最近看DP的題目比較多，感覺真是遞歸之后的又一大神器啊。

已知矩陣的大小定義為矩陣中所有元素的和。

給定一個矩陣，你的任務是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩陣。

比如，如下4 * 4的矩陣

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

的最大子矩陣是

9 2

-4 1

-1 8

這個子矩陣的大小是15。

最開始我的分析是這樣的：要確定一個矩陣至少得4個元素，即4個角；或者起始坐標以及長度寬度。我們可以遍歷每個頂點以及每種邊長。

可是這樣的復雜度簡直是爆炸的。

直覺告訴我，只能用動態規劃了。

因為動態規劃可以把復雜的問題劃分成很小的部分。

那么問題來了，這個問題的子問題是什么？

其實找到子問題是解題思路里面最重要的部分。

我們之前碰到的一個問題是，求一維數組里面的最大和。感覺這里可以用，又不知道怎么用。

我們上面說到了，確定一個子矩陣得至少4個元素，那假設我們已經知道了其中的兩個：

假設最優解在第j行和第i行之間，剩下的就是去確定兩個列了。

既然我們已經把解的范圍局限在i，j兩行之間了，我們真的需要去求具體的哪一列嗎？

先這樣看，如果i，j相等的話，也就是解在同一列。這樣的話，問題是不是就轉換為求一維數組的最大和了呢？

擴展到一般情況：i，j不想等：比如兩行為：

1 2 -3 -4

-5 7 2 3

那么我們如何求呢？

降維！

我們把每一列壓縮為一個數，然后求一維的最大和就ok了。

整理一下思路：

1，我們遍歷所有的 行 的組合情況，即第i行到第j行的所有情況。

2，然后對每個組合之間的兩行之間的元素求這一列的值

3，對一個一維的和數組求最大和

4，對上述的最大和求最大值

在具體實現的時候，我們定住第i行不動，移動第j行，然后不斷的求兩行之間的每一列的和(壓縮)。

然后在每次移動i的時候，我們清空儲存列的和的數組。

程序：

//我們有第i行到第j行，然后求出每一列的從i到j的和，轉化為一維數組，然后求這個數組的最大和

#include

#include

int maxSubArray(int* a,int n)//一維數組的最大和

{

if(!a||n<=0)

return 0;

int curmax=0,max=0;

max=curmax=a[0];

for(int i=1;i

{

if(curmax>=0)

{

curmax+=a[i];

}

else

curmax=a[i];

if(curmax>max)

max=curmax;

}

return max;

}

int maxSumInMatrix(int a[200][200],int n)

{

int i=0,j=0,k=0;

int sumij[200]={0};//從i到j的每一列的和

int max_n=a[0][0],max=a[0][0];

for(i=0;i

{

memset(sumij,0,sizeof(sumij));//clear，每次移動i的時候清除

for(j=i;j

{

for(k=0;k

{

sumij[k]+=a[j][k];

}

max_n=maxSubArray(sumij,n);

if(max_n>max)//檢查并更新最大值

max=max_n;

}

}

return max;

}

int main()

{

int a[200][200];

memset(a,0,sizeof(a));

int n;

std::cin>>n;

for(int i=0;i

{

for(int j=0;j

std::cin>>a[i][j];

}

std::cout<

}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的php求二维矩阵的最大子矩阵,最大子矩阵-动态规划的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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