生成樹 bzoj-2467 中山市選2010

題目大意：題目鏈接

注釋：略。

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想法：首先，考慮生成樹的性質(zhì)。每兩個(gè)點(diǎn)之間有且只有一條路徑。我們將每個(gè)五邊形的5條邊分為外面的4條邊和內(nèi)部的一條邊，在此簡稱為外邊和內(nèi)邊。那么顯然，每個(gè)五邊形的4條外邊至少需要選3條。

如果選了3條外邊而且內(nèi)邊也沒選，那么這個(gè)五邊形就會(huì)被拆成兩個(gè)部分。如果有2個(gè)五邊形這么做，就會(huì)有兩個(gè)部分之間直接斷開，不符合生成樹的定義。而且想讓一個(gè)五邊形和另一個(gè)五邊形斷開或者這個(gè)五邊形從自身斷開，只有這一種方案。如果沒有任何一個(gè)五邊形這么做那么所有點(diǎn)都在環(huán)內(nèi)，仍然不符合生成樹的定義。所以這樣的五邊形有且僅有一個(gè)。

考慮剩下的五邊形。如果剩下的五邊形沒有任何一條邊斷開，這個(gè)五邊形就是一個(gè)環(huán)，舍。而且每個(gè)五邊形至多斷開一條邊，所以剩下的每個(gè)五邊形都必須斷開一條邊。

接下來我們考慮證明每一個(gè)這樣的方案都是合法的。首先，我們先把一個(gè)五邊形的一條外邊和一條內(nèi)邊斷開。這樣的話顯然對(duì)于任何一個(gè)剩下的五邊形：如果斷開的是外邊那么由內(nèi)邊和左右的五邊形相連。如果斷開的是內(nèi)邊那么有外邊和左右的五邊形相連。而且一個(gè)點(diǎn)像跨越一個(gè)只斷開一條邊的五邊形只有一種方案，滿足生成樹性質(zhì)，證畢。

最后，附上丑陋的代碼... ...

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define mod 2007 using namespace std; typedef long long ll; ll qpow(ll x,ll y) {ll ans=1;while(y){if(y&1) ans=(ans*x)%mod;y>>=1;x=(x*x)%mod;}return ans; } int main() {int cases; cin >> cases ;while(cases--){ll x; scanf("%lld",&x);printf("%lld\n",4*x%mod*qpow(5,x-1)%mod);}return 0; }

小結(jié)：對(duì)于這種題，我們一般的做法都是先考慮答案的形態(tài)，有奇效。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/ShuraK/p/9537293.html

總結(jié)

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