設 $f\in C[0,1]$, $f(0)=f(1)$. 試證: $$\bex \forall\ 2\leq n\in\bbN,\ \exists\ \xi_n\in [0,1],\st f\sex{\xi_n+\frac{1}{n}}=f(\xi_n). \eex$$

?

證明: 設 $$\bex F(x)=f\sex{x+\frac{1}{n}}-f(x), \eex$$ 則 $$\bex F(0)+F\sex{\frac{1}{n}}+\cdots+F\sex{\frac{n-1}{n}}=f(1)-f(0)=0. \eex$$ ?

?

(1). 若 $$\bex \exists\ 0\leq k\leq n-1,\st F\sex{\frac{k}{n}}=0, \eex$$ 則取 $\dps{\xi_n=\frac{k}{n}}$ 即可. ?

?

(2). 若 $$\bex \forall\ 0\leq k\leq n-1,\ F\sex{\frac{k}{n}}\neq 0. \eex$$ 則 $$\bex \exists\ i\neq j,\st F\sex{\frac{i}{n}}\cdot F\sex{\frac{j}{n}}<0. \eex$$ 由連續函數介值定理, 存在 $\xi_n$ 在 $\dps{\frac{i}{n},\frac{j}{n}}$ 之間, 使得 $F(\xi_n)=0.$

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總結

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