?????????????????????????????????????????????????? 穩定性是數值分析的一個基本問題。

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? --L N. Trefethen?

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????? 一個問題定義為由數據的向量空間 X 到解空間 Y 的一個函數 f:X->Y。相應地，一個算法可以看成是兩個相同空間之間的另外一個映射 f{bar}:X->Y。注意，前者大部分情況下是一個連續系統，而由于計算機浮點數表示的原因后者是離散系統（即里面表示的數字是可數的，而針對浮點數而言，它不僅可數，而且是有限個數的）。離散系統要表達出連續系統必然要進行舍入。因而，f^{bar}的結果勢必要受到舍入誤差的影響。數值穩定性要解決的是一個算法，是否能夠使用離散系統取得“正確答案”[1]。

????? 顯然，一個好的算法應該保證對于給定的 x，考慮計算的相對誤差(||f(x)-f{bar}(x)||)/||f(x)||，自然地，我們期望相對誤差很小，由于計算機浮點數精度的限制，它有個界限，不妨記作e_{mach}，如果對每個x，有(||f(x)-f{bar}(x)||)/||f(x)|| = O(e_{mach})，我們就可以說算法 f{bar} 對問題 f 是準確的。進一步地，由于?f{bar} 的定義域是離散的，如果對于每個x，(||f(x)-f{bar}(x{bar})||)/||f(x)|| = O(e_{mach})，對某些滿足||x-x{bar}||/||x{bar}||的x成立，則說算法?f{bar}是穩定的。另外，如果f{bar}(x{bar})=f(x)對于滿足||x-x{bar}||/||x{bar}||=O(eps_{mach})的x成立，則說算法是向后穩定的。值得注意的是，有些算法是穩定的但不是向后穩定的，如計算sin(x)或cos(x)。給出這么多鋪墊，涉及到的符號和術語也很多，連我自己都覺得有些繞，如果只是了解大概內容，上面的內容可以忽略，而直觀的解釋參見下面敘述的數值例子。

????? 假設一個算法向后穩定，且關于問題的條件數較小的話，那么可以得到準確的結果。這個結論由定理保證：假設一個向后穩定的算法在具有條件數k的問題f:X->Y，則相對誤差滿足：||f{bar}(x)-f(x)||/||f(x)|| = O(k*eps_{mach})。

????? 實踐已經證明，數值代數的大多數算法而言，向前誤差分析比起向后誤差分析更難于實施（注1）。除此之外，很多時候，向后誤差分析能更合理地反映出算法的誤差。給出了一個數值例子[1]，關于一個隨機矩陣Q和R（注2），然后計算它們的乘積，不妨記作A，使用Householder三角化方法[2]對它進行QR分解，得到數值解Q1和R1，接著分析數值解和理想解之間的誤差，結果表明數值的結果僅有2位或者3位有效數字（考慮相對誤差），而實際計算過程中采用double型浮點數（即有16位有效數字）。而數值解的兩個矩陣的乘積Q1*R1和矩陣A之間的誤差能夠達到15位的有效數字。另外，如果對Q和R進行微小擾動得到Q2和R2，兩者的乘積Q2*R2和A之間的相對誤差卻僅僅能夠達到了3位有效數字。從結果上來看，Q2（或R2）比Q1（或R1）更接近于Q（或R），但是乘積Q2*R2卻比乘積Q1*R1更接近于A（Q1和R1中的誤差被Wilkinson稱為“魔鬼相關”的）。這個例子表明，使用向后誤差分析比向前誤差分析更合理。

????? 關于向后穩定性的兩點結論：

????? 一，Householder三角形化以及相應的使用它來進行QR因子分解求解線性方程組Ax=b向后誤差穩定的，前者用數學語言表達出來的形式為：令矩陣A的QR因子分解是由Householder三角形化進行數值計算得到因子Q1和R1，則有Q1*R1=A+dA， ||dA||/||A||=O(eps_{mach})對某個dA成立。

????? 二，關于矩陣特征值有如下的Weyl定理：設 A 和 E 是n*n階對稱陣，設 alpha_1>=alpha_2>=...>=alpha_n 是 A 的特征值，而 alpha_{bar}_1>=alpha_{bar}_2>=...alpha_{bar}_n 是 A_{bar}=A+E 的特征值，則 |alpha_i - alpha_{bar}_i|<=||E||_2。雖然該定理是向前誤差分析的結果，但是常常利用該定理可以確定QR迭代法（向后誤差穩定）算法計算得到的數值特征值的誤差界[3]。

???? 注1：一般而言，大的向前誤差可能是一個病態問題或者是一個不穩定算法的結果。

???? 注2：作為一個法則，隨機三角形矩陣的列空間序列作為矩陣元素的函數是極端病態的。

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參考文獻：

???? [1] 數值線性代數 Chap14-17，L N. Trefethen，David Bau, lll 著，陸金甫，關治譯，人民郵電出版社，2006年

???? [2] 矩陣計算（第三版），Gene H.Golub，Charles F.Van Loan 著，袁亞湘等譯，人民郵電出版社，2011年

???? [3] 應用數值線性代數 Chap5，J W. Demmel 著，王國榮譯，人民郵電出版社，2007年????

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作者：caicailiu 出處：http://www.cnblogs.com/liuyc/? 歡迎轉載或分享，但請務必聲明文章出處。

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總結

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