我是按照這里的思路來的。這個博文只是感性理解。

遞歸樹

關于遞歸樹，這篇博文講的很好，我只是給自己總結一下。

定義vis數組，在dfs連通圖時賦予它們不同的含義：

vis=0，表示這個點沒有被訪問。

vis=1，表示這個點被訪問了，但是它的孩子還沒有訪問完。

vis=2，表示這個點被訪問了，并且它的孩子訪問完了。

一個連通圖，一定可以表示成一個遞歸樹，加上一些邊。這些邊的種類有：

樹邊，也就是遞歸樹上的邊。表現為訪問(u, v)時，\(vis[v]=0\)。

回邊，是一個點連向它遞歸樹上的祖宗的邊。表現為\(vis[v]=1\)。

前向邊，是一個點連向它遞歸樹上的子孫后代的邊。表現為\(vis[v]=2\)。

橫邊，是一個除了前三種邊以外的邊，也就是說u和v沒有什么祖宗關系。表現為\(vis[v]=2\)。

一個強連通的東西，必定在一棵遞歸樹上，不會分散到多個上。不然那東西就不連通了，想要強連通更是不可能。

對了，如果將dfs訪問到的時間，給遞歸樹上的點編號，一個點的祖先的編號一定比這個點小。

tarjan搞一次出棧的一定是一個強連通的東西

還記得tarjan里，判斷一個點是否出棧的依據嗎？就是\(dfn[u]=low[u]\)。這意味著在u的子結點中，沒有回往u以上的邊，不然\(low[u]<dfn[u]\)。所以根據tarjan算法，如果u出棧，出棧的東西中編號最小的就是u。出棧的東西應該類似于這樣（沒畫有向邊，所以腦補吧）：

也就是說，一個節點只有間接連向u，才能和u組成一個強連通的東西。這導致強連通分量在遞歸樹上，其實就是一堆鏈的集合體，也就是樹。

重點來了。如果tarjan搞出來的東西中，有一些點不和其它點強連通，說明它不能間接連向u，而是會間接連向u的一個兒子v。如果\(low[v]<dfn[v]\)，這個點又可以間接連向\(low[v]\)...，以此類推，最終連向一個可以出棧的點，那個點u的是兒子。這就證明了，一次出棧搞出來的東西，和u都是強連通的。

tajan一次搞出來的，一定是一個強連通分量

這個標題和前面哪一個的區別是什么呢？就是一個是“東西”，一個是“分量”。分量意味著它大的不能再大了。所以這里要證明（彌天大霧，其實我這個根本不算證明）的，就是一次tarjan搞出來的，最小結點為u的強連通分量中，不會有其它點被遺漏。至于這個證明，我貼一個引用過來：

假設出棧的部分不完整，則本應該在這次出棧的點可能存在于棧的哪些部分呢？
1.之前出棧的部分
2.還沒有入棧的部分
3.還沒有出棧的部分
首先看2，不可能。因為假如沒有入棧，說明這些點沒有在這棵深度優先搜索樹中，假如這些點在本該在該強連通分量中，則和定理1相違背，所以情況2中不可能包含本應該出棧的強連通分量中的點。再看3，也不可能。3中的點的dfn 和 low都分別小于本次出棧的點的dfn和low，也就說明本次出棧的點都無法訪問到還沒有出棧的點，所以情況3中不可能包含本應該出棧的強連通分量中的點。最后看情況1，其實情況1和情況3是類似的，之前出棧的部分A如果和本次出棧的強連通分量B可以組成更大的強連通分量，這就等價于，以之前出棧的強連通分量A為視角，亦是說A是不完整的，A中缺少的部分在還未出棧的節點和還沒有訪問的節點之中。這和之前的情況2，情況3推導矛盾，所以，情況1也不可能。

轉載于:https://www.cnblogs.com/MyNameIsPc/p/7966152.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的tarjan求强连通分量的思考的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。