BSGS

　　給定\(a,b,p\)，求\(x\)使得\(a^x\equiv b \pmod p\)，或者說明不存在\(x\)
　　只能求\(\gcd(a,p)=1\)的情況
　　有一個結論：如果有解則必然存在\(x\in\left\{0\ldots p-1\right\}\)的解
　　設\(q=\lceil\sqrt p\rceil,x=cq-d\)
　　\[a^{cq-d}\equiv b\pmod p\]
　　\[a^{cq}\equiv b\times a^d\pmod p\]
　　先枚舉\(d\in\left\{1\ldots q\right\}\)，把\(b\times a^d \pmod p\)塞進哈希表里
　　再枚舉\(c\in\left\{1\ldots q\right\}\)，查詢\(a^{cq}\)是否在哈希表內
　　最后\(cq-d\)就是答案
　　

擴展BSGS

　　能求\(\gcd(a,p)\neq1\)的情況。
　　設\(s=\gcd(a,p)\)
　　若\(s\nmid b\)則無解
　　設\(a'=\frac{a}{s},b'=\frac{s},p'=\frac{p}{s}\)
　\[(a's)^x\equiv b's\pmod {p's}\]
　\[a'a^{x-1}\equiv b' \pmod {p'}\]
　　這樣每次\(p\)都會除以一個大于\(2\)的數，這個過程一定會停止（\(O(\log p)\)次）
　　最后會得到
　\[da^{x-k}\equiv b\pmod p\]
　　把計算出來的\(x\)加上\(k\)輸出就可以了。
　　但是可能存在小于\(k\)的答案
　　直接枚舉\(0\)~\(k\)，判斷是否合法。

一些其他的東西

　　sdchr大爺說可以直接按照普通BSGS的方法做，然后把我的隨機數據過掉了，但被我hack了。
　　表面上看當\(\gcd(a,p)\neq1\)時BSGS也可以做，但是，
\[a^{cq-d}\equiv b\pmod p\Rightarrow a^{cq}\equiv ba^d\pmod p \]
\[a^{cq-d}\equiv b\pmod p\nLeftarrow a^{cq}\equiv ba^d\pmod p\]
　　1式能推出2式，但2式不能推出1式（要兩邊同時除以\(a\)的逆元）
　　所以這是不對的

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的BSGS扩展BSGS的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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