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• 一、非齊次部分是 指數函數 且 底是特征根的情況
• 二、非齊次部分是 指數函數 且 底是特征根的情況 示例

一、非齊次部分是 指數函數 且 底是特征根的情況

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常系數線性非齊次遞推方程 : $H(n)?a_{1}H(n?1)???a_{k}H(n?k)=f(n)$ , $n\ge k,a_k=0,f(n)=0$

上述方程左側 與 “常系數線性齊次遞推方程” 是一樣的 , 但是右側不是 $0$ , 而是一個基于 $n$ 的 函數 $f(n)$ , 這種類型的遞推方程稱為 “常系數線性非齊次遞推方程” ;

非齊次部分是 指數函數 且 底是特征根的情況 :

如果上述 “常系數線性非齊次遞推方程” 的 非齊次部分 $f(n)$ 是指數函數 , ${\beta }^n$ ,

如果 $\beta$ 是 $e$ 重特征根 ,

非齊次部分的特解形式為 : $H^{?}(n)=P{n}^e{\beta }^n$ ,

$P$ 是常數 ;

將上述特解 $H^{?}(n)=P{n}^e{\beta }^n$ , 代入遞推方程 , 求解出常數 $P$ 的值 , 進而得到了完整的特解 ;

“常系數線性非齊次遞推方程” 的通解是 $H(n)=\overline{H(n)}+H^{?}(n)$

使用上述解出的 特解 , 與遞推方程 齊次部分的通解 , 組成遞推方程的完整通解 ;

二、非齊次部分是 指數函數 且 底是特征根的情況 示例

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遞推方程 : $H(n)?5H(n?1)+6H(n?2)=2^n$ , 求特解 ?

查看其特征根 :

遞推方程的標準形式是 : $H(n)?5H(n?1)+6H(n?2)=2^n$ ,

齊次部分是 $H(n)?5H(n?1)+6H(n?2)=0$

寫出特征方程 : $x^2?5x+6=0$ ,

特征根 $q_1=2,q_2=3$

求該遞推方程 非齊次部分對應的特解 ,

遞推方程的標準形式是 : $H(n)?5H(n?1)+6H(n?2)=2^n$

非齊次部分是 $2^n$ , 是指數函數 , 但是其底是 $1$ 重特征根 ,

此時要使用底是 $e$ 重特征根的特解形式來構造特解 $H^{?}(n)=P{n}^e{\beta }^n$

特解的形式是 $H^{?}(n)=P{n}^1{2}^n=Pn{2}^n$ , 其中 $P$ 是常數 ;

將特解代入上述遞推方程 :

$Pn{2}^n?5P(n?1)2^{n?1}+6P(n?2)2^{n?2}=2^n$

所有項都構造 $2^n$

$Pn{2}^n?\frac{5P(n?1)2^n}{2}+\frac{6P(n?2)2^n}{4}=2^n$

左右兩側都除以 $2^n$

$Pn?\frac{5P(n?1)}{2}+\frac{3P(n?2)}{2}=1$

$Pn?\frac{5Pn}{2}+\frac{5P}{2}+\frac{3Pn}{2}?3P=1$

$\frac{5P}{2}?3P=1$

$?\frac{P}{2}=1$

$P=?2$

特解的形式 $H^{?}(n)=Pn{2}^n$ , 其中 $P$ 常數值為 $?2$ ;

特解為 $H^{?}(n)=?2n{2}^n$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】递推方程 ( 非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根 | 求特解示例 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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