· 定義

　　對于有向無環圖$G (V, E)$，類似最小生成樹的定義，有向圖最小樹形圖即在有向圖上查找總權值和最小的樹形圖（即有向邊的樹）。

· 朱 - 劉算法

　　對于每個點先選取到達它的最小的邊，這樣可組成一個邊集E₁，顯然，該邊集權值和最小，但不一定是樹。

　　在該邊集上進行縮點，并判斷是否有解（是否有點無入度，或若有根無出度），在融會$G$中，記為G₁。

　　當然，若此時沒有找到有向環且有解，說明在當前圖上已找到最小樹形圖，那么將原來的縮點解開，即除了當前樹形圖上的弧之外，將縮點內沒有與已知弧有相同終點的邊選出，如此構成了G的最小樹形圖。

　　反之，則進行改邊：先省去縮點內邊；對于由縮點內出去的邊，保持原權值即可；對于進入縮點的邊，令V_s表示縮點點集，對于?v ∈ V_s，?u ? V_s，有<u, V> = <u, v> - v的最小入權邊，是因為這樣將權值相加的話，就相當于刪去了縮點中擁有相同終點的邊。

　　這樣更改完點集與邊集，進行重復運算即可。

　　對于無根樹，建立超級根節點即可。

　　其中，復雜度$O (nm)$。

· 代碼

　　（該代碼僅求最小權值總和，這樣是不需解開縮點的）

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1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 5 using namespace std; 6 7 typedef long long LL; 8 9 const int MAXN = 100 + 10; 10 const int MAXM = 1e04 + 10; 11 12 const int INF = 0x7fffffff; 13 14 struct Edge { 15 int u, v; 16 int w; 17 18 Edge () {} 19 20 Edge (int fu, int fv, int fw) : 21 u (fu), v (fv), w (fw) {} 22 } ; 23 24 Edge Edges[MAXM]; 25 26 LL ans = 0; 27 28 int Inw[MAXN]; 29 int pre[MAXN]; 30 31 int Belong[MAXN]; 32 int Vis[MAXN]; 33 34 void Zhu_Liu (int root, int V, int E) { 35 while (true) { 36 for (int i = 1; i <= V; i ++) 37 Inw[i] = INF; 38 39 for (int i = 1; i <= E; i ++) { 40 int u = Edges[i].u; 41 int v = Edges[i].v; 42 int w = Edges[i].w; 43 44 if (u == v) 45 continue; 46 47 if (w < Inw[v]) { 48 Inw[v] = w; 49 pre[v] = u; 50 } 51 } 52 53 for (int i = 1; i <= V; i ++) 54 if (Inw[i] == INF && i != root) { 55 ans = - 1; 56 57 return ; 58 } 59 60 memset (Belong, - 1, sizeof (Belong)); 61 memset (Vis, - 1, sizeof (Vis)); 62 Inw[root] = 0; 63 64 int cnt = 0; 65 for (int i = 1; i <= V; i ++) { 66 ans += Inw[i]; 67 68 int pres = i; 69 while (Vis[pres] != i && Belong[pres] == - 1 && pres != root) { 70 Vis[pres] = i; 71 pres = pre[pres]; 72 } 73 74 if (Belong[pres] == - 1 && pres != root) { 75 cnt ++; 76 for (int p = pre[pres]; p != pres; p = pre[p]) 77 Belong[p] = cnt; 78 Belong[pres] = cnt; 79 } 80 } 81 82 if (! cnt) 83 break; 84 85 for (int i = 1; i <= V; i ++) 86 if (Belong[i] == - 1) 87 Belong[i] = ++ cnt; 88 89 for (int i = 1; i <= E; i ++) { 90 int u = Edges[i].u; 91 int v = Edges[i].v; 92 93 Edges[i].u = Belong[u]; 94 Edges[i].v = Belong[v]; 95 96 if (Belong[u] != Belong[v]) 97 Edges[i].w -= Inw[v]; 98 } 99 100 V = cnt; 101 root = Belong[root]; 102 } 103 } 104 105 int N, M, Root; 106 107 int Outdeg[MAXN]= {0}; 108 109 int main () { 110 scanf ("%d%d%d", & N, & M, & Root); 111 112 for (int i = 1; i <= M; i ++) { 113 int u, v, w; 114 scanf ("%d%d%d", & u, & v, & w); 115 116 Edges[i] = Edge (u, v, w); 117 Outdeg[u] ++; 118 } 119 120 if (! Outdeg[Root]) 121 ans = - 1; 122 else 123 Zhu_Liu (Root, N, M); 124 125 printf ("%lld\n", ans); 126 127 return 0; 128 } 129 130 /* 131 4 6 1 132 1 2 3 133 1 3 1 134 4 1 2 135 4 2 2 136 3 2 1 137 3 4 1 138 */ 139 140 /* 141 4 6 3 142 1 2 3 143 1 3 1 144 4 1 2 145 4 2 2 146 3 2 1 147 3 4 1 148 */ 149 150 /* 151 4 6 2 152 1 2 3 153 1 3 1 154 4 1 2 155 4 2 2 156 3 2 1 157 3 4 1 158 */ View Code

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轉載于:https://www.cnblogs.com/Colythme/p/9710789.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的朱 - 刘算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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