關于級數∑(x n－x n-1)一致收斂性的一點兒理解

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a.? ∑(x ⁿ－x ^n-1)這個級數的一致收斂性有點意思。它在(0，1)這個開區間上不一致收斂，但若任意給一個正數r<1，則在[0，r]這個閉區間上卻一致收斂。聽上去不是一般地繞。當然判斷級數的一致收斂性可以方便地用weierstrass定理（我覺得這個定理證明一個級數是一致收斂的還好用，若證不是一致收斂的就有點難了），不過我這里說的是根據定義去如何理解。

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b. ?先看看一致收斂的定義：設有函數項級數∑u_n (x)。如果對于任意給定的正數ε，都存在著一個只依賴于ε的自然數N，使得當n>N時，對區間I上的一切x，都有不等式

| r_n (x) |=| s(x)－s_n (x) | < ε

成立，則稱函數項級數∑u_n (x)在區間I上一致收斂于和s(x)，也稱函數序列{ s_n (x) }在區間I上一致收斂于s(x)。呼，還好，還好….

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c.? 明白了，原來判斷其是否一致收斂就是要看其余項的絕對值，拿∑(x ⁿ－x ^n-1)來試試：?????????

?∵s(x)=lims_n (x)=lim(x ⁿ)=0??? (n趨于無窮大)

???????????????????????????????∴| r_n (x) |=| s(x)－s_n (x) |= x ⁿ

^?這個值是不滿足定義的，也就是說當我任給一個ε時，其對應一個N，但當n>N時，并非對區間上一切x都有不等式成立，再具體說就是在區間I上，總有不滿足不等式的點存在。比如我現在取一個點x=a在區間內，即令0<a<1，那么顯然0<a^{1/ n}<1也在區間內，因此x= a^{1/ n} 也屬于區間內的點，也該接受檢驗。好了，現在我假設這個級數是一致收斂的，那么我取一個ε< a/2（ε可以任意取嘛），這很容易取到。按照定義，應該會有一個對應的N使得當n>N時，一切x都滿足x ⁿ <ε< a/2，可是很顯然，x= a^{1/ n} 這個點就不滿足這個條件，因此這個假設是錯誤的。

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d.? 剛剛搞清這個，現在卻要面對一個更讓人匪夷所思的結論：這個級數雖然在（0，1）內不一致收斂，但如果任意給一個正數r<1，則在[0，r]這個閉區間上卻一致收斂。這是什么意思？倘若我用剛才的思路如法炮制，在[0，r]內也找一個不滿足條件的點不就使這個結論崩潰了嗎？好吧，讓我們再來演一遍：我取一點x=a在[0，r]區間內，那么x= a^{1/ n}也應在區間[0，r] 內，那么x= a^{1/ n}需要接受檢驗。現在我取一個ε< a/2，同樣地，應該會有一個對應的N使得當n>N時，一切x都滿足x ⁿ <ε< a/2，可是x= a^{1/ n} 這個點不滿足這個條件，所以在[0，r]內該級數不是一致收斂的，這樣結論就錯了。

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e.? 如果各位對真理懷有一點敬畏的話，就不會胡亂懷疑前人總結出來的經典定理。事實上結論沒有錯，錯的是上面那個推導，是推理過程發生了偏差。可是推理是仿效上面的正確推理，一切都按部就班，究竟錯在哪里呢？我們來看一下：大家可以注意一下那行黑體字，實際上這個判斷是沒有根據的，x= a在[0，r]區間內，并不等于說x= a^{1/ n}一定也在區間[0，r] 內。正確的情況是：可能在其內也可能不在其內，比如令r=0.8,a=0.04,當n=2時，a^{1/ n} =0.2，在0.8內，但如果令r=0.1,就不在其內了（r可以是任意取的）據此，就不能以此作為判斷依據。事實上，我猜想，如果最終結論是正確的話，那么x= a^{1/ n}應該是在區間[0，r] 之外的。雖然現在我已經不知道這到底意味著什么（太抽象了），不過我可以運用邏輯作如下證明：

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?????命題：已知任意給一個正數r<1，在[0，r]這個閉區間上級數∑(x ⁿ－x ^n-1)一致收斂，即對于[0，r]內任意一點x都使得x ⁿ <ε成立，那么對于其內一點a（0 < a < r ）, a^{1/ n} 在[0，r]之外。

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??????證明：運用反證法。

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?????假設0 < a^{1/ n} < r 。取一個ε使得ε< a < r ，那么在[0，r]內對于任意x都有

?????x ⁿ <ε

?????做x ⁿ 的導數

?????(x ⁿ)’ = nx ^n-1?>= 0

?????因此該函數在[0，r]內單調遞增，從而MAX{x ⁿ} = r ⁿ，

?????因此有

?????r ^n?<ε

???????????????????????????????????????????????????=>?? r ^n?<ε< a

???????????????????????????????????????????????????=>?? r< a^{1/ n}

????????????這與假設矛盾，故假設錯誤。a^{1/ n} > r , 即 a^{1/ n} 在[0，r]之外。證畢。^_^！

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f.? 這個級數之所以這么特殊，是因為余項的形態和所選區間之故，因為余項為x ⁿ 而區間為（0，1），這就導致當x趨于1時無論n為多少余項必然會趨于1，因此x無限接近于1時，x ^n?也必然無限接近于1，這樣就不滿足接近于0（ε充分小）的條件了。這也就比較好形象地理解它為什么不是一致收斂了，對于一致收斂的級數，每一個區間內的點最終都會同時到達終點，但對于非一致收斂函數（像今天討論的這個例子），雖然可以保證每一個區間內的點最終都會到達終點，但卻不可能有同時全部都到達終點的情況，再詳細點說，就是當你期待的那些非常遠的點終于到達終點時，后面仍然總是有很多點還離終點尚早，然而它們也正朝終點趕來，最終它們也會到達終點，可是它們之后，還是會有前仆后繼的點朝終點趕來。。。。。。今天的這個例子也有一個名字，叫“逐點收斂”。而“一致收斂”還有另外一個名字，叫“均勻收斂”。有關逐點收斂和均勻收斂更多的知識，可以查閱維基百科。

下面是我用flash as2 做出的y= x ⁿ 的曲線圖，x取在（0，1）內，n分別取到1,2,3,10,20,30（n越大耗費的功夫越久，為了讓這些曲線同時出現，機子問了我是否繼續不下5遍…….）。

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g.? 我最近的感觸，關于數學的，我發現這玩意越往下看越不能以常識和直觀形象思維去理解，而是建立在一套抽象的，正確的邏輯上而進一步合理、仍然抽象地推理，以至于后面的定理我們根本不知道他在說什么，因為抽象的關系，我們能知道這個定理是正確而且有用的，但是我們的確不知道他在說什么。。。

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posted on 2009-01-09 13:14 lookof 閱讀(...) 評論(...) 編輯 收藏

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總結

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