嗯...

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題目鏈接：https://www.luogu.org/problem/P1082

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這道題很明顯涉及到了同余和exgcd的問題，下面推導一下：

首先證明有解情況：

　　　　ax + by = m有解的必要條件是 m mod gcd(a, b) = 0

　　　　a為gcd(a, b)的倍數，b為gcd(a, b)的倍數，x、y為整數，

　　　　所以ax + by是gcd(a, b)的倍數，所以m是gcd(a, b)的倍數

然后證明a、b互質（下面會用到）：

　　　　本題中1 mod gcd(a, b) = 0，所以gcd(a, b)? = 1，所以a、b互質

同余：

　　　　a≡b(mod n) --> 含義：a和b關于模n同余，即 a mod n = b mod n。

　　　　所以不難推出，a≡b的充要條件是a-b是n的整數倍（a > b）。

　　　　因為a-b是n的整數倍，所以a-b = ny（y為倍數）

所以，根據同余，我們可以把本題中的同余式轉化為（注：這里的a.b與上文不同）：

　　　　ax≡1(modb)? --> ax % b = 1 % b --> ax?- 1 = by --> ax - by = 1

下一步，便進行exgcd（關于exgcd的證明見：https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1082），分別求出ax - by = 1中x和y的值。

最后進行答案處理：

　　　　因為答案要求是x的最小正整數，所以我們進行一個答案處理：x = (x % b + b) % b

證明其正確性：

　　　　設新得到的x為xn，x = kb + q（q < b）則：

　　　　x % b = q ，把x % b = q帶入 xn =?(x % b + b) % b，得

　　　　xn =?(x % b + b) % b =?(q + b) % b = (q % b + b % b) % b = q % b = q

　　　　?把xn = q帶入x = kb + q，得，x = kb + xn， 所以xn = x - kb，然后再根據下面的推導得知它是正確的...

證明：　　　　

　　　　x批量地減去或加上?b，能保證?ax + by = ax?+?by?=?1：

　　　　ax + by =?1

　　　　ax + by + k*ba - k*ba?=?1

　　　　a (x + kb) + (y - ka) b = 1

　　　　1.顯然這并不會把方程中任何整數變成非整數。

　　　　2.“加上或減去?b”不會使?x?錯過任何解。可以這么理解：

　　　　已經求出一組整數?x,y?使得?ax+by?=1 ，也就是(1 - ax) / b = y。y?是整數，可見目前?1?ax?是?b?的倍數。現在想改變?x并使得方程仍然成立。

　　　　已知?a,b?互質，假若x的變化量Δx不是b的倍數，則1?ax?的變化量?a*Δx也不是?bb?的倍數，這會使得1-ax不再是b的倍數，則y不是整數了。

　　　　僅當x的變化量是b的倍數時，1?ax能保持自己是b的倍數，此時就出現新的解了。

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AC代碼：

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1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 4 using namespace std; 5 //ax % b == 1 % b --> ax - 1 = y * b --> ax - yb == 1 6 7 long long d, x, y; 8 9 inline void exgcd(long long a, long long b, long long &d, long long &x, long long &y){ 10 if(!b) {d = a; x = 1; y = 0;} 11 else{ exgcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b);} 12 } 13 int main(){ 14 long long a,b; 15 scanf("%lld%lld", &a, &b); 16 exgcd(a, b, d, x, y); 17 x = (x % b + b) % b; 18 printf("%lld", x); 19 return 0; 20 } AC代碼

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轉載于:https://www.cnblogs.com/New-ljx/p/11261791.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的洛谷 P1082 同余方程（同余exgcd）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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