拓展中國剩余定理解決模數不互質同余方程組

如果模數互質的話，直接中國剩余定理就可以了

但是如果模數不互質又沒有接觸這個方法就涼涼了

推是很不好推出來的

假設我們這里有兩個方程：?

x=a1?x1+b1

x=a2?x2+b2?

a1,a2是模數，b1,b2是余數

那么我們可以合并這兩個方程：

a1?x1+b1=a2?x2+b2

由于x1和x2可以取負無窮到正無窮，所以符號不能約束它們，我們隨便變一變形得到

a1?x1+a2?x2=b2?b1

然后使用拓展歐幾里德算法，x和y分別是式子中的x1和x2

我們求出了一個最小正整數解x1

令k=(a1?x1+b1)

x≡k(mod?lcm(a1,a2))

一路合并下去就可以得到最終的解答了

典型例題是POJ2891,全網僅此一道？？

POJ真是交上去立刻A

1 #include<cstdio> 2 using namespace std; 3 const int maxn=100005; 4 int n; 5 long long a[maxn],m[maxn]; 6 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) 7 { 8 if(b==0) {x=1;y=0;return a;} 9 long long ret=exgcd(b,a%b,x,y); 10 long long t=x;x=y;y=t-a/b*y; 11 return ret; 12 } 13 long long crt() 14 { 15 long long M=m[1],A=a[1]; 16 long long x,y; 17 for(int i=2;i<=n;i++) 18 { 19 long long d=exgcd(M,m[i],x,y); 20 if((a[i]-A)%d) return -1; //無解 21 //計算x的值 22 x*=(a[i]-A)/d; 23 long long t=m[i]/d; 24 x=(x%t+t)%t; 25 A=M*x+A; 26 M=M/d*m[i]; 27 A%=M; 28 } 29 A=(A%M+M)%M; 30 return A; 31 } 32 int main() 33 { 34 while(scanf("%d",&n)==1) 35 { 36 for(int i=1;i<=n;i++) 37 scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]); 38 printf("%lld\n",crt()); 39 } 40 return 0; 41 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/aininot260/p/9483902.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学：拓展中国剩余定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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