文章目錄

• 一、 消除量詞 等值式
• 二、 量詞否定 等值式
• 三、 量詞轄域收縮擴張 等值式
• 四、 量詞分配 等值式

一、 消除量詞 等值式

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消除量詞等值式 :

有限個體域 $D=\{a_1,a_2,?,a_n\}$ , 消除量詞 的 等值式 :

有限個體域 消除 全稱量詞 :

$$?xA(x)?A(a_1)\wedge A(a_2)\wedge ?\wedge A(a_n)$$

有限個體域 消除 存在量詞 :

$$?xA(x)?A(a_1)\vee A(a_2)\vee ?\vee A(a_n)$$

一定要注意前提 : 有限個體域 ;

個體域是無限的時候 , 就需要量詞 , 如 全總個體域 ;

二、 量詞否定 等值式

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否定全稱量詞 : 全稱量詞 $?$ 之前 的 否定聯結詞 , 可以移到 量詞 之后 , 量詞要變成 存在量詞 $?$ ;

$$??xA(x)??x?A(x)$$

等值式解讀 :

• $??xA(x)$ : 不是所有的 $x$ 都有性質 $A$ ;
• $?x?A(x)$ : 存在 $x$ 不具有性質 $A$ ;
• 上述兩個公式是等價的 ;

否定存在量詞 : 存在量詞 $?$ 之前 的 否定聯結詞 , 可以移到 量詞 之后 , 量詞要變成 全稱量詞 $?$ ;

$$??xA(x)??x?A(x)$$

等值式解讀 :

• $??xA(x)$ : 不存在 $x$ 具有性質 $A$ ;
• $?x?A(x)$ : 所有的 $x$ 都不具有性質 $A$ ;
• 上述兩個公式是等價的 ;

三、 量詞轄域收縮擴張 等值式

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假設 $B$ 是公式 , $B$ 中不含有 $x$ ( 前提很重要 ) ;

1. 全稱量詞 轄域收縮擴張 ( 析取聯結詞 ) :

$$?x(A(x)\vee B)??xA(x)\vee B$$

• 左側的全稱量詞 $?x$ 的轄域是 $(A(x)\vee B)$
• 右側的全稱量詞 $?x$ 的轄域是 $A(x)$
• 從左到右 : 轄域由 $(A(x)\vee B)$ 收縮為 $A(x)$
• 從右到左 : 轄域由 $A(x)$ 擴張為 $(A(x)\vee B)$

2. 存在量詞 轄域收縮擴張 ( 析取聯結詞 ) :

$$?x(A(x)\vee B)??xA(x)\vee B$$

• 左側的存在量詞 $?x$ 的轄域是 $(A(x)\vee B)$
• 右側的存在量詞 $?x$ 的轄域是 $A(x)$
• 從左到右 : 轄域由 $(A(x)\vee B)$ 收縮為 $A(x)$
• 從右到左 : 轄域由 $A(x)$ 擴張為 $(A(x)\vee B)$

3. 全稱量詞 轄域收縮擴張 ( 合取聯結詞 ) :

$$?x(A(x)\wedge B)??xA(x)\wedge B$$

• 左側的全稱量詞 $?x$ 的轄域是 $(A(x)\wedge B)$
• 右側的全稱量詞 $?x$ 的轄域是 $A(x)$
• 從左到右 : 轄域由 $(A(x)\wedge B)$ 收縮為 $A(x)$
• 從右到左 : 轄域由 $A(x)$ 擴張為 $(A(x)\wedge B)$

4. 存在量詞 轄域收縮擴張 ( 合取聯結詞 ) :

$$?x(A(x)\wedge B)??xA(x)\wedge B$$

• 左側的存在量詞 $?x$ 的轄域是 $(A(x)\wedge B)$
• 右側的存在量詞 $?x$ 的轄域是 $A(x)$
• 從左到右 : 轄域由 $(A(x)\wedge B)$ 收縮為 $A(x)$
• 從右到左 : 轄域由 $A(x)$ 擴張為 $(A(x)\wedge B)$

5. 全稱量詞 轄域收縮擴張 ( 蘊含聯結詞 B 在右 ) :

$$?x(A(x)\to B)??xA(x)\to B$$

• 左側的全稱量詞 $?x$ 的轄域是 $(A(x)\to B)$
• 右側的存在量詞 $?x$ 的轄域是 $A(x)$
• 從左到右 : 轄域由 $(A(x)\to B)$ 收縮為 $A(x)$
• 從右到左 : 轄域由 $A(x)$ 擴張為 $(A(x)\to B)$

6. 存在量詞 轄域收縮擴張 ( 蘊含聯結詞 B 在右 ) :

$$?x(A(x)\to B)??xA(x)\to B$$

• 左側的存在量詞 $?x$ 的轄域是 $(A(x)\to B)$
• 右側的全稱量詞 $?x$ 的轄域是 $A(x)$
• 從左到右 : 轄域由 $(A(x)\to B)$ 收縮為 $A(x)$
• 從右到左 : 轄域由 $A(x)$ 擴張為 $(A(x)\to B)$

( 使用 蘊含等值式 消去 蘊含聯結詞 可以證明 )

7. 全稱量詞 轄域收縮擴張 ( 蘊含聯結詞 B 在左 ) :

$$?x(B\to A(x))?B\to ?xA(x)$$

• 左側的全稱量詞 $?x$ 的轄域是 $(B\to A(x))$
• 右側的全稱量詞 $?x$ 的轄域是 $A(x)$
• 從左到右 : 轄域由 $(B\to A(x))$ 收縮為 $A(x)$
• 從右到左 : 轄域由 $A(x)$ 擴張為 $(B\to A(x))$

8. 存在量詞 轄域收縮擴張 ( 蘊含聯結詞 B 在左 ) :

$$?x(B\to A(x))?B\to ?xA(x)$$

• 左側的存在量詞 $?x$ 的轄域是 $(B\to A(x))$
• 右側的存在量詞 $?x$ 的轄域是 $A(x)$
• 從左到右 : 轄域由 $(B\to A(x))$ 收縮為 $A(x)$
• 從右到左 : 轄域由 $A(x)$ 擴張為 $(B\to A(x))$

四、 量詞分配 等值式

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1. 全稱量詞 對于 合取 $\wedge$ 的分配率 :

$$?x(A(x)\wedge B(x))??xA(x)\wedge ?xB(x)$$

理解 : 所有的對象都具有 $A,B$ 兩個性質 , 等價于 所有的對象都具有 $A$ 性質 和 所有對象都具有 $B$ 性質 ;

存全稱量詞 對于 合取聯結詞 $\wedge$ 有分配率 , 對于 析取聯結詞 $\vee$ 不適合分配率 ;

2. 存在量詞 對于 析取 $\vee$ 的分配率 :

$$?x(A(x)\vee B(x))??xA(x)\vee ?xB(x)$$

理解 : 存在對象 要么有 $A$ 性質 , 要么有 $B$ 性質 ;

存在量詞 對于 析取聯結詞 $\vee$ 有分配率 , 對于 合取聯結詞 $\wedge$ 不適合分配率 ;

總結

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