文章目錄

• 一、序列傅里葉變換實例
• • 1、傅里葉變換
  • 2、傅里葉變換幅頻特性
  • 3、傅里葉變換相頻特性

一、序列傅里葉變換實例

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求序列

$$x(n)=R_N(n)①$$

的 序列傅里葉變換 SFT ;

1、傅里葉變換

傅里葉變換公式 : 根據 $x(n)$ 序列 求 $X(e^{j\omega })傅里葉變換$ ,

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}②$$

將 ① 帶入到 ② 傅里葉變換 公式中 , $n$ 的取值范圍是 $[0,N?1]$ ,

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}=\sum _{n=0}^{N?1}{e}^{?j\omega n}$$

根據 " 等比級數求和 " 公式 , $S_n=a_1+a_2+a_3+?+a_n=\frac{a_1(1?q^n)}{1?q}$ , ( 公比為 q ) , 一共有 $N$ 項 ,

$$X(e^{j\omega })=\frac{1?e^{?j\omega n}}{1?e^{?j\omega }}$$

寫成如下樣式 , 是為了方便編程 ,

$$X(e^{j\omega })=e^{?j\omega \frac{N?1}{2}}\frac{\sin (\frac{\omega N}{2})}{\sin (\frac{\omega }{2})}$$

矩形窗序列 方便 計算機處理 , 將序列截斷后只處理有限個序列比較容易 ,

將 信號 取一段數據 , 相當于 信號 乘以 矩形窗序列 ;

$SFT[R_N(n)]=N\omega =0$

$SFT[R_N(n)]=0\omega =\frac{2\pi k}{N},k=\pm 1,\pm 2,?$

繪制 $SFT[R_N(n)]$ 的坐標圖 , 假設 $N=4$ ,

• 當 $\omega =0$ 時 , $SFT[R_4(n)]=4$
• 當 $\omega =\frac{2\pi k}{N}=\frac{2\pi k}{4}=\frac{\pi k}{2}$ 時 , $SFT[R_4(n)]=0$ , 第一個點是 $\frac{\pi }{2}$ , 第二個點是 $\pi$ , 如下圖所示 ;

2、傅里葉變換幅頻特性

幅頻特性 : 在 matlab 中繪制效果如下 , matlab 中取模后再繪制 ;

3、傅里葉變換相頻特性

相頻特性 : matlab 中繪制其 相頻特性 ,

相頻特性 , 主要看 $X(e^{j\omega })=e^{?j\omega \frac{N?1}{2}}\frac{\sin (\frac{\omega N}{2})}{\sin (\frac{\omega }{2})}$ 中的 $e^{?j\omega \frac{N?1}{2}}$ 的正負號 ,

$N$ 如果確定了 , $\frac{N?1}{2}$ 是常數 , 因此整個曲線是線性的 ,

鋸齒形突變是因為 計算 $\frac{\sin (\frac{\omega N}{2})}{\sin (\frac{\omega }{2})}$ 時 , 正負號突然改變 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 傅里叶变换实例 | 矩形窗函数 | 傅里叶变换 | 傅里叶变换幅频特性 | 傅里叶变换相频特性 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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