找出的最高點(diǎn)不在 \(y=x\) 上，設(shè)向右和向上分別為 \(R,U\)，若這個(gè)點(diǎn)之后的操作為 \(U\) 或者 \(RU\)，那么在操作后的點(diǎn)一定距離 \(y=x\) 更遠(yuǎn)，最高點(diǎn)會(huì)選擇他。
-
當(dāng)最高點(diǎn)在 \(y=x\) 上時(shí)，他只有兩種可能：
-
第一種和上面那種一樣。
-
第二種是下一步只需要一次 \(R\) 就可以到終點(diǎn)，若是這種情況，那么舊路徑的第一次操作一定是 \(R\)，否則就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)在 \(y=x\) 上方，最高點(diǎn)不會(huì)選到它。
-
-
我們刪去新路徑的第一次 \(R\) 操作，終點(diǎn)變成了 \((nk,nk)\)，限制變成了不超過 \(y=x\) （不接觸 \(y=x+1\)），會(huì)發(fā)現(xiàn)和舊問題中的路徑一一對應(yīng)。
新問題的新路徑和舊問題路徑一一對應(yīng)，但新問題的舊路徑和新問題的新路徑并不是一一對應(yīng)的。
我們發(fā)現(xiàn)在新路徑中將任意一斷點(diǎn)截?cái)?，交換兩個(gè)部分（上述轉(zhuǎn)變的逆過程），本身的終點(diǎn)會(huì)在操作后變成最高點(diǎn)，且均在 \(y=x\) 上及其上方。
這樣每一種舊路徑對應(yīng)一個(gè)新路徑，每一個(gè)新路徑對應(yīng) \(n(k+1)+1\) 舊路徑，答案就是：
\[\frac{1}{n(k+1)+1}\binom {n(k+1)+1} n \]總結(jié)
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