米切爾·費根鮑姆（圖片來源：Flickr）

　　40 多年前的洛斯阿拉莫斯國家實驗室，一位助手對一類數列的研究引起了轟動，因為它涉及了大自然的核心的秘密：從這個數列中，可以發現大自然中一個基本的無量綱常數——4.6692……。這個常數像圓周率一樣，充滿了神秘的未知，也引領著科學的發展。

　　撰文：張華

　　國家實驗室的“小助手”

　　米切爾·費根鮑姆（Mitchell J. Feigenbaum）1944 年出生在美國費城。第二次世界大戰結束后，費根鮑姆一家遷回紐約布魯克林居住。他的父親在紐約港務局工作，母親在公立學校教書。

　　在少年時代，費根鮑姆對電氣工程師產生了朦朧的興趣，因為他了解到電氣工程師可以研究收音機，而且收入很高。因此，高中時的他選擇了紐約市立大學的電氣工程專業。不過，他上了大學才明白，自己渴望了解的收音機知識“只不過是物理學的一小部分”。

　　所以，1964 年從紐約市立大學畢業后，費根鮑姆進入麻省理工學院攻讀粒子物理學的博士學位。1970 年，費根鮑姆獲得物理學的博士學位，但這時，費根鮑姆對物理學的興趣也有所轉移，他開始喜歡上了數學——嚴格來說，他希望用當時還比較罕見的計算機來算一些數字。在他之前，已經有一位叫洛倫茲的物理學家利用計算機做天氣預報，計算機編程也開始成為科學研究的手段。洛倫茲首次在微分方程組中發現了“混沌現象”的代表——蝴蝶效應。

　　博士畢業后，費根鮑姆進入了康奈爾大學，但因為他很少發表論文，看起來物理研究做得很一般。1972 年，費根鮑姆來到弗吉尼亞理工學院，一邊教書一邊思考自己感興趣的數學問題。這時的他有點“非主流”——當時粒子物理學家的“主流”工作是，面對加速器對撞機不斷生成的粒子數據，研究標準模型、解釋強相互作用與弱相互作用的本質。1974 年，他跳槽到洛斯阿拉莫斯國家實驗室理論部給一個教授做助手。

　　費根鮑姆只在洛斯阿拉莫斯實驗室謀到一個助手的職位。雖然地位不高、工資也不高，但費根鮑姆可以用那里的計算機做科學計算。對他來說，這已經足夠了。

　　利用計算機，他發現了數學物理中的一個很深邃的常數，相當于“發現了一個新的圓周率”，這一舉奠定了自己在數學物理界的宗師地位。有人甚至預測，他可能因為這一貢獻而獲得諾貝爾獎。

　　拋物線映射

　　為了理解費根鮑姆的發現，我們需要從數列的周期說起。

　　最簡單的周期性數列可以很任意，比如以下數列：

　　1，2，1，2，1，2 ……

　　當然，還有一些數列的周期性則要復雜的多，也要有趣得多。

　　比如費根鮑姆研究的數列：

　　也可以表現出周期性，而且隨著參數b的不斷增加，它表現出來的周期性會不斷增加，會從二周期變成四周期，然后變成八周期……

　　這個數列在數學或者物理學上被叫做“邏輯斯蒂映射”或者“拋物線映射”。

　　為了方便理解，我們假設這個數列的第一項是一個比 1 小的正數。前面已經說到，這個映射其實可以看成是一個拋物線映射，因為后一項與前一項的關系滿足拋物線的方程。

　　所以，這里的關鍵問題是，常數b等于多少——b的數值是任意的，但做數值計算時，必須首先設定這個參數。

　　費根鮑姆固定了不同的參數b，利用計算機算這個數列的后續項。很容易看出，當常數b選擇到一些特定的數字時，經過多次迭代，整個數列最后會收斂到一個“不動點”。即當n較大時，數列中的后續項變成了：

　　這相當于，這個不動點是拋物線方程的一個根。不動點其實就是“周期1”（周期為1）。

　　隨后，費根鮑姆繼續調整參數b。

　　他發現，當b增大到 3 的時候，系統的不動點就消失了，而是出現了周期 2 分叉，最后穩定下來的情況是x_n在兩個值之間跳來跳去。

　　隨后，費根鮑姆繼續調整參數b，讓b繼續增大。當b增加到了一定程度，周期會從 2 變成4。繼續增加b，周期又會相繼變為 8 與 16……這個現象叫做倍周期分叉。

　　費根鮑姆常數

　　如果只發現了這些現象，是無法構成一篇完美、具有歷史價值的論文的。但是，費根鮑姆的偉大之處在于，他開始考慮當參數b滿足什么條件時，會出現倍周期的分叉、這些分叉點的參數b又有什么特點。

　　終于，在 1978 年的《統計物理學》期刊上，費根鮑姆發表了他的重要發現。

　　在費根鮑姆的文章中，他用希臘字母δ來標記這個常數

　　在費根鮑姆的發現中，出現倍周期分叉的相鄰參數b之間可以定義出一個差值（相當于距離）。比如b₁就是開始出現 2 周期分叉時的參數值；b₂是開始出現 4 周期分叉時的參數值；而b₃是開始出現 8 周期分叉時的參數值。

　　費根鮑姆的重要發現如下：出現倍周期分叉的b的那些數值，距離之比接近一個常數，這個常數大概等于 4.6692……。

　　費根鮑姆同時還研究了別的映射，比如三角函數相關的映射，也得到了同樣的常數。于是，他強調，這個數是“普適的”（universal）。也就是說，這個數不但對拋物線映射成立，而且對其他很多類似的映射也成立。

　　這意味著，這個常數背后有一個巨大的秘密。后來有人用量子統計與量子場論中的重整化群對這個常數進行了研究，取得了更多的進展。這個常數看起來比圓周率更深邃，但它的幾何意義到底是什么，一直沒有人能說清楚。甚至連這個常數到底是不是一個無理數，至今也還沒有答案。

　　但我們確定的是，費根鮑姆常數與混沌理論有著密切的聯系。費根鮑姆常數在拋物線映射中發現的倍周期分叉，其實是另一種“混沌”的前奏（數列是一種離散動力系統，離散動力系統中也存在混沌）。

　　由于費根鮑姆的常數大于1，也就是說倍周期分叉的“距離”之比是一個等比數列，而這個等比數列雖然有無限多項，但總和是有限的。在參數b小于 3.57 時，這種以 2 為周期開始的倍周期分叉已經結束了。而當參數b大于 3.57 時，開始出現周期 3 開始的倍周期分叉——而根據李天巖與約克的定理：“周期 3 的出現預示著混沌的出現”，這意味著在拋物線映射中，也是可以出現混沌的。

　　無論是洛倫茲發現的微分方程（連續動力系統）中的混沌，還是費根鮑姆發現的數列中的混沌，都標志著一項新的物理學革命。混沌現象都是用計算機意外發現的，這也是電腦幫助人們做科學研究的典范。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的4.6692……：一个比圆周率更神秘的常数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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