文章目錄

• 一、求 $e^{j{\omega }_{0}n}$ 傅里葉變換
• • 1、傅里葉變換與反變換公式介紹
  • 2、帶入 傅里葉變換 公式

一、求 $e^{j{\omega }_{0}n}$ 傅里葉變換

---

求 $e^{j{\omega }_{0}n}$ 的傅里葉變換 $SFT[e^{j{\omega }_{0}n}]$ ?

1、傅里葉變換與反變換公式介紹

傅里葉變換 : 時域 " 離散非周期 " 信號 , 其頻域就是 " 連續周期 " 的 , 其頻域 可以 展開成一個 " 正交函數的無窮級數加權和 " , 如下公式

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

傅里葉反變換 : 利用 " 正交函數 " 可以推導出 " 傅里葉反變換 " , 即 根據 傅里葉變換 推導 序列 ;

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

2、帶入 傅里葉變換 公式

將

$$e^{j{\omega }_{0}n}$$

序列函數 , 帶入到 傅里葉變換 公式

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

中 ;

可以得到 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{e}^{j{\omega }_{0}n}{e}^{?j\omega n}$$

根據指數運算法則 , 可以得到如下式子 :

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{e}^{?j(\omega ?{\omega }_0)}①$$

在上一篇博客 【數字信號處理】序列傅里葉變換 ( 基本序列的傅里葉變換 | 求 1 的傅里葉變換 ) 中 , 求 $1$ 的傅里葉變換得到如下公式 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{e}^{?j\omega n}=2\pi \delta (\omega )②$$

將 ② 帶入到 ① 中 ,

$$SFT[e^{j{\omega }_{0}n}]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{e}^{?j(\omega ?{\omega }_0)}=2\pi \delta (\omega ?{\omega }_0)$$

其中 $\delta (\omega )$ 序列如下 , 這是以 $2\pi$ 為周期的單位脈沖序列 , 在 $2\pi$ 整數倍的位置上值為 $1$ ;

$\delta (\omega )$ 可以寫成如下式子 :

$$\delta (\omega )=\sum _{m=?\infty }^{\infty }\delta (\omega ?2\pi m)$$

$m$ 取值 $(?\infty ,+\infty )$ ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。