題目鏈接：CSAPC08臺灣邀請賽_T1_skyline

題目描述

一座山的山稜線由許多片段的45度斜坡構成，每一個片段不是上坡就是下坡。
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/? * / ?/ * /? // ?/ // / 在我們眼前的所見的任何寬度為n個單位的山稜形狀，可以輕松地觀察到所有山頂的位置。

請問有多少種山稜線的形狀，使得所有山頂的位置由左而右非遞減呢？

所有的山稜線都必須完整，也就是說左右兩端都必須是高度為0的山腳，而且不能有任何山谷的位置隱沒在地平線底下。

輸入輸出格式

輸入格式

輸入僅包含一個數字n，n一定會是偶數，因為會有相同片段數量的上坡以及下坡。

輸出格式

請輸出山頂位置由左而右非遞減的山稜線形狀總數。
由于答案可能很大，你只要輸出以十進位表示時，它的最后9位數即可。

樣例

INPUT

6

OUTPUT

4

HINT

佔總分20%的測試數據中 n<=60

佔總分40%的測試數據中 n<=200

佔總分100%的測試數據中 n<=3000

SOLUTION

這題考場上耗了我大半的時間還沒搞出來qwq。

首先，根據題意分析，很容易就能看出這是個區間dp。

區間dp怎么傳遞呢？看到題目要求：求寬度為\(n\)，山頂高度非降的方案和。所以我們可以開一個二維數組\(dp[i][j]\)記錄答案：第一維\(i\)用來記錄限定條件：“寬度”；第二維\(j\)來記錄限定條件：這些山峰的最高高度\(j\)，以便轉移。

但是啊，我們的\(dp\)數組只能記錄最高高度為\(j\)的情況，那如果我要拓寬寬度的話，肯定是不能再把所有的最高高度的情況又重新枚舉累加的，所以考慮用一個前綴和數組\(sum[i][j]\)來記錄寬度為\(i\)，最高高度限定為\(j\)（可以小于\(j\)）的所有情況，可以說\(sum\)數組就是把寬度為\(i\)的所有合法情況記錄了下來。

接下來就是轉移了。

首先我們有兩大種情況：
Ⅰ.我們的\(dp[i][j]\)的情況可以直接由\(dp[i-1][j-1]\)的情況得到；
這就相當于可以想象把\(dp[i-1][j-1]\)中包含的山的情況整體往上拱了一層。如下圖：

Ⅱ.我們也可以通過在\(sum[i-2][j]\)的基礎上加上一座最小的山。如下圖：

因為\(sum[i-2][j]\)加上一座單位高度的小山已經把類似于最低山的高度大于單位長度的所有情況考慮了進來，而我們的情況Ⅰ就是對應著這種“最低山的高度大于單位長度”的所有情況。

所以任何情況已經可以用以上兩種情況相互疊加著表示，可以保證的是這么算目前已經沒有遺漏了。

但其實還會存在一個小問題。

在整體寬度為\(i+j\)時，假設我們的右邊有一座高度為\(j\)的山峰，那么顯然地，這座山峰的寬度為\(2j\)，所以去掉右邊的山峰后，我們左邊部分的山峰寬度為\(i-j\)，那么我們的\(sum[i-2j][j]\)就可以表示當前說的這種情況的所有方案，此時是合法的。

不過我們若將左邊部分的寬度減少一個單位勻給右邊部分，右邊部分一定不能在保持只有一座山峰的情況下保證最高高度為\(j\)，所以不合法。

但是可能會有點想不通的是：為什么右邊就一定只能有一座山峰呢？

其實，注意一下我們的轉移方程，我們的\(sum[i-2][j]\)是通過和一個單位高度的山峰組合在一起作為答案加進我們的\(dp\)數組里去的，然后當我們的單位高度小山峰被墊高到了高度\(j\)時，與它同組搭配的\(sum\)數組的組合情況就必須考慮一下其合法性了，因為這種非法組合也本來就不能算在答案里。于是考慮刪除。

代碼就在下面，這篇題解其實更多就是對下面的代碼的解釋因為這個標程一點注釋都沒有啊。

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> using namespace std; const int N=3010; const int P=1000000000; int n,dp[N][N],sum[N][N]; int main(){int i,j;memset(dp,0,sizeof(dp));memset(sum,0,sizeof(sum));dp[1][1]=1;sum[1][1]=1;for (i=2;i<=3000;++i){for (j=1;j<i;++j){if ((i+j)%2==0){dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]+sum[i-2][j])%P;if (i-j-j>0) {dp[i][j]=(dp[i][j]-sum[i-j-j-1][j]+P)%P;}}sum[i][j]=(sum[i-1][j]+dp[i][j])%P;}dp[i][i]=1;sum[i][i]=1;}while (scanf("%d",&n)!=EOF){int ans=0;for (i=1;i<=n/2;++i) {ans=(ans+dp[n-i][i])%P;}printf("%d\n",ans);}return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/hkpls/p/9804095.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CSAPC08台湾邀请赛_T1_skyline的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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