題面
題解

A.

解

對于一個節點 \(x\) ，如果 \(x\) 的 \(2^k\) 級祖先存在，那么把 \(fa[x][k]\) 的答案-1。

Code

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=100003,maxlog=19; vector<int> g[maxn]; int n,k,sz[maxn],ans[maxn],fa[maxn][maxlog],dep[maxn]; void init(int u,int last){fa[u][0]=last;for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];sz[u]=1;for(int i=0;i<int(g[u].size());i++){int v=g[u][i];if(v==last)continue;dep[v]=dep[u]+1;init(v,u);sz[u]+=sz[v];} } int Fa(int u,int k){for(int i=maxlog-1;i>=0;i--){if((k>>i)&1)u=fa[u][i];}return u; } int main(){scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);}init(1,0);for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]=sz[i]-1;for(int i=1;i<=n;i++){int x=Fa(i,k+1);if(x)ans[x]-=sz[i];}for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",ans[i]);return 0; }

B.

解 \(\text{40pts}\)

亂做一通背包。復雜度 \(O(n^2k)\) 。

Code \(\text{40pts}\)

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int mod=1000000009; int Plus(int x,int y){return (x+=y)>=mod?x-mod:x;} void PlusEqual(int &x,int y){if((x+=y)>=mod)x-=mod;} int mul(long long x,int y){return x*y%mod;} const int maxn=13,maxm=100003; int n,m,dp[maxn][maxm]; int main(){while(scanf("%d%d",&m,&n),n||m){for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)dp[i][j]=0;dp[0][0]=1;for(int k=1;k<=m;k++){for(int i=n;i>=1;i--){for(int j=k;j<=m;j++){PlusEqual(dp[i][j],mul(dp[i-1][j-k],4));if(i>=2&&j>=k*2)PlusEqual(dp[i][j],mul(dp[i-2][j-k*2],6));if(i>=3&&j>=k*3)PlusEqual(dp[i][j],mul(dp[i-3][j-k*3],4));if(i>=4&&j>=k*4)PlusEqual(dp[i][j],dp[i-4][j-k*4]);}}}int ans=0;for(int i=0;i<=n;i++)PlusEqual(ans,dp[i][m]);printf("%d\n",ans);}return 0; }

C.

解

\(\huge{\% 10^8+7}\)

考場上打表 \(\text{10pts}\) 。
如果你寫對了打表程序，并輸出了所有方案，你會發現對于固定的 \(n\) ，只有兩種方案是本質不同的。
第一種是把整個正方形拆成幾個小正方形。

第二種如圖。

然后問題就轉化為對于整數 \(n\) ，把其拆成若干個 \(\geq 2\) 的正整數的本質不同的方案數。
或者可以這么考慮：建圖，若某一行的兩個X位于列 \(i\) 、列 \(j\) ，連邊 \((i,j)\) 。最后你會發現對于所有合法方案，這個圖都由幾個不相鄰的簡單環組成，且對于所有本質相同的方案，圖的形態是一樣的。這樣更容易得出上述結論。
所以直接 \(O(n^2)\;\text{dp}\) 。

Code

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int mod=100000007; int Plus(int x,int y){return (x+=y)>=mod?x-mod:x;} void PlusEqual(int &x,int y){if((x+=y)>=mod)x-=mod;} int mul(long long x,int y){return x*y%mod;} const int maxn=2001; int dp[maxn][maxn]; int main(){dp[0][0]=1;for(int i=1;i<maxn;i++){for(int j=1;j<=i;j++){PlusEqual(dp[i][j],Plus(dp[i-j][j],dp[i-1][j-1]));}}int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n;scanf("%d",&n);int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)PlusEqual(ans,dp[n-i][i]);printf("%d\n",ans);}return 0; }

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總結

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