【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
文章目錄
- 一. 生成函數 ( 母函數 ) 的定義
- 1. 生成函數定義
- ( 1 ) 生成函數的定義
- ( 2 ) 形式冪級數 ( 參考 )
- 2. 生成函數 示例
- ( 1 ) 生成函數 示例 1 ( an=(mn)a_n = \dbinom{m}{n}an?=(nm?) )
- ( 2 ) 生成函數 示例 2 ( {kn}\{k^n\}{kn} )
- 2. 牛頓二項式
- ( 1 ) 牛頓二項式 系數
- ( 2 ) 牛頓二項式 定理
- 二. 常用 生成函數 ( 重要 )
- 1. 與常數相關的生成函數
- ( 1 ) {1n}\{1^n\}{1n} 的 生成函數
- ( 2 ) {(?1)n}\{(-1)^n\}{(?1)n} 的 生成函數
- ( 3 ) {kn}\{k^n\}{kn} ( kkk為正整數 ) 的 生成函數
- 2. 與 二項式系數 相關的生成函數
- ( 1 ) {(mn)}\{\dbinom{m}{n}\}{(nm?)} 的 生成函數
- 3. 與 組合數 相關的生成函數
- ( 1 ) {(m+n?1n)}\{\dbinom{m+n-1}{n}\}{(nm+n?1?)} 的 生成函數
- ( 2 ) {(?1)n(m+n?1n)}\{(-1)^n \dbinom{m+n-1}{n}\}{(?1)n(nm+n?1?)} 的 生成函數
- ( 3 ) {(n+11)}\{ \dbinom{n+1}{1}\}{(1n+1?)} 的 生成函數
一. 生成函數 ( 母函數 ) 的定義
1. 生成函數定義
( 1 ) 生成函數的定義
生成函數定義 :
- 1.假設條件 : 設 a0,a1,?,ana_0 , a_1 , \cdots , a_na0?,a1?,?,an? 是一個數列 ;
- 2.形式冪級數 : 使用 該 數列 做 形式冪級數 A(x)=a0+a1x+a2x2+?+anxn+?A(x) = a_0 + a_1x +a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdotsA(x)=a0?+a1?x+a2?x2+?+an?xn+?
- 3.生成函數 : 稱上述 A(x)A(x)A(x) 是 數列 a0,a1,?,ana_0 , a_1 , \cdots , a_na0?,a1?,?,an? 的 生成函數 ;
( 2 ) 形式冪級數 ( 參考 )
形式冪級數 :
- 1.冪級數 : 數學分析 中 重要概念 , 在 指數級的 每一項 均為 與 級數項 序號 nnn 相對應的 以 常數倍的 (x?a)(x-a)(x?a) 的 nnn 次方 ( nnn 是從 000 開始計數的整數 , aaa 為常數 ) ;
- 冪級數用途 : 其 被 作為 基礎內容 應用到了 實變函數 , 復變函數 , 等眾多領域 中 ;
- 2.形式冪級數 : 是 數學中 的 抽獎概念 , 從 冪級數 中 抽離出來 的 代數對象 ; 形式冪級數 和 從 多項式 中 剝離出的 多項式環 類似 , 但是 其 允許 無窮多項式 因子 相加 , 但不像 冪級數 一般 要求 研究 是否收斂 和 是否有確定的 取值 ;
- ① 假設條件 : 設 xxx 是一個符號 , ai(i=0,1,2,?)a_i ( i = 0 , 1 , 2 , \cdots )ai?(i=0,1,2,?) 為實數 ;
- ② 未定元 形式冪級數 : A(x)=a0+a1x+a2x2+?+anxn+?=∑n=0∞A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty}A(x)=a0?+a1?x+a2?x2+?+an?xn+?=n=0∑∞? 稱為 xxx 的未定元 的 一個 形式冪級數 ;
- 3.研究重點 : 形式冪級數 中 , xxx 從來 不指定具體數值 , 不關心 收斂 或 發散 , 關注的重點是其 系數序列 a0,a1,?,ana_0 , a_1 , \cdots , a_na0?,a1?,?,an? , 研究形式冪級數 完全可以 歸結為 討論 這些系數序列 ;
2. 生成函數 示例
( 1 ) 生成函數 示例 1 ( an=(mn)a_n = \dbinom{m}{n}an?=(nm?) )
示例題目 : 設 an=(mn)a_n = \dbinom{m}{n}an?=(nm?) , mmm 為正整數 , 求數列 {an}\{a_n\}{an?} 的生成函數 A(x)A(x)A(x) ;
解 :
① 列出生成函數 :
A(x)=(m0)x0+(m1)x1+(m2)x2+?+(mn)xnA(x) = \dbinom{m}{0}x^0 + \dbinom{m}{1}x^1 + \dbinom{m}{2}x^2 + \cdots + \dbinom{m}{n}x^nA(x)=(0m?)x0+(1m?)x1+(2m?)x2+?+(nm?)xn
② 列出其累加生成函數 : A(x)=∑n=0∞(mn)xnA(x) = \sum_{n=0}^\infty \dbinom{m}{n}x^nA(x)=n=0∑∞?(nm?)xn
③ 當 nnn 大于 mmm 時 , 從 mmm 中 取 nnn , 即 (mn)\dbinom{m}{n}(nm?) 為 0 , 因此可以 直接計算 從 n=0n=0n=0 到 n=mn=mn=m 的值 , 即 得到如下步驟 :
A(x)=∑n=0∞(mn)xn=∑n=0m(mn)xnA(x) = \sum_{n=0}^\infty \dbinom{m}{n}x^n = \sum_{n=0}^m \dbinom{m}{n}x^n A(x)=n=0∑∞?(nm?)xn=n=0∑m?(nm?)xn
④ 根據 二項式定理 的推論內容 ( 設 nnn 是正整數 , 對一切 xxx 有 (1+x)n=∑k=0n(nk)xk(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}x^k(1+x)n=∑k=0n?(kn?)xk ) 可以得到
A(x)=∑n=0∞(mn)xn=∑n=0m(mn)xn=(1+x)mA(x) = \sum_{n=0}^\infty \dbinom{m}{n}x^n = \sum_{n=0}^m \dbinom{m}{n}x^n = (1 + x)^mA(x)=n=0∑∞?(nm?)xn=n=0∑m?(nm?)xn=(1+x)m
⑤ 數列 an=(mn)a_n = \dbinom{m}{n}an?=(nm?) ( mmm 為正整數 ) , 的 生成函數 為 :
A(x)=(1+x)mA(x) = (1 + x)^mA(x)=(1+x)m
注意 : 生成函數 從屬于 一個數列 , 說明生成函數時 , 先說明其數列 , 指明 數列 的 生成函數 是 某個函數 ;
( 2 ) 生成函數 示例 2 ( {kn}\{k^n\}{kn} )
題目 : 給定 正整數 kkk , 求 {kn}\{k^n\}{kn} 的生成函數 ;
① 寫出生成函數 : 將 {kn}\{k^n\}{kn} 作為形式冪級數 系數 , 可以得到 如下 等比數列 , 當 xxx 充分小的時候 , 其收斂到 11?kx\frac{1}{1-kx}1?kx1? ;
A(x)=k0x0+k1x1+k2x2+k3x3+?=11?kxA(x) = k^0x^0 + k^1x^1 + k^2x^2 + k^3x^3 + \cdots = \frac{1}{1-kx}A(x)=k0x0+k1x1+k2x2+k3x3+?=1?kx1?
② {kn}\{k^n\}{kn} 數列的 生成函數 為 :
A(x)=11?kxA(x) = \frac{1}{1-kx}A(x)=1?kx1?
2. 牛頓二項式
( 1 ) 牛頓二項式 系數
牛頓二項式 系數 : 組合數的擴展 , C(m,n)C(m, n)C(m,n) 上項不再是大于等于 nnn 的數了 , 而是任意實數 ;
- 1.條件 : 任意 實數 rrr , 和 整數 nnn ;
- 2.公式 : (rn)={0,n<01,n=0r(r?1)?(r?n+1)n!,n>0\dbinom{r}{n} = \begin{cases} 0, & n < 0 \\ 1, & n=0 \\ \cfrac{r(r-1)\cdots(r-n+1)}{n!}, & n>0 \end{cases}(nr?)=????????0,1,n!r(r?1)?(r?n+1)?,?n<0n=0n>0?
- 3.結論 : 該 (rn)\dbinom{r}{n}(nr?) 沒有 組合意義 , 只是 記號 , 稱為 牛頓二項式系數 ;
選取問題中 :
- 不可重復的元素 , 有序的選取 , 對應 集合的排列 ; P(n,r)=n!(n?r)!P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!}P(n,r)=(n?r)!n!?
- 不可重復的元素 , 無序的選取 , 對應 集合的組合 ; C(n,r)=P(n,r)r!=n!r!(n?r)!C(n,r) = \dfrac{P(n,r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}C(n,r)=r!P(n,r)?=r!(n?r)!n!?
- 可重復的元素 , 有序的選取 , 對應 多重集的排列 ; 全排列=n!n1!n2!?nk!全排列 = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}全排列=n1?!n2?!?nk?!n!? , 非全排列 kr,r≤nik^r , \ \ r\leq n_ikr,??r≤ni?
- 可重復的元素 , 無序的選取 , 對應 多重集的組合 ; N=C(k+r?1,r)N= C(k + r - 1, r)N=C(k+r?1,r)
( 2 ) 牛頓二項式 定理
牛頓二項式定理 :
- 1.條件 : α\alphaα 為 實數 , 對于一切 x,yx , yx,y , 并且 ∣xy∣<1\left| \frac{x}{y} \right| < 1∣∣∣?yx?∣∣∣?<1 ;
- 2.結論 : (x+y)α=∑n=0∞(αn)xαyα?n( x + y ) ^ \alpha = \sum^{\infty}_{n=0}\dbinom{\alpha}{n}x^\alpha y^{\alpha - n}(x+y)α=n=0∑∞?(nα?)xαyα?n 其中 (αn)=α(α?1)?(α?n+1)n!\dbinom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}(nα?)=n!α(α?1)?(α?n+1)?
- 3.與 二項式定理 關系 : 牛頓二項式定理 是 二項式定理 的 推廣 , 二項式定理是 牛頓二項式定理 的 特例 ;
- ① 當 α=m\alpha = mα=m , 且 mmm 為正整數時 , 當 n>mn > mn>m 時 , (mn)=0\dbinom{m}{n}=0(nm?)=0 , 因此只需要考慮 n<mn<mn<m 的情況 , 此時 牛頓二項式定理 變成 二項式定理 : (x+y)m=∑n=0m(mn)xmym?n( x + y ) ^ m = \sum^{m}_{n=0}\dbinom{m}{n}x^m y^{m - n}(x+y)m=n=0∑m?(nm?)xmym?n
(1+x)m=∑n=0m(mn)xmym?n( 1 + x ) ^ m = \sum^{m}_{n=0}\dbinom{m}{n}x^m y^{m - n}(1+x)m=n=0∑m?(nm?)xmym?n
- ① 當 α=m\alpha = mα=m , 且 mmm 為正整數時 , 當 n>mn > mn>m 時 , (mn)=0\dbinom{m}{n}=0(nm?)=0 , 因此只需要考慮 n<mn<mn<m 的情況 , 此時 牛頓二項式定理 變成 二項式定理 : (x+y)m=∑n=0m(mn)xmym?n( x + y ) ^ m = \sum^{m}_{n=0}\dbinom{m}{n}x^m y^{m - n}(x+y)m=n=0∑m?(nm?)xmym?n
二. 常用 生成函數 ( 重要 )
1. 與常數相關的生成函數
( 1 ) {1n}\{1^n\}{1n} 的 生成函數
常用生成函數 :
- 1.形式冪級數 ( 數列 ) :{an}\{a_n\}{an?} , an=1na_n = 1^nan?=1n ;
- 2.生成函數展開 :
A(x)=∑n=0∞xn=11?x\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \\ & = \frac{1}{1-x} \end{aligned}A(x)?=n=0∑∞?xn=1?x1??
( 2 ) {(?1)n}\{(-1)^n\}{(?1)n} 的 生成函數
常用生成函數 :
- 1.形式冪級數 ( 數列 ) :{an}\{a_n\}{an?} , an=(?1)na_n = (-1)^nan?=(?1)n ;
- 2.生成函數展開 :
A(x)=∑n=0∞(?1)nxn=11+x\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \\ & = \frac{1}{1+x} \end{aligned}A(x)?=n=0∑∞?(?1)nxn=1+x1??
( 3 ) {kn}\{k^n\}{kn} ( kkk為正整數 ) 的 生成函數
常用生成函數 :
- 1.形式冪級數 ( 數列 ) :{an}\{a_n\}{an?} , an=kna_n = k^nan?=kn , kkk 為正整數 ;
- 2.生成函數展開 :
A(x)=∑n=0∞knxn=11?kx\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} k^n x^n \\ & = \frac{1}{1-kx} \end{aligned}A(x)?=n=0∑∞?knxn=1?kx1??
2. 與 二項式系數 相關的生成函數
( 1 ) {(mn)}\{\dbinom{m}{n}\}{(nm?)} 的 生成函數
常用生成函數 :
- 1.形式冪級數 ( 數列 ) :{an}\{a_n\}{an?} , an=(mn)a_n = \dbinom{m}{n}an?=(nm?)
- 2.生成函數展開 :
A(x)=∑n=0∞(mn)xn=(1+x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{m}{n} x^n \\ & = ( 1 + x ) ^m \end{aligned}A(x)?=n=0∑∞?(nm?)xn=(1+x)m?
3. 與 組合數 相關的生成函數
( 1 ) {(m+n?1n)}\{\dbinom{m+n-1}{n}\}{(nm+n?1?)} 的 生成函數
常用生成函數 :
- 1.形式冪級數 ( 數列 ) :{an}\{a_n\}{an?} , an=(m+n?1n)a_n = \dbinom{m+n-1}{n}an?=(nm+n?1?) , m,nm,nm,n 為正整數 ;
- 2.生成函數展開 :
A(x)=∑n=0∞(m+n?1n)xn=1(1?x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{m+n-1}{n} x^n \\ & = \frac{1}{{(1-x)}^m} \end{aligned}A(x)?=n=0∑∞?(nm+n?1?)xn=(1?x)m1??
( 2 ) {(?1)n(m+n?1n)}\{(-1)^n \dbinom{m+n-1}{n}\}{(?1)n(nm+n?1?)} 的 生成函數
常用生成函數 :
- 1.形式冪級數 ( 數列 ) :{an}\{a_n\}{an?} , an=(?1)n(m+n?1n)a_n = (-1)^n \dbinom{m+n-1}{n}an?=(?1)n(nm+n?1?) , m,nm,nm,n 為正整數 ;
- 2.生成函數展開 :
A(x)=∑n=0∞(?1)n(m+n?1n)xn=1(1+x)m\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dbinom{m+n-1}{n} x^n \\ & = \frac{1}{{(1+x)}^m} \end{aligned}A(x)?=n=0∑∞?(?1)n(nm+n?1?)xn=(1+x)m1??
( 3 ) {(n+11)}\{ \dbinom{n+1}{1}\}{(1n+1?)} 的 生成函數
常用生成函數 :
- 1.形式冪級數 ( 數列 ) :{an}\{a_n\}{an?} , an=(n+1n)a_n = \dbinom{n+1}{n}an?=(nn+1?) , nnn 為正整數 ;
- 2.生成函數展開 :
A(x)=∑n=0∞(n+1n)xn=∑n=0∞(n+1)xn=1(1?x)2\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} \dbinom{n+1}{n} x^n \\ & = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n \\ & = \frac{1}{{(1-x)}^2} \end{aligned}A(x)?=n=0∑∞?(nn+1?)xn=n=0∑∞?(n+1)xn=(1?x)21??
總結
以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： 【嵌入式开发】ARM 代码搬移 ( AR
- 下一篇： 【Android 应用开发】Paint