文章目錄

• 一、表上作業法 第一步 : 確定初始基可行解
• 二、最小元素法

一、表上作業法 第一步 : 確定初始基可行解

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運輸問題如下 : 下面的表格代表 $3$ 個產地 , $4$ 個銷地 的運輸規劃問題 , 表格中的內容是 某產地運往某銷地的運費 ;

上述運輸規劃問題 總共有 $\mathrm{m}\times \mathrm{n}=3\times 4=12$ 個變量 ;

基變量個數 $=\mathrm{m}+\mathrm{n}?1=3+4?1=6$ ;

初始基可行解中需要找 $6$ 個變量作為基變量 , 其取值是非 $0$ 的 ; 剩余的 $6$ 個變量是非基變量 , 取值為 $0$ ;

運輸規劃的目的是使總運費最小 ,

這里引入 最小元素法 思想 , 基本原則是 " 安排運輸方案時 , 從單位成本最小的開始安排 " , 優先滿足運費最小的運輸 , 然后再考慮其它情況 ;

二、最小元素法

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最小元素法基本思想 :

就近供應 , 從運費最小的地方開始供應 , 然后逐步供應運費稍高的地方 , 直到最終供應完畢為止 ;

每個表格中需要填寫兩部分 , 第一部分是 ${\mathrm{c}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}$ 運費 , 第二部分是變量 ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}$ ;

第 $1$ 個基變量 :

從所有 沒有被劃掉 的并且 沒有被安排 的的運費中找到最小的 , 即 $1$ ; 對應表格第 $2$ 行第 $1$ 列 , ${\mathrm{A}}_2$ 產地運往 ${\mathrm{B}}_1$ 銷地的運費 ;

產地分析 : 對于產地 ${\mathrm{A}}_2$ 來說 , 其生產 $4$ 個 , 已經安排了 $0$ 個 , 還可以再安排 $4$ 個 ;

銷地分析 : 對于銷地 ${\mathrm{B}}_1$ 來說需求 $3$ 個 , 已經安排了 $0$ 個 , 還可以再安排 $3$ 個 ;

如果要使運費最低 , 優先讓運費最低的情況 , 最大量運輸 , 這里直接從 ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_1$ 運輸 $3$ 個產品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3$	$10$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1,3$	$9$	$2$	$8$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$	$10$	$5$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

此時 ${\mathrm{B}}_1$ 的銷量已經全部消耗完畢 , 該列就不需要安排其它產地向 ${\mathrm{B}}_1$ 銷地運輸了 , 可以劃掉這一列 , 討論其它列的運輸問題 ;

第 $2$ 個基變量 :

從所有 沒有被劃掉 的并且 沒有被安排 的運費中找到最小的 , 即 $2$ ; 對應表格第 $2$ 行第 $3$ 列 , ${\mathrm{A}}_2$ 產地運往 ${\mathrm{B}}_3$ 銷地的運費 ;

產地分析 : 對于產地 ${\mathrm{A}}_2$ 來說 , 其生產 $4$ 個 , 已經安排了 $3$ 個 , 還可以再安排 $1$ 個 ;

銷地分析 : 對于銷地 ${\mathrm{B}}_3$ 來說需求 $5$ 個 , 已經安排了 $0$ 個 , 還可以再安排 $5$ 個 ;

如果要使運費最低 , 優先讓運費最低的情況 , 最大量運輸 , 這里直接從 ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_3$ 運輸 $1$ 個產品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3$	$10$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1,3$	$9$	$2,1$	$8$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$	$10$	$5$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

此時 ${\mathrm{A}}_2$ 的產量已經全部消耗完畢 , 該行就不需要安排向其它銷地運輸了 , 可以劃掉這一行 , 討論其它行列的運輸問題 ;

第 $3$ 個基變量 :

從所有 沒有被劃掉 的并且 沒有被安排 的的運費中找到最小的 , 即 $3$ ; 對應表格第 $1$ 行第 $3$ 列 , ${\mathrm{A}}_1$ 產地運往 ${\mathrm{B}}_3$ 銷地的運費 ;

產地分析 : 對于產地 ${\mathrm{A}}_1$ 來說 , 其生產 $7$ 個 , 已經安排了 $0$ 個 , 還可以再安排 $7$ 個 ;

銷地分析 : 對于銷地 ${\mathrm{B}}_3$ 來說需求 $5$ 個 , 已經安排了 $1$ 個 , 還可以再安排 $4$ 個 ;

如果要使運費最低 , 優先讓運費最低的情況 , 最大量運輸 , 這里直接從 ${\mathrm{A}}_1$ 向 ${\mathrm{B}}_3$ 運輸 $4$ 個產品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3,4$	$10$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1,3$	$9$	$2,1$	$8$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$	$10$	$5$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

此時 ${\mathrm{B}}_3$ 的銷量已經全部消耗完畢 , 該列就不需要安排向其它產地向 ${\mathrm{B}}_3$ 銷地運輸了 , 可以劃掉這一列 , 討論其它行列的運輸問題 ;

第 $4$ 個基變量 :

從所有 沒有被劃掉 的并且 沒有被安排 的的運費中找到最小的 , 即 $4$ ; 對應表格第 $3$ 行第 $2$ 列 , ${\mathrm{A}}_3$ 產地運往 ${\mathrm{B}}_2$ 銷地的運費 ;

產地分析 : 對于產地 ${\mathrm{A}}_3$ 來說 , 其生產 $9$ 個 , 已經安排了 $0$ 個 , 還可以再安排 $9$ 個 ;

銷地分析 : 對于銷地 ${\mathrm{B}}_2$ 來說需求 $6$ 個 , 已經安排了 $0$ 個 , 還可以再安排 $6$ 個 ;

如果要使運費最低 , 優先讓運費最低的情況 , 最大量運輸 , 這里直接從 ${\mathrm{A}}_3$ 向 ${\mathrm{B}}_2$ 運輸 $6$ 個產品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3,4$	$10$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1,3$	$9$	$2,1$	$8$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4,6$	$10$	$5$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

此時 ${\mathrm{B}}_2$ 的銷量已經全部消耗完畢 , 該列就不需要安排向其它產地向 ${\mathrm{B}}_2$ 銷地運輸了 , 可以劃掉這一列 , 討論其它行列的運輸問題 ;

第 $5$ 個基變量 :

從所有 沒有被劃掉 的并且 沒有被安排 的的運費中找到最小的 , 即 $5$ ; 對應表格第 $3$ 行第 $4$ 列 , ${\mathrm{A}}_3$ 產地運往 ${\mathrm{B}}_4$ 銷地的運費 ;

產地分析 : 對于產地 ${\mathrm{A}}_3$ 來說 , 其生產 $9$ 個 , 已經安排了 $6$ 個 , 還可以再安排 $3$ 個 ;

銷地分析 : 對于銷地 ${\mathrm{B}}_4$ 來說需求 $6$ 個 , 已經安排了 $0$ 個 , 還可以再安排 $6$ 個 ;

如果要使運費最低 , 優先讓運費最低的情況 , 最大量運輸 , 這里直接從 ${\mathrm{A}}_3$ 向 ${\mathrm{B}}_4$ 運輸 $3$ 個產品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3,4$	$10$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1,3$	$9$	$2,1$	$8$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4,6$	$10$	$5,3$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

此時 ${\mathrm{A}}_3$ 的產量已經全部消耗完畢 , 該行就不需要安排向其它銷地運輸了 , 可以劃掉這一行 , 討論其它行列的運輸問題 ;

第 $6$ 個基變量 :

從所有 沒有被劃掉 的并且 沒有被安排 的的運費中找到最小的 , 即 $10$ ; 對應表格第 $1$ 行第 $4$ 列 , ${\mathrm{A}}_1$ 產地運往 ${\mathrm{B}}_4$ 銷地的運費 ;

產地分析 : 對于產地 ${\mathrm{A}}_1$ 來說 , 其生產 $7$ 個 , 已經安排了 $4$ 個 , 還可以再安排 $3$ 個 ;

銷地分析 : 對于銷地 ${\mathrm{B}}_4$ 來說需求 $6$ 個 , 已經安排了 $3$ 個 , 還可以再安排 $3$ 個 ;

如果要使運費最低 , 優先讓運費最低的情況 , 最大量運輸 , 這里直接從 ${\mathrm{A}}_1$ 向 ${\mathrm{B}}_4$ 運輸 $3$ 個產品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$產量

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3,4$	$10,3$	$7$
${\mathrm{A}}_2$	$1,3$	$9$	$2,1$	$8$	$4$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4,6$	$10$	$5,3$	$9$
銷量	$3$	$6$	$5$	$6$

此時 ${\mathrm{A}}_1$ 的產量已經全部消耗完畢 , 該行就不需要安排向其它銷地運輸了 , 可以劃掉這一行 , 討論其它行列的運輸問題 ;

此時 ${\mathrm{B}}_4$ 的銷量已經全部消耗完畢 , 該列就不需要安排向其它產地向 ${\mathrm{B}}_4$ 銷地運輸了 , 可以劃掉這一列 , 討論其它行列的運輸問題 ;

至此所有的行列全部劃掉 , 所有的產銷全部安排完畢 ;

此時找到的解就是運輸問題的可行解 , 并且是基可行解 ;

基變量個數分析 : 在上述找基變量的時候 , 有 $\mathrm{m}$ 行 $\mathrm{n}$ 列 , 每找到一個基變量 , 或者劃掉一行 , 或者劃掉一列 , 最后的一個基變量同時花掉了一行一列 , 因此這里有 $\mathrm{m}+\mathrm{n}?1$ 個基變量 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】表上作业法 ( 求初始基可行解 | 最小元素法 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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