文章目錄

• 一、非降路徑問題 概要說明
• 二、非降路徑問題 基本模型
• 二、非降路徑問題 拓展模型 1
• 三、非降路徑問題 拓展模型 2

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一、非降路徑問題 概要說明

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非降路徑問題 是組合計數模型 , 利用該組合計數模型 , 可以處理一些常見的組合計數問題 ;

非降路徑問題 :

( 1 ) 基本模型

( 2 ) 在限制條件下的非降路徑個數

( 3 ) 非降路徑模型應用

• ① 證明恒等式
• ② 單調函數計數
• ③ 棧輸出

二、非降路徑問題 基本模型

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計算 從 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ 的非降路徑條數 ?

1 . 非降路徑要求 :

出發點 : 從 $(0,0)$ 出發 ;

移動坐標要求 : 向右走 整數坐標 , 水平和垂直坐標都走 整數長度 ;

移動方向要求 : 每次只能向右 , 或者向上移動 ; 不能向左 , 向下走 ;

2 . 轉為選取問題 : 將其變成一個選取問題 ,

步數分析 : 從 $(0,0)$ 到 $(m,n)$ , 向右要走 $m$ 步 , 向上要走 $n$ 步 ;

選取問題說明 : 總共走 $m+n$ 步 , 需要選擇那些步向上 , 哪些步向右 , 只要在之和 $m+n$ 步中 , 將向右的 $m$ 步都標定后 , 剩下的就是向上的步了 ;

選取問題組合數計算 : 因此這里只要 從 $m+n$ 步中選取 $m$ 步即可 , 結果是 $C(m+n,m)$ , 又可以寫成 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{m}\right)$

二、非降路徑問題 拓展模型 1

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計算 從 $(a,b)$ 到 $(m,n)$ 的非降路徑條數 ?

上述 從 $(a,b)$ 到 $(m,n)$ 的非降路徑數 ,

等于

從 $(0,0)$ 到 $(m?a,n?b)$ 的非降路徑數 ;

坐標平移 : 上述的原理是 坐標平移 , 將整體坐標 向左平移 $a$ , 向下平移 $b$ , 即可得到 從 $(0,0)$ 到 $(m?a,n?b)$ 的 非降路徑問題基本模型 ;

因此 從 $(a,b)$ 到 $(m,n)$ 的非降路徑條數為 $C(m?a+n?b,m?a)$ 條 ;

三、非降路徑問題 拓展模型 2

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計算 從 $(a,b)$ 經過 $(c,d)$ 到 $(m,n)$ 的非降路徑條數 ?

1 . 計算過程說明 :

( 1 ) 分步處理 : 使用 分步計數原理 , 對應乘法法則 ;

( 2 ) 第一步 : 先計算從 $(a,b)$ 到 $(c,d)$ 的非降路徑條數 ;

( 3 ) 第二步 : 然后計算從 $(c,d)$ 到 $(m,n)$ 的非降路徑條數 ;

( 4 ) 乘法法則 : 根據乘法法則 , 將上述兩個結果相乘 , 最終就是結果要求的非降路徑條數 ;

2 . 計算第一步

計算從 $(a,b)$ 到 $(c,d)$ 的非降路徑條數 , 代入之前的 公式

從 $(a,b)$ 到 $(m,n)$ 的非降路徑條數為 $C(m?a+n?b,m?a)$ 條

結果為 : $C(c?a+c?b,c?a)$

3 . 計算第二步

計算從 $(c,d)$ 到 $(m,n)$ 的非降路徑條數 , 代入之前的 公式

從 $(a,b)$ 到 $(m,n)$ 的非降路徑條數為 $C(m?a+n?b,m?a)$ 條

結果為 : $C(m?c+n?d,m?c)$

4 . 乘法法則

將上述兩個非降路徑數相乘 , 就是最終結果 ;

從 $(a,b)$ 經過 $(c,d)$ 到 $(m,n)$ 的非降路徑條數是 : $C(c?a+c?b,c?a)C(m?c+n?d,m?c)$

總結

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