文章目錄

• 一、判斷系統是否 " 非時變 "
• • 1、案例二
  • • ① 時不變系統概念
    • ② 先變換后移位
    • ③ 先移位后變換
    • ④ 結論

一、判斷系統是否 " 非時變 "

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1、案例二

給定 輸入序列 $x(n)=\{0,1,2,3,4,5,0\}$ , $n$ 取值 $?1$ ~ $5$

判斷其輸出序列 $y(n)=x(n^2)$ 的 " 變換 " 操作是否是 " 時不變 " 的 ;

$y(n)=x(n^2)$ 變換操作 :

$y(n)$ 只有在 $n=?1,0,1,2$ 取值時 , 才有值 ,

如果 $n=3$ , $n^2=9$ , $x(9)$ 沒有值 ;
如果 $n=4$ , $n^2=16$ , $x(16)$ 沒有值 ;
如果 $n=5$ , $n^2=25$ , $x(10)$ 沒有值 ;

因此 , 正常變換后 , $y(n)$ 的取值是 $n=0,1,2$ 時的取值 ,

當 $n=?1$ 時 , $y(n)=x(n^2)=x((?1{)}^2)=x(1)=2$ ;
當 $n=0$ 時 , $y(n)=x(n^2)=x(0^2)=x(0)=1$ ;
當 $n=1$ 時 , $y(n)=x(n^2)=x(1^2)=x(1)=2$ ;
當 $n=2$ 時 , $y(n)=x(n^2)=x(2^2)=x(4)=5$ ;

其中 $?1$ 和 $1$ 的平方都為 $1$ , 合并成一個 ;

$x(n)$ 正常變換后的取值為 :

$$y(n)=\{1,2,5\}$$

① 時不變系統概念

時不變系統 ( time-invariant ) : 系統特性 , 不隨著時間的變化而變化 ;

$$y(n?m)=T[x(n?m)]$$

輸入延遲后 , 輸出也隨之延遲 ;

與 " 時不變 " 系統對應的是 " 時變 " 系統 ;

② 先變換后移位

將 " 輸出序列 " 進行移位 , 先 " 變換 " 后 " 移位 " ;

先將 " 輸入序列 " 進行 " 變換 " 操作 , 得到 " 輸出序列 " , 然后對 輸出序列 進行 " 移位 " 操作 ;

其中 " 變換 " 指的是 , 離散時間系統 , 將 " 輸入序列 " 變換 為 " 輸出序列 " , 輸入序列 到 輸出序列 之間的操作 , 是 " 變換 " ;

變換操作 : 先將 輸入序列 $x(n)$ 進行 變換 操作 , 得到 輸出序列 $x(n^2)$ ,

移位操作 : 然后 對 $x(n^2)$ 輸出序列 進行移位 $n?n_0$ 得到 $x((n?n_0{)}^2)$ ,

完整運算過程如下 :

$$y(n?n_0)=x((n?n_0{)}^2)$$

先變換 , 變換后輸出為 :
$$y(n)=\{1,2,5\}$$

后移位的取值為 : 向右移一位 ;

$$y(n?1)=\{0,1,2,5\}$$

③ 先移位后變換

將 " 輸入序列 " 進行移位 , 先進行移位 , 將 " 輸入序列 $x(n)$ " 先進行 " 移位 " 操作 , 得到 新的 " 輸入序列 " 為 $x(n?n_0)$ , 然后 對新的輸入序列進行 " 變換 " 操作 , 得到 " 輸出序列 " ;

變換過程是 $T[x(n?n_0)]=x(n^2?n_0)$ , 變換時 , 只是將 $n$ 值變為 $n^2$ , $n_0$ 值不動 ;

$x(n?n_0)$ 變換時 , 只將 $n$ 乘以 $2$ , $n_0$ 不變 , 變換結果如為 $x(2n?n_0)$ ;

完整過程如下 :

$$T[x(n?n_0)]=x(n^2?n_0)$$

先將 $x(n)=\{0,1,2,3,4,5,0\}$ , $n$ 取值 $?1$ ~ $5$ , 向右移位 , 移位后的序列 :
$$x(n)=\{0,1,2,3,4,5\}$$ $n$ 取值 $0$ ~ $6$ , 移位后的序列圖式如下 :

向右移位 1 后 , $n$ 取值 由原來的 $?1$ ~ $5$ 變為了 $0$ ~ $6$ ,

$y(n)$ 只有在 $n=0,1,2$ 取值時 , 才有值 ,

如果 $n=3$ , $n^2=9$ , $x(9)$ 沒有值 ;
如果 $n=4$ , $n^2=16$ , $x(16)$ 沒有值 ;
如果 $n=5$ , $n^2=25$ , $x(10)$ 沒有值 ;

因此 , 正常變換后 , $y(n)$ 的取值是 $n=0,1,2$ 時的取值 ,

當 $n=0$ 時 , $y(n)=x(n^2)=x(0^2)=x(0)=0$ ;
當 $n=1$ 時 , $y(n)=x(n^2)=x(1^2)=x(1)=1$ ;
當 $n=2$ 時 , $y(n)=x(n^2)=x(2^2)=x(4)=4$ ;

$x(n?1)$ 正常變換后的取值為 :

$$T(x(n?1))=\{0,1,4\}$$

④ 結論

先 " 變換 " 后 " 移位 " , 結果是 $x((n?n_0{)}^2)$ , 輸出序列 為 $y(n?1)=\{0,1,2,5\}$

先 " 移位 " 后 " 變換 " , 結果是 $x(n^2?n_0)$ , 輸出序列為 $T(x(n?1))=\{0,1,4\}$

該系統是 " 時變系統 " ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】线性时不变系统 LTI ( 判断某个系统是否是 “ 非时变 “ 系统 | 案例三 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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