文章目錄

• 一、對角線方法
• 二、證明自然數集 N 與實數集 R 不存在一一對應關系
• 三、對角線方法意義

一、對角線方法

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數學上使用 對角線方法 證明了一個很重要的數學命題 , 自然數集 與 實數集 不是一一對應的 ;

1874 年 G.Cantor 使用對角線方法證明了上述命題 , 代表人類徹底掌握了無窮的運算 , 是現代數學的開端 ;

( 1874 年之前的數學稱為 古典數學 )

二、證明自然數集 N 與實數集 R 不存在一一對應關系

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證明過程 : $\mathrm{N}=\mathrm{R}$ , 自然數集與實數集不存在一一對應 ;

證明的方法是 反證法 ;

假設 : 自然數集 $\mathrm{N}$ 與 實數集 $\mathrm{R}$ 之間 , 一定存在一一映射 ;

$\mathrm{N}$ 可以進行一一枚舉出來 , $\mathrm{f}(1),\mathrm{f}(2),?,\mathrm{f}(\mathrm{n})$ ,

$\mathrm{f}(\mathrm{n})$ 對應的是實數 , 將其限制在 $[0,1]$ 區間內 ;

$[0,1]$ 之間的實數 , 與整個實數集 一定存在著一一對應關系的 ;

現在證明 自然數集 $\mathrm{N}$ 與 $[0,1]$ 區間內的實數 , 不可能存在一一對應 ;

$\mathrm{f}(\mathrm{n})$ 是一個 $[0,1]$ 區間內的實數 , 則可以寫成

$\mathrm{f}(1)=0.{\mathrm{a}}_{11}{\mathrm{a}}_{12}{\mathrm{a}}_{13}{\mathrm{a}}_{14}?$ ,

$\mathrm{f}(2)=0.{\mathrm{a}}_{21}{\mathrm{a}}_{22}{\mathrm{a}}_{23}{\mathrm{a}}_{24}?$

$?$

$\mathrm{f}(\mathrm{n})=0.{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}1}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}2}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}3}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}4}?{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}\mathrm{n}}$

其中 $a_{1k}$ 的值 ( $k=1,2,3,4,?$ ) 是 $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 中的一個數字 ;

假設存在一個 $f$ 是一一映射 , 從自然數集 到 $[0,1]$ 區間內的實數 之間的映射 ,

對角線上的值 $a_{11},a_{22},?,a_{nn}$ ,

根據對角線上的值設計一個實數 $b=b_1{b}_2{b}_3?b_n$

選擇 $b_1$ 一定不等于 $a_{11}$ ,

選擇 $b_2$ 一定不等于 $a_{22}$ ,

選擇 $b_n$ 一定不等于 $a_{nn}$ ;

如果 自然數集 $\mathrm{N}$ 與 實數集 $\mathrm{R}$ 是一一對應 , 那么 一定可以找到一個自然數 $\mathrm{k}$ , 與實數 $b=b_1{b}_2{b}_3?b_n$ 一一對應 ;

實數 $b=b_1{b}_2{b}_3?b_n$ , 一定等于某個自然數 $\mathrm{k}$ 對應的 $\mathrm{f}(\mathrm{k})$ ;

現在得到了一個 矛盾 , 設計過程中 ${\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}$ 肯定不等于 ${\mathrm{a}}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}$ , 而 $\mathrm{f}(\mathrm{k})$ 的第 $\mathrm{k}$ 個數值一定是 ${\mathrm{a}}_{\mathrm{k}\mathrm{k}}$ , 因此這兩個值 $b=b_1{b}_2{b}_3?b_n$ 與 $\mathrm{f}(\mathrm{k})$ 不可能相等 ;

三、對角線方法意義

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該證明的證明過程很簡單 , 但是該證明在整個人類歷史上是非常重要的一個證明 ;

它證明了 自然數的無窮 與 實數的無窮 是兩種性質截然不同的無窮 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【计算理论】可判定性 ( 对角线方法 | 证明自然数集 N 与实数集 R 不存在一一对应关系 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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