? ? 在一個無向連通圖中，如果任意去掉一個定點i及依附于i的所有邊后得到的圖仍然連通，
則稱該圖為“2-連通圖”。否則，若得到多個連通分量，則該圖不是雙連通的，頂點i被稱為
“割點 ”。
??? 簡單的說，在雙連通圖中，任何一對頂點都至少存在兩條路徑可以互相到達。圖的連通
性不會任何一個頂點的影響。這個性質具有許多重要的應用價值，例如現實中的通訊網絡部署，
出于可靠性和容錯性的考慮，在結構上應考慮多連通性，盡量避免割點的存在。這樣就算一個
通信節點損毀，也不會對其他節點的通信造成影響。
??? 無向圖的極大雙連通子圖被稱為2-連通分量。一個無向圖都具有一個或多個2-連通分量。
如果圖本身是一個雙連通圖，那么它本身是自己唯一的2-連通分量。一個無向圖具有2個或以
上2分量時，不難看出它的任意兩個2分量最多只可能有一個公共頂點。因為如果有多于一個公
共頂點，就可以證明這兩個2分量實際上可以組成一個更大的2分量，從而引起矛盾。進一步還
可以得出同一條邊不可能處于多個二分量之中，因為一條邊有兩個頂點，如果一條邊屬于多個
二分量，則相當于兩個頂點可以同時處于多個二分量之中，這與前述矛盾。
??? 綜上，所有二分量實際上把圖劃分為了不相交的子集，連接不同二分量的邊成為割邊。
???
??? 可以利用深度優先搜索求2-連通分量。如果生成樹的root是割點，當且僅當它有多于一個
子女。如果生成樹的非根節點是割點，當且僅當它沒有一個后代可以通過后向邊回到它的祖先。
根據這些條件，我們定義一個點的時間戳為深度優先數，代表著頂點在深度優先搜索時被訪問
的先后次序，記為D。如果D(i)<D(j)，表明i點在serch過程中先于j點被訪問。為了比較方便的
知道一個頂點是不是割點，對頂點定義參數low，low[i]為從i或其后代出發，通過后向邊所能達
到的最小深度優先數。 low[i]=min{ D(i) , min{low[j]|j為i的子女} , min{D(k)|(i,k)為后向邊} }
????//edge為無向圖邊表，n為頂點數,?e總邊數
????void?TwoCC(int?n,int?e){
????????//D,low
????????//S?棧保存二分量邊
????????int?*D=(int?*)malloc(sizeof(int)*(n+1));
????????int?*low=(int?*)malloc(sizeof(int)*(n+1));
????????int?*S=(int?*)malloc(sizeof(int)*(2*e));
????????memset(D,0,sizeof(D));
????????memset(low,0,sizeof(low));
????????for(int?i=0;?i<n;?i++){
????????????//?若未訪問則以此為起點尋找二分量
????????????if(D[i]==0)
????????????????DFS(i,-1,1,D,low,S,0);
????????}
????}
???
????//?從u做DFS，v是u之父,num為目前深度優先數
????//?top?-->?S
????void?DFS(int?u,int?v,int?num,int?D[],int?low[],int?S[],int?top){
????????D[u]=low[u]=num++;
????????Edge*?l?=?edge[u];
???????
????????//?搜索所有與i鄰接之頂點
????????while(l){
????????????if(?v!=?l->dest?&&?D[l->dest]?<?D[u]?){
????????????????//?連通分量邊壓棧
????????????????S[top++]=u;
????????????????S[top++]?=?l->dest;
????????????}
????????????if(?D[l->dest]?==?0?){
????????????????DFS(l->dest,u,num,D,low,S,top);
????????????????low[u]=(?low[u]?<?low[l->dest]?)??low[u]?:?low[l->dest];
???????????
????????????????//?無后向邊，分量結束
????????????????if(?low[l->dest]?==?0?){
????????????????????cout<<"A?2-CC?found:"<<endl;
????????????????????do{
????????????????????????int?x?=?S[--top];
????????????????????????int?y?=?S[--top];
????????????????????????cout<<x<<"?"<<y<<endl;
????????????????????????if(?x==?u?&&?y?==?l->dest?)?break;
????????????????????}while(1)
????????????????}
????????????}
????????????else
????????????????if(?l->dest?!=?v?){
????????????????????//?如果l-dest已經被訪問過，并且不等于父頂點v，證明有后向邊更新low
????????????????????low[u]?=?(?low[u]?<?D[l->dest]?)???low[u]?:?D[l->dest];
????????????????}
????????????l=l->next;
????????}
???????
????}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的双连通分量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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